Dans le cas des matériaux métalliques comme l'aluminium considéré dans ce travail, et dans le cas où l'on néglige la distorsion du domaine d'élasticité, il est coutume d'utiliser, en plus de la déformation plastique εεεεp, deux variables internes pour d’écrire l'écrouissage de ces matériaux. La première, r, de nature scalaire représente l'écrouissage isotrope (changement de taille du domaine d'élasticité) alors que la seconde,αααα, de nature tensorielle décrit l'écrouissage cinématique (déplacement du domaine d'élasticité dans l'espace des contraintes.
Du point de vue physique, ces variables d'écrouissage sont associées, d'une part, à la densité de dislocation et, d'autre part, aux incompatibilités des déformations visco-plastiques au sein du polycristal. La variable d'écrouissage isotrope r sera généralement croissante, sauf intervention éventuelle du processus de restauration. En cas de chargement cyclique la variable cinématique αααα, au contraire, n'évoluera pas de façon monotone. Une variable courante pour décrire l'écrouissage isotrope est la déformation plastique cumulée p définie par
et représente en quelque sorte la longueur du trajet plastique subi par le matériau.
A ces variables d'écrouissage pourront s'ajouter d'autres variables internes ak, permettant de décrire l'état actuel de la microstructure. Ces variables interviennent de façon macroscopique, introduisant la différence entre l'état normal, métastable, du matériau et l'état actuel en cours d'instabilité microstructurale. Dans le cas des matériaux physico-chimiquement stables, de telles variables n'interviennent évidemment pas. En l'absence des phénomènes de restauration et de vieillissement (ces derniers sont pris en compte dans le et les variables thermodynamiques associées aux variables d'écrouissage sont données par
R G d'élasticité. Pour les métaux et aux températures où la déformation viscoplastique est due au glissement des dislocations, la déformation viscoplastique se fait à volume constant et ne
dépend pas de la contrainte hydrostatique. Dans la pratique on néglige souvent l'influence du troisième invariant et le domaine d'élasticité est bien représenté par le critère de von Mises qui s'écrit
Pour les métaux comme l'aluminium étudié ici, où la déformation plastique est le résultat du mouvement des dislocations, il y a normalité de la vitesse de déformation viscoplastique au domaine d'élasticité et la loi d'écoulement est donnée par la règle de normalité
( )
Les lois d'écrouissage décrivent les évolutions, au cours de la déformation viscoplastique, des variables R et X représentant la taille et le centre du domaine d'élasticité.
L'écrouissage cinématique, représentant la translation de ce domaine est décrit par une loi non linéaire. L'écrouissage cinématique non linéaire, initialement introduit par Armstrong et Frederick (1966) pour la plasticité indépendante du temps, et repris par Malinin et Khadjinsky (1972) pour la visco-plasticité utilise une équation d'évolution de la variable X comprenant deux termes : le terme d'écrouissage cinématique (linéaire) et un terme de rappel fournissant un effet de mémoire évanescente du trajet de déformation :
2 ( ) dynamique. Le modèle traduit ainsi un écrouissage non linéaire par la déformation, sans effet de restauration par le temps.
A l'écrouissage cinématique non linéaire il est possible de superposer un écrouissage isotrope, soit pour améliorer la modélisation (en traction par exemple), soit parce que l'on observe effectivement une expansion du domaine d'élasticité autour de leur centre, soit enfin pour décrire les effets de durcissement ou d'adoucissement cycliques. La loi d'écrouissage isotrope, couramment utilisée pour les métaux, s'écrit
)
R = b(R1 ∞−R p1 =bR r∞1 (6.28)
où R∞ et b désignent deux constantes : R∞ donne la valeur asymptotique correspondant au régime cyclique stabilisé, b décrivant la vitesse de stabilisation.
Le modèle d'écrouissage cinématique non linéaire décrit un écrouissage à mémoire évanescente (en fonction de la déformation cumulée) : quelle que soit l'histoire préalable, le cycle stabilisé est unique pour un chargement cyclique donné. Cette propriété est quelquefois mise en défaut, en particulier sur le cuivre ou sur des certains aciers inoxydables. Sa prise en compte nécessite l'introduction d'une variable d'état supplémentaire (ce ne peut être la déformation plastique cumulée dont l'influence se sature au cycle stabilisé).
