Forme d'une description macroscopique

L'équation de conservation locale décrivant le transport de chaleur quand convection, conduction et radiation interviennent peut s'écrire sous la forme de (2.7a)

C∂T

∂t + ∇.J = S − ∇.qr (4.1a) J = CvT − λ∇T (4.1b) où le bilan radiatif −∇.qrest délibérément séparé des autres termes, sans l'intégrer comme

il serait possible selon le point de vue adopté dans le terme source S (qui résulte par exemple de réactions chimiques) ou dans la divergence d'un ux total J + qr.

La densité de ux radiatif qr est l'intégrale sur tout le spectre de fréquence et sur

toutes les directions de propagation de la luminance directionnelle, qr(x) = Z ∞ 0 dν Z 4π 0 ds (s Lν(x, s)) (4.2)

Celle-ci est régie par l'ésquation de transfert radiatif (3.14). Le bilan radiatif −∇.qr est

donc un terme de couplage entre l'équation de convection/conduction et l'ETR.

Un choix fondamental se présente quand on veut passer de cette description locale, trop détaillée pour être aisément manipulable dans des domaines complexes, à une des- cription plus globale, où l'on souhaite pouvoir oublier le détail de la microstructure en l'intégrant dans des comportements et coecients eectifs. Ce choix fait obligatoirement intervenir des considérations d'épaisseur optique.

Il est tout à fait standard dans le domaine des milieux poreux d'opérer de tels chan- gements d'échelle. La théorie de l'homogénéisation (Sanchez-Palencia , 1980) en fournit un cadre théorique, dont les mises en oeuvre sont maintenant classiques (voir par exemple Adler , 1992). On obtient alors une équation de conservation de la forme de (4.1a)

C?∂T ? ∂t + ∇.J ? _{= S}?_{− h∇.q} ri (4.3a) J? = C?v?T?− λ?_∇T? _(4.3b)

où les quantités aectées d'une étoile sont des contreparties macroscopiques des quantités locales correspondantes. Les variables T?_{, v}?_{, J}? _{ou S}? _{correspondent à des moyennes vo-}

lumiques locales, et les coecients C?_{, v}? _{et λ}? _{sont des paramètres eectifs qui décrivent}

leurs relations. Le bilan radiatif est pour l'instant conservé sous la forme d'une moyenne volumique h∇.qri.

Il est important d'être conscient qu'une formulation homogénéisée de la forme de (4.3) n'est valide que sous certaines conditions, dont la principale est l'existence d'une séparation d'échelles. Toutes les échelles reliées au problème macroscopique doivent être

Forme d'une description macroscopique 32 très supérieures à l'échelle de la microstructure, de façon à ce que des moyennes locales représentatives puissent être prises à une échelle intermédiaire, et que les coecients eectifs ne dépendent pas de la présence ou de la nature des conditions aux limites.

Ceci a pour conséquence qu'une telle formulation devient souvent inapplicable au voisinage immédiat de frontières du domaine, mais le plus souvent sans que celà soit très préoccupant puisque l'épaisseur concernée, de l'ordre de l'échelle microscopique, est négligeable devant les dimensions globales du système.

Ceci nous ramène à la question de l'épaisseur optique. Elle doit être grande si l'on veut pouvoir envisager d'appliquer une description de la forme de (4.3). Ceci constitue le cadre de l'approximation de Rosseland. On peut exprimer cette contrainte par le cri- tère qu'aucune part d'un rayonnement incident ne doit pouvoir traverser tout le système sans être absorbé ou diusé, c'est à dire sans un oubli des conditions d'entrée. Ceci doit d'ailleurs s'appliquer de façon plus stricte, en tout point à l'intérieur du domaine, à l'ex- clusion d'une région périphérique qu'on souhaite être la plus réduite possible. Le bilan radiatif doit pouvoir s'y exprimer en fonction de la densité de ux moyenne locale et de ses gradients, sans faire référence aux conditions aux limites.

