Les opérateurs {c,c*,d}

Pour un chemin h G Vpb, on introduit un encodage en terme des trois lettres {c,c*,d}, chacune comportant un sous-indice, comme suit. En lisant le chemin h de gauche à droite, on identifie tout d'abord les vertex de type S. Pour chacun de ces vertex, on inscrit la lettre S avec un sous-indice correspondant à sa position x sur le chemin. On obtient alors un mot w(h) composé de lettres Sx correspondant au chemin h. Par exemple, au chemin à la FlG. 2.4, correspond le mot :

w(h) = Si S^ S4 S5 Sj S'il S12 S14 Sn S\s S2o S21 S22. (4-2) Évidemment, partant d'un mot w(h), on peut reconstruite le chemin h sans ambiguïté.

En effet, comme il a été indiqué en [40|, un mot w(h) correspond à au plus un chemin h.

Toujours en lisant de gauche à droite, on remplace ensuite chacune des paires de la forme Sx+iSx+2 par dx. Puis, on remplace les lettres restantes Sy+i par cy ou c* dé- pendamment si y est pair ou impair respectivement. On obtient alors un nouveau mot (ou séquence) composé des trois lettres {c,c*,d} avec des sous-indices et ordonnées de gauche à droite par ordre croissant d'indice. Appelons cette séquence n(h), correspon- dant au chemin h. Et vice versa, en partant d'une séquence n(h), on reconstruit le chemin h sans problème. Pour le chemin à la FlG. 2.4, partant du mot w(h) ci-haut,

Chapitre 4. Bijection entre les chemins pour les modèles M ( p , 2 p + 1) 53

on obtient la séquence :

n(h) = co d2c4c6d io c*l 3di6di9c2 1. (4.3)

On qualifiera (souvent) la séquence ir(h) de séquence opérationnelle car chaque lettre {c,c*,d} peut être interprétée comme un opérateur qui change une portion de chemin purement oscillant, comme on peut le voir à la FlG. 4.1. L'opérateur cx ou c* permet de faire monter ou descendre respectivement le chemin d'une bande grise vers une bande grise adjacente soit au dessus ou en dessous. L'opérateur dx agit soit sur un pic ou un creux dans une bande grise ; son action consiste à insérer deux vertex de type S aux positions x + l e t : r + 2 e t à décaler le reste du chemin de 2 unités. Le chemin purement oscillant, /ivlde, dont il est question, est celui défini par hxlde G {a, a — 1} avec /iglde = a pour a impair (même si a = 1) et celui défini par hxlde G {a, a + 1} avec /iglde = a pour a pair. Ainsi, pour un chemin générique h G Vpb, représenté par sa séquence 7r(/i), la différence entre le nombre d'opérateurs c et c* sera (b — a)/2 pour a impair et (b — a — l)/2 pour a pair.

FIGURE 4.1 — Action des opérateurs cx, c* et bx sur une portion de chemin purement oscillante entre les hauteurs l et l + 1. Les cercles (pleins ou vides) indiquent le type de vertex qui est généré suite à l'action de l'opérateur. L'opérateur d peut agir sur un creux (c) ou sur un pic (d).

a)

/ + 1 /

Pour une séquence opérationnelle décrivant un chemin, la différence entre les sous- indices d'opérateurs successifs doit satisfaire certaines contraintes :

a x c-x') ax Cxr, cx a xi, cx axi , ax( xxi , cx cx>, cx cxi r x ^_ x + z,

(4-4) cxcxi , cxcx' = > x > x + 3.

Une séquence ir(h) dont les opérateurs satisfont à ces contraintes sera appelée une séquence admissible et implique que le chemin correspondant est bien défini.

Il est possible de calculer directement le poids du chemin h à partir de sa séquence 7r(/i). A chaque fois qu'un opérateur ex est utilisé pour monter le chemin, il génère un vertex S de type «; et la contribution au poids est Awt(cx) = (x + 1 — /ix+i + a)/2. Lorsque c'est l'opérateur c* qui est appliqué, un vertex de type Vi est créé et la contribution au poids est Awt(c*) = (y + l + hy+i —a)/2. L'opérateur dz introduit deux vertex S de chacun des deux types (ui, v%) et sa contribution au poids est indépendante de la hauteur : Awt(d2) = z + 1.

