Deuxième approche : analyse locale

An de tenir compte de la température locale dans l'analyse des résultats, une pre- mière phase de tri des données est nécessaire. On dénit pour cela une série de sphères concentriques autour du centre de la source, de rayons croissants avec un pas a. On opére ensuite une prise de moyenne des températures des éléments de volumes solides dont le centre se trouvent entre deux de ces sphères consécutives. On obtient ainsi une tempé- rature moyenne en fonction de la distance radiale, T (r). Par simple diérentiation, on peut aussi obtenir le gradient dT /dr, avec la même résolution en distance radiale. Ces dénitions ont un sens dans la mesure où les tracés des données individuelles par point de maillage présentés dans le chapitre précédent ont montré que le champ de température présente eectivement une assez bonne symétrie sphérique.

Dans l'état stationnaire, le même ux S traverse chacune des coques sphériques. On peut donc formellement dénir et déterminer une conductivité eective en chaque position radiale (et non plus comme dans la méthode précédente par un t sur l'ensemble du prol), à partir de la relation

S = −4π r2 λef f(r)

dT

dr (11.1)

Notons qu'on peut de la même façon déterminer une conductivité eective λef f,c(r)pour la

conduction seule, à partir des données des simulations sans rayonnement. L'accroissement de conductivité induit par les transferts radiatifs est simplement λef f− λef f,c. On s'attend

à ce qu'il dépende de la température, alors que λef f,c n'en dépend pas. En revanche, elle

peut uctuer spatialement, surtout au voisinage de la source, du fait de l'empêchement stérique qui se fait sentir et de l'aire assez faible de la surface de prise de moyenne. Ces uctuations devraient disparaître au delà d'une certaine distance.

Tout ceci est conrmé par les observations. Pour être complet, on présente d'abord les prols de température moyenne dans la gure 11.2a,b. La conductivité eective λef f

est tracée dans la gure 11.2c. Elle est naturellement toujours supérieure à λef f,c, et

présente d'importants pics pour les faibles rayons, probablement parce que la chaleur peut alors être directement transférée de la source vers d'autres grains visibles, jusqu'à une distance d'environ 2R. λef f peut même alors dépasser la conductivité λs du solide.

Notons que λef f,c devient eectivement à peu près constant pour r ≥ 4R. Finalement,

l'acroissement de conductivité λef f− λef f,c, normé par RT 3

, est tracé dans la gure 11.2d. La normalisation par R est nécessaire pour compenser le changement d'échelle pour les sphères de rayons diérents. On observe que cette quantité uctue assez peu autour d'une valeur indépendente de la position radiale, quand r ≥ 3R.

Pour compléter l'analyse, nous allons faire appel au modèle de la Section 9.4.2, et plus précisément rechercher une relation entre l'accroissement de conductivité, les propriétés

Deuxième approche : analyse locale 147 0 2 4 6 8 0 500 1000 1500 2000 2500 <T> vs. r/R (a) 0 2 4 6 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ( <T> − T_∞) / (T S − T∞) vs. r/R (b) 0 2 4 6 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 λ_eff vs. r/R (c) 0 2 4 6 8 0 1 2 3 4 5 6x 10 −7 ( λeff − λeff,c ) / R <T> 3 vs. r/R (d)

Figure 11.2. Prols de température T (a,b), de conductivité eective λef f (c) et de

(λef f − λef f,c)/RT 3

(d) en fonction de r/R pour toutes les simulations présentées jusqu'ici dans l'empilement. Les types de lignes correspondent à T∞ : 485 K (· · · · ·), 700 K ( ) et

1010 K (− − −−). Les couleurs correspondent à la combinaison (R, S). Pour R = 1 mm, 0.25 W (vert), 0.53 W (bleu), 2.28 W (rouge), 9.86 W (jaune), 20.5 W (magenta). R = 1/3 mm, S=0.25 W (cyan). Exception : R = 3 mm, S =20.5 W (vert, − · − · −). Les courbes en noir concernent la conduction pure, dans un milieu solide continu ( ) et dans l'empilement (− − −−).