Dans ces conditions, considérant que les échanges radiatifs entre deux points dé- pendent de la diérence de leur température à la puissance 4 puisqu'ils résultent du dié- rentiel des taux d'émissions surfaciques (3.9)ou volumiques (3.19), et en faisant abstraction de complications telles que la dépendance de l'indice de réfraction à la température, le ux radiatif total s'écrit naturellement comme proportionnel à ∇T?4_{. En linéarisant on}

obtient une relation du type de la loi de Fourier, qui fait intervenir une "conductivité thermique de rayonnement" λ? r hqri = −λ?r ∇T ?_{, λ}? r ∝ T ?3 _(4.4)

Dans les applications que nous visons, on peut s'attendre à ce que l'approxima- tion de Rosseland soit applicable, comme dans beaucoup d'autres situations industrielles. Par exemple, un isolant breux serait de piètre qualité s'il laissait échanger directement par rayonnement les deux domaines qu'il sépare. Toutefois, il convient de garder à l'es- prit que (4.4) n'est qu'une approximation. En outre, son interprétation et sa mise en oeuvre peuvent demander des précautions et des adaptations. Par exemple, pour un lit de grains opaques traversés par un uide transparent, ce ne sont pas les mêmes températures moyennes locales qui interviennent dans les échanges radiatifs entre solides décrits par (4.4) et dans le terme convectif de (4.3), si l'équilibre thermique entre les deux phases n'est pas satisfait. Il n'est pas non plus évident que λ?

r/T?3 soit une caractéristique in-

trinsèque du matériau du fait des couplages entre les diérents modes de transferts (ce n'est même pas le cas du coecient λ?_{, qui dépend de l'intensité de l'écoulement). Fina-}

lement, rappelons encore une fois que le modèle (4.4, 4.3) n'est pas strictement applicable au voisinage d'une paroi, ni d'aucune autre singularité. On retrouvera ce problème dans la troisième partie de ce mémoire, pour l'interprétation des résultats au voisinage d'une

Approximation de Rosseland 33 source de chaleur au coeur du milieu poreux.

Si les conditions de l'approximation de Rosseland ne sont pas remplies, on ne peut plus parler strictement d'homogénéisation, ni appliquer (4.4, 4.3). On peut au mieux dé- terminer des fonctions de transfert, pour une situation donnée. Toutefois, si une séparation d'échelle existe eectivement (en termes d'échelles géométriques, et non d'épaisseur op- tique), il reste possible de comparer ces réponses à celles qu'aurait un milieu homogène dans la même situation, et de déterminer par ajustement les propriétés radiatives d'un matériau équivalent.

Ensuite, les simulations à l'échelle macroscopique reposeront sur (4.4), couplée avec une version de l'ETR à cette échelle, c'est à dire faisant appel aux coecients eectifs (coecients d'extinction, de diusion, ...) du matériau équivalent

On trouvera par exemple chez Oliveira et Kaviany (2001) une description détaillée d'un modèle descriptif des transports de masse et de chaleur dans un milieu poreux siège d'une combustion, basé sur une description homogénéisée à deux champs de températures (donc autorisant la prise en compte de déséquilibre thermique entre les phases uide et solide). Leur discussion reprend les mêmes indications dans un cadre plus concret.

Une fois ce distingo établi, nous allons maintenant examiner successivement les deux situations. Pour l'approximation de Rosseland, on n'insistera pas du tout sur les méthodes de résolution. D'une part parce qu'il s'agit d'une équation de convection/diusion de forme standard, avec la seule complication que le terme diusif est non linéaire. Elle se prête donc à toutes les méthodes habituelles de résolution, telles que les formulations aux diérences nies, et peut même donner lieu dans quelques situations simples à des solutions analytiques. D'autre part, parce que nous ne nous plaçons jamais à cette échelle dans le cadre de ce travail.

Au contraire, nous cherchons à déterminer les comportements et coecients macro- scopiques en nous plaçant à l'échelle microscopique. Nous avons donc à traiter l'ETR directement, d'une façon ou d'une autre. Pour cette raison, la revue des méthodes de traitement applicables aussi bien à l'ETR réelle,à l'échelle locale dans le milieu réel, qu'à l'ETR "eective", dans le matériau homogène équivalent, sera plus détaillée.