Quels modèles sont utilisés ?
I.2. Panorama des modèles utilisés par les professionnels Lorsque l’on souhaite dimensionner/modéliser les ouvrages de stockage-
restitution, plusieurs outils existent :
Les outils de dimensionnement
Les méthodes des pluies ou des volumes de l’IT77 : les ouvrages de rétention ont un seul débit de sortie constant et sont déconnectés des modèles de propagation en conduite. La modélisation ne se fait que de l’amont vers l’aval. Ces méthodes sont toujours couramment utilisées par les BET.
• La méthode des pluies
La méthode des pluies est donc basée sur les hypothèses que nous reprenons ci-dessous :
- les événements pluvieux, et les volumes à stocker, sont indépendants les uns des autres. L’apport de pluie dans la retenue prend fin en même temps que l’événement pluvieux ;
66
- le débit de fuite de l’ouvrage est constant ;
- il y a transfert instantané de la pluie à l’ouvrage de retenue (donc le phénomène d’amortissement dû au ruissellement n’est pas pris en compte). La méthode n’est applicable que pour des bassins versants de quelques dizaines d’hectares, ne contenant pas d’autres ouvrages de stockage.
La méthode des pluies permet donc de déterminer le volume à stocker dans un ouvrage de rétention en fonction des hauteurs maximales de pluies mesurées, classées par période de retour. Etant donné que le débit de vidange est supposé constant et connu, on peut également déterminer de façon simple la durée de vidange.
Cette méthode est fréquemment utilisée car les résultats calculés sont obtenus manuellement. Néanmoins, ils sont généralement inférieurs à ceux de la méthode des volumes vue ci-après pour la même série de mesures [Barraud & Alfakih, 1999].
Le volume stocké correspond à une hauteur maximum. Cette hauteur est déterminée sur la base de courbes enveloppes. Elles représentent les hauteurs maximum précipitées sur différents pas de temps pour une période de retour. Le débit sortant est considéré comme constant, il est exprimé sous la forme d’une hauteur d’eau évacuée par heure (mm/h) :
qs = 360 ∗Qs Sa eq.2.I.1 avec -qs : débit spécifique (mm/h) et -Qs : débit sortant (m3/s)
-Sa : surface d’apport du bassin versant (Ha). Cette surface d’apport est obtenue par le produit du coefficient d’apport du bassin versant, avec la surface de ce dernier.
Ainsi, pour chaque durée d’événement k.Δt, on peut calculer la hauteur à évacuer. On obtient alors