Considérons a impair et a = b. Dans ce cas, tous les opérateurs c et c* peuvent être jumelés par paires. Chaque opérateur cx qui monte le chemin de la r-ième bande grise à la (r + l)-ième est jumelé avec l'opérateur c* qui descend le chemin de la (r + l)-ième bande grise à la r-ième. On a alors /ix + 1 = hy+i + 1 et la contribution au poids est Awt(cxc*) = ~(x + y + 1). Ainsi, pour une séquence d'opérateurs, on somme sur les indices des opérateurs (une fois pour les d et une demi-fois pour les c, c*) et l'on compte le nombre d'opérateurs (une fois pour les d et une demi-fois, disons, pour les c).

Dénotons par X(o) = X(ô,n(h)), la somme des sous-indices de tous les opérateurs de type ô G {c,c*,d} dans la séquence 7r(h), i.e. :

X(ô,ir(h)) = VVindices des ô G n(h)). (4.5) Également, dénotons par A/^ô) = J\f(ô,n(h)), le nombre d'opérateurs de type ô dans la

séquence n(h). Cela permet d'écrire :

wt(h)a=b = l-(X(c) + X(c") + 21(d)) + \ ( N ( c ) + 2M(d)). (4.6)

Pour a ^ b, il faut rajouter à cette expression un terme qui tient compte des opéra- teurs qui ne peuvent être jumelés. On obtient rapidement l'expression générale :

wt(â) = l-(X(c) + X(c) + 21(d)) + \(M(c) + 2N(d)) -l- ( a - b)2. (4.7) Soit, par exemple, la séquence à l'équation (4.3) (qui correspond au chemin de la FlG. 2.4). En utilisant l'expression ci-dessus, le calcul de son poids est :

Chapitre 4. Bijection entre les chemins pour les modèles M.(p, 2p + 1) 55

ce qui est bien la valeur calculée précédemment (voir (2.23)).

4.1.2 Les opérateurs {c,c*,d}

Ici, nous allons définir une manière de coder un chemin sur réseau demi-entier en terme de trois lettres {c,c*,d} qui seront ensuite associées à des opérateurs construisant le chemin à partir du chemin fondamental. Bien que cette méthode soit valide pour tous les chemins sur réseau demi-entier, nous l'utiliserons seulement pour la classe des Hp b,

p entier.

S o i t h G T-Lpa b avec a, 6, p G Z. À cause de la restriction sur la position des pics qui

doit être entière, chaque vertex qui est une montée à la position x G Z doit être suivi d'un second vertex qui est une montée à la position x + \ . Également, tout vertex qui est une descente à la position x G Z + | doit être suivi soit par une seconde descente à la position x + 1/2 ou par une montée à la position x + 1. Ainsi, tous les vertex du chemin qui sont des montées et qui sont des descentes peuvent être jumelés deux à deux (ou par paire). Une paire de vertex montées, débutant à la position x G Z, est encodée par la lettre cx. Une paire de vertex descentes, débutant à la position y G Z + | , est

encodée par la lettre c*. Et finalement, une paire de vertex descente-montée débutant à la position z € Z + \ , est encodée par la lettre dz. Les sous-indices ajoutés aux lettres

c,c*,d correspondent à la position du premier vertex (montée ou descente) de la paire. Partant de la gauche du chemin vers la droite, on obtient ainsi une séquence de lettres avec des sous-indices.

