Paramètres de discrétisation

Nous examinons ici l'inuence d'une part de la discrétisation spatiale quantiée par le pas a du maillage cubique, et d'autre part le niveau de bruit en relation avec la valeur du quantum qr.

7.1.1 Discrétisation spatiale

Du point de vue des transferts radiatifs, la maille a est à considérer en relation avec le coecient d'absorption κ. C'est l'épaisseur optique (adimensionnelle) κa qui est le paramètre déterminant.

Nous savons déja que si κa  1, l'élément de volume est quasiment opaque, et qu'il est dans ce cas plus économique et tout aussi réaliste de ne considérer ses échanges que sous leur forme apparente d'un phénomène surfacique. Dans ce cas, a inue sur la nesse et le réalisme de la description géométrique, mais pas plus que dans toute autre application, et notamment que dans celle décrivant le smoldering qui fait éventuellement appel au module qui nous intéresse.

En revanche, dans le cas de matériaux semi-transparents, on doit craindre un eet de diusion numérique. Il prend sa source dans le fait que lors de l'absorption d'un pa- quet, la position exacte de l'absorption n'est pas spéciée. L'énergie abosrbée est donc implicitement étalée uniformément sur tout l'élément de volume. Il ne peut d'ailleurs en aller autrement, puisque les températures ne sont pas dénies avec une résolution spatiale meilleure que a, et on retrouve le même problème par exemple dans la représentation de l'opérateur diérentiel Laplacien qui apparaît pour la conduction dans une discrétisation 60

Paramètres de discrétisation 61 0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 200 400 600 800 1000 1200 abscisse x

Profil de la temperature dans la lame

t=115sec t=9221s t=22760s t=44438s t=77907s t=127383s t=197440s t=294971s t=504990s (a) (b)

Figure 7.1. Prol de température initial dans le système (a) et prols à diérents instants successifs, jusqu'à retour à l'équilibre thermique (Ncx = 160).

par diérences nies au second ordre. Ceci a des conséquences sur la précision de l'évalua- tion des ux en régime stationnaire, mais aussi sur une propagation trop rapide des fronts de diusion. Dans notre cas, celà signie qu'on donne une chance à un paquet pénétrant par un côté dans un élément très absorbant de ressortir ensuite par l'autre côté, alors qu'il peut n'avoir physiquement aucune chance d'y parvenir.

Pour examiner ceci, nous considérons une situation de référence très simple, pour laquelle des simulations sont conduites en premier lieu avec une discrétisation très ne.

Paramètres de discrétisation 62 Ensuite, cette discrétisation est dégradée progressivement, pour déterminer sur quelle plage les résultats restent acceptables.

On considère une lame d'épaisseur L = 2m avec des propriétés thermophysiques uniformes, ρcp = 2.12 106 J/K/kg, n=1, κ = 10 m−1. A l'instant initial, une moitié

de l'échantillon est à la température T=1000K, et l'autre à T=0K (gure 7.1a). Des conditions de périodicité sont appliquées aux extrémités du domaine.

Dans un premier temps, des calculs sont conduits avec L = Ncxa, Ncx = 1000 et

a=2mm. Le problème étant unidimensionel, seul la discrétisation en x intervient. Dans tous les cas, les calculs sont conduits avec des quantas très petits, qui correspondent à δT = 1/16K. Ce calcul, avec une discrétisation très ne (κa = 2 10−2), est pris comme référence.

Ensuite, les mêmes calculs sont reproduits avec des discrétisations dégradées,  Ncx = 1000, a = 2.0 mm, κa = 0.020 ;

 Ncx = 160, a = 12.5 mm, κa = 0.125 ;

 Ncx = 80, a = 25.0 mm, κa = 0.250 ;

 Ncx = 40, a = 50.0 mm, κa = 0.500 ;

 Ncx = 20, a = 100.0 mm, κa = 1.000.

Un exemple de prols successifs de température lors du retour à l'équilibre est pré- senté dans la gure 7.1b, pour le cas Ncx= 160. Pour comparer les résultats des diérentes

résolutions, on examine l'évolution temporelle des températures maximales et minimales qui apparaisssent dans ces prols. Cette évolution et montrée dans la gure 7.2.

Les courbes en coordonnées logarithmiques montrent qu'une valeur de κa trop im- portante induit un décalage, c'est à dire une modication de l'échelle des temps par un facteur à peu près constant au cours de l'histoire du système. Comme on si attendait, le retour à l'équilibre pour κa = 1 est trop rapide, avec une sous-évaluation d'environ 25% du temps. Les autres courbes sont plus regroupées. κa = 1/2 sous-estime le temps de relaxation d'environ 8%, et κa = 1/4 de moins de 3%. Les courbes pour κa = 1/8 et 1/50 sont à peine discernables.

Il en ressort que κa = 1/4 est susant pour obtenir des résultats satisfaisant, et que κa =1/2 fournit des résultats raisonnables mais constitue une limite à ne pas dépasser.