L'observation de cycles sous chargements séquentiels pour les alliages d'aluminium étudiés ici montre que cet effet de mémoire peut se traduire en traction-compression par l'amplitude maximale de déformation plastique. La comparaison de la courbe monotone et de la courbe cyclique montre que le durcissement cyclique est d'autant plus important que l'amplitude de déformation imposée soit grande. Autrement dit, la valeur asymptotique de la variable isotrope R traduisant le durcissement cyclique, initialement R∞, n'est plus une constante mais dépend de l'amplitude de déformation: elle sera notée Q, la loi d'écrouissage isotrope devenant
)
R = b(Q1 −R p1 (6.29) Chaboche, Dang Van et Cordier (1979) ont introduit une variable interne supplémentaire q gardant mémoire des déformations plastiques maximales. Celle-ci est introduite à l'aide d'une surface index de l'espace des déformations plastiques:
2( p ) 0
=2J q
3 εεεε −ξξξξ − =
1 (6.30) Le mouvement de cette surface enveloppe des déformations préalables n'a lieu que lorsque l'état de déformation actuel se trouve sur la surface ( 21=0) et que l'écoulement a lieu dans la direction extérieure à la surface. On utilise le même type de critère de charge-décharge que pour la plasticité classique et les équations d'évolution sont (H désignant la fonction q de cette surface enveloppe donne la mémoire de la déformation : en traction-compression par exemple, on vérifie facilement que q=1/ 2(∆εmaxp ). Le choix de la dépendance entre la valeur asymptotique Q de l'écrouissage isotrope et la variable q permet de compléter la modélisation. On peut prendre par exemple :
( 0) exp( 2 )
Q=Q∞− Q∞−Q − κq (6.33)
où Q0, Q∞ et κ sont trois constantes.
La superposition de cet effet de mémoire permet d'élargir considérablement les possibilités de la modélisation. L'effet de mémoire ainsi introduit est parfait, c'est-à-dire permanent ! Une certaine évanescence progressive peut cependant être observée. On peut ainsi considérer que la réalité se situe entre deux cas extrêmes : mémoire permanente et mémoire complètement évanescente. Une description plus précise n'est possible qu'au prix d'une plus grande complexité et n'offre d'intérêt pratique que pour un suivi détaillé des effets cycliques transitoires.
L’effet mémoire peut aussi être introduit dans la loi d’écrouissage cinématique (les résultats expérimentaux le montrent). Dans ce cas, la loi d’évolution (6.27) est remplacée par
2 ( ) Pour améliorer la description des énergies stockées au cours de la plastification dans le matériau et sans changer le modèle mécanique décrit plus haut, Chaboche (1991) a proposé l’expression suivante de la fonction de ( )G r dans l'énergie libre
1 2
( ) 2
G r = bR r∞ (6.36) On en déduit la loi d’état
R=bR r∞ (6.37) Et par comparaison avec l’expression (6.28), on en déduit que
(1 ) mécanique développé plus haut peut être dérivé du potentiel d'écoulement F donné par
F = f +3γ(q) conduisant aux lois d’évolution des variables internes
2
3 ( ) Dans les expressions ci-dessus les coefficients 3/2 interviennent afin que les relations correspondantes en traction-compression s'écrivent de façon simple. La dissipation intrinsèque s’écrit : et est toujours positive en vertu de la convexité de F (à q constant) et de son annulation en 0.
Le second principe est donc toujours vérifié. Ceci reste vrai même à q variable. La dissipation est par ailleurs plus grande que dans le modèle classique, rendant ainsi l'énergie stockée plus faible et plus conforme aux observations expérimentales (Chaboche, 1992).
6.4.4 Sensibilité à la vitesse. Evolution de la vitesse de déformation plastique cumulée Diverses expressions existent dans la littérature pour la fonction Φ. Deux formes alors que les théories du mouvement thermo-activé des dislocations utilisent la relation
0
En l'absence d’écrouissage, les théories cinétiques de glissement classiques (Kocks, Ashby et Argon, 1975) donnent d’énergie s’annule et α un paramètre prenant la valeur 3/2 (voir par exemple Soare et Curtin, 2008).
L’expression (6.44) n’est cependant valable que si
0
0 cette expression est remplacée ici par
* 0