Dénotons par 7r(/i), un mot (ou séquence) composé des trois lettres c,c*,d, obtenu de la décomposition du chemin h de la manière décrite plus haut. Typiquement, les lettres à l'intérieur du mot seront ordonnées par ordre croissant d'indices reflétant la décomposition gauche-droite du chemin. Bien entendu, partant d'une séquence ir(h), la construction du chemin correspondant h est unique. Par exemple, à la FlG. 3.1, correspond le mot :

ir(h) = c0 Ci c2c% d u c*5 d?b dss d u - (4.8)

2 2 "2 2 2 2 v '

Chaque lettre c,c*,d peut être interprétée comme un opérateur qui change une por- tion de chemin purement oscillatoire, comme illustré à la FlG. 4.2. L'opérateur cx ou c*

monte ou descend (respectivement) le chemin d'une hauteur de 1 unité. L'opérateur dz

creuse (approfondi) une vallée à la position x en une à la position x + 1/2 en déplaçant la portion du chemin à gauche de la vallée de 1 unité. Le chemin purement oscillant, âvlde, sur lequel la séquence d'opérateurs agit, est celui défini par /ixlde G {a,a— 1/2},

F I G U R E 4 . 2 ­ Action des o p é r a t e u r s dx, cx et c* sur une portion de chemin oscillant entre les

h a u t e u r s / et l ­ 1/2, où / € Z. Les points noirs indiquent la position des vertex qui sont des montées ou des descentes générés par l'action des opérateurs.

a) b) l ­ A c) l 1 . : X x . i . x : 1 2 ■ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ V ­ ­ • ■ ­ "­ ; ­ ■ X X + 1 / 1 y s r v y "NT Z \ x + 1 x + 1 X X + 1 x + 1 X X + 1

même si a = 0. À cause de la restriction sur la position des pics, il n'y a qu'un choix possible : on doit avoir /iQlde = a. On a donc un segment pré­initial au chemin défini par /i_i/2 = a — 1/2. De plus, si le chemin décrit par n(h) est un chemin h G "H^, la différence entre le nombre d'opérateurs c et c* dans ir(h) est b — a.

Naturellement, il existe quelques contraintes entre les sous­indices de deux opéra­ teurs successifs à l'intérieur d'une séquence ir{h) :

Cx Cx' , Cx Cxi , Cx <Xxi cx cx' , cx cxi , a,x cx' , cxaxi a x a x' ­i a x cx> x' > x + 1, 3 x > x + ­ , x' > x + 2. (4.9)

Une séquence qui satisfait ces contraintes sera appelée une séquence admissible et le chemin correspondant est ainsi bien défini.

Une expression qui sera utilisée plus tard est celle qui donne le poids d'un chemin h G 1­Lpab directement à partir de sa séquence d'opérateurs ix(h). À chaque fois que nous appliquons un opérateur cx ou c*, nous créons deux vertex qui contribuent au poids comme : Aw°(cx) = Aw°(c*) = x + 1/4. Chaque fois que nous appliquons l'opérateur dx, deux vertex sont aussi créés et la contribution au poids est : Aw°(dx) = x + 1/2. Pour un mot iv(h) qui contient une séquence d'opérateurs ô G {c,c*,d}, le poids sera

Chapitre 4. Bijection entre les chemins pour les modèles M.(p,2p+ 1) 57

donné par la somme des sous-indices des opérateurs, plus un quart fois le nombre d'opérateurs c et c*, plus une demi-fois le nombre d'opérateurs d, moins le poids du chemin fondamental donné par l'équation (3.5). Définissons X(ô) = X(ô,n(h)) comme étant la somme des sous-indices de tous les opérateurs de type ô dans le mot n(h) :

X(Ô, n(h)) = ^(indices des ô G TT(/I)), (4.10) et définissons M(o) = J\f(ô,iï(h)) comme étant le nombre d'opérateurs de type ô dans

le mot 7r(/i). Sachant que b — a = Af(c) — N(c*), on obtient :

wt(/i) = X(c)+X(c*)+X(d) + \ ( N ( c ) + N ( d ) ) - l-(a - b)2. (4.11) Prenons le mot de l'équation (4.8) correspondant à la FlG. 3.1. Son poids est donné, en utilisant la relation précédente, par :

wt(/i) = (3 + 12 + 56) + ^(3 + 4) - ^(l)2 = 74, valeur qui concorde avec celle précédemment calculée (voir (3.3)).