Paramètres de discrétisation 63 103 104 105 106 0 200 400 600 800 1000 1200 temps en seconde

relaxation de la temperature maximale et minimale en K

Nc= 1000 Nc =160 Nc= 80 Nc= 40 Nc= 20 (a) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 105 0 200 400 600 800 1000 1200 temps en seconde

relaxation de la temperature maximale et minimale en K

Nc= 1000 Nc =160 Nc= 80 Nc= 40 Nc= 20 (b)

Figure 7.2. Evolution au cours du temps des température maximales et minimales relevées sur les prols du type de la gure 7.1b, pour diérentes résolutions spatiales κa.

Paramètres de discrétisation 64 7.1.2 Bruit thermique

Le second paramètre numérique dont le choix est crucial est la valeur qr des quanta

d'énergie. Il est clair que pour une même valeur physique du ux radiatif à simuler, le coût sera supérieur si on utilise un plus grand nombre de paquets plus ns. En contrepartie, il est aussi intuitivement clair que le bruit statistique augmente quand une représentation plus grossière de l'énergie transférée est utilisée.

Il importe donc de quantier ce bruit, et le plus simple pour ceci est de considérer une situation où seul le bruit intervient, c'est à dire un milieu à l'équilibre thermique. Chaque élément de volume émet et absorbe alors en moyenne le même nombre de paquets par untité de temps (en moyenne un par pas de temps, dans la méthode quasi-continue, quand les propriétés et la température sont uniformes). L'émission est pratiquement dé- terministe, puisque le nombre de paquets émis est calculé en fonction des propriétés et de la température locale. En revanche, l'absorption probabiliste de certains des paquets qui traversent l'élément de volume, eux mêmes en nombre aléatoire au cours d'un pas de temps donné, est un processus de type poissonien. Sa variance est donc égale à sa moyenne, et comme cette moyenne vaut un, on peut en dire autant de l'écart-type. En outre, cet excès ou décit d'absorption peut se reproduire et se cumuler durant un nombre important de pas de temps successifs, induisant ainsi des uctuations de température qui peuvent devenir signicatives.

Pour quantier cet eet, nous avons considéré un volume de matériau homogène, à l'équilibre à une température hT i, et mesuré dans diérentes conditions l'écart-type spatial σT de la température, que nous utilisons comme mesure du bruit. L'échantillon

est discrétisé en 322 _{cubes élémentaires de taille a}3_{, et des conditions de périodicités sont}

appliquées dans les trois directions.

On a dans un premier temps xé κa = 1/2, et on a fait varier la température moyenne hT i, ainsi que la tolérance δT qui sert à dimensionner le quantum d'énergie (voir éq. 6.8). Les résultats sont présentés dans la gure 7.3. Les droites obtenues dans cette représenta- tion log-log indiquent une dépendance en √δT, qui existe aussi vis à vis de hT i. On peut résumer l'ensemble par

σT ≈

1 4phT i

√

δT (7.1a)

ou sous la forme de uctuations relatives, σT hT i ≈ 1 4 s δT hT i (7.1b)

Il est donc aisé de limiter le bruit thermique à quelques degrés en prenant δT < 1K. Un test du même type fait l'objet de la gure 7.4. On a cette fois xé hT i = 1000K, et fait varier la discrétisation κa. On n'observe aucun eet de ce paramètre, à l'exception du cas κa=1 qui produit un niveau de bruit légèrement supérieur, mais on savait déjà que

Paramètres de discrétisation 65

Figure 7.3. Ecart-type spatial σT de la température dans un matériau homogène à l'équilibre,

en fonction de δT , pour κa = 1/2 et pour diérentes valeurs de la température moyenne hT i.

Figure 7.4. Ecart-type spatial σT de la température dans un matériau homogène à l'équilibre,

Applications dans quelques cas simples 66 les simulations conduites dans ces conditions ne sont pas très précises. Ceci correspond bien à ce qu'on pouvait attendre. En eet, si l'on imagine par exemple que l'on double la valeur de κ, le taux d'émission sera multiplié par deux. Toutefois, en xant δT et δt de façon à ce qu'un paquet soit émis par cube et par pas de temps, on eectue en réalité la même suite d'opérations stochastiques. Seul la valeur du pas de temps change, en étant divisée par deux, mais celà n'aecte pas les uctuations spatiales de T . simplement avec un pas de temps

Il est dicile d'évaluer précisément a priori l'inuence des autres paramètres. La capacité calorique volumique peut en avoir une quand elle n'est pas uniforme, puisque l'émission ou l'absorption d'un paquet n'aura pas la même incidence sur la température de tous les éléments de volume. Toutefois, on xe qr pour limiter cette incidence à δT

partout, donc en se basant sur le matériau le moins capacitif, ce qui conduit à réduire qr

et va donc dans le sens d'un meilleur niveau de bruit. L'eet de n est encore plus dicile à prédire puisqu'il inue sur la trajectoire des paquets. On peut imaginer par exemple que des eets de loupe modient les propriétés statistiques en certains endroits. Cependant, un simple test conduit dans le milieu aléatoire décrit dans la Section 6.1, qui présente de très fortes hétérogénéités (éq. 6.5a et gure 6.1), conduit à une valeur de σT quasiment identique à celle pour un matériau homogène doté de ses propriétés moyennes. On peut donc considérer que (7.1) est d'un point de vue pratique une estimation assez robuste de l'inuence de la valeur qr du quantum d'énergie.