Deuxième approche : analyse locale 148 morphologiques du milieu poreux et la température locale de la forme de (9.18), où λr,ef f

est ici interprété comme l'acroissement de conductivité λef f − λef f,c.

Pour celà, nous traçons 1/(λef f − λef f,c) en fonction de S/



8(1 − ˜λc)2σT 3

 dans la gure 11.3. Chaque courbe correspond à l'un des jeux de paramètres (R, S, T∞) considérés.

Nous avons porté tous les points pour 3R ≤ r ≤ 8R. La gure est en réalité décomposée en trois cadres, parce que la plage de variation de l'abscisse est très grande, du fait des grandes variations de T3

. Le cadre du haut contient toutes les données, mais seules celles pour les systèmes les plus froids sont clairement visibles. Le second et le troisième cadres sont des zooms successifs près de l'origine. Le cadre du bas montre donc en détail les résultats pour les systèmes où la température est la plus élevée. La ligne droite (identique dans tous les cadres) est le résultat du t linéaire,

1 λef f − λef f,c

= 0.6523 + 0.3993 S 8(1 − ˜λc)2σT

3 (11.2)

On a utilisé ici la surface volumique mesurée directement sur l'échantillon, S = 2.38/R, et on a pris pour ˜λc la moyenne 0.1814 des valeurs (0.1711, 0.1784, 0.1948) calculées en

appliquant un gradient moyen dans les directions x, y et z (voir Section 9.1).

La pente de la droite est exactement le facteur de forme ωs de (9.18), et 0.4 est

une valeur parfaitement raisonnable. L'ordonnée à l'origine 0.6523 devrait être égale à

1−˜λc−

(1−˜λc)2λs, qui vaut ici 0.617. Ceci est un accord tout à fait remarquable, surtout si l'on

considère, comme le montre la gure 11.3, que ce terme contribue nalement très peu à λef f − λef f,c.

Il est du reste naturel qu'il soit très faible. On voit en faisant tendre T vers l'inni dans (9.18) qu'il correspond à la résistance thermique du solide que le ux radiatif doit traverser par conduction. Mais le modèle (9.18) a été bâti à partir d'un milieu alvéolaire, dont les pores ne sont pas connectés. Ce n'est pas le cas dans l'empilement de grains, et un ux purement radiatif, traversant tout l'espace des pores en se propageant de surface solide en surface solide peut parfaitement exister.

On constate donc que le modèle (9.18), malgré la brutalité des approximations sur lesquelles il repose, permet de modéliser avec une précision remarquable le surcroît de conductivité induit par le rayonnement dans ce milieu poreux particulier, et ce dans une plage de température extrêmement étendue (d'environ 500 K à au moins 1500 K, température maximale atteinte dans nos simulations pour r ≥ 3R).

Il est donc particulièrement tentant de le mettre à l'épreuve dans d'autres types de microstructures. Ceci fait l'objet du chapitre suivant.

Deuxième approche : analyse locale 149 0 50 100 150 200 250 0 20 40 60 80 100 1 / ( λ_eff − λ_eff,c ) vs. S / [ 8 ( 1 − λ_c )2σ <T>3 ] 0 20 40 60 80 0 5 10 15 20 25 30 35 1 / ( λ eff − λeff,c ) vs. S / [ 8 ( 1 − λc ) 2_σ <T>3 ] 0 5 10 15 20 25 0 2 4 6 8 10 12 1 / ( λ eff − λeff,c ) vs. S / [ 8 ( 1 − λc ) 2_{σ <T>}3 _] Figure 11.3. 1/(λef f − λef f,c) en fonction de S/  8(1 − ˜λc)2σT

3_{, pour toutes les simulations}

conduites dans l'empilement. Chaque courbe correspond à un jeu de paramètres (R, S, T∞).

Les cadres au milieu et en bas sont des agrandissements successifs du cadre du haut. Même conventions que dans la gure 11.2. La droite correspond au t (11.2).

Chapitre 12

Transferts radiatifs dans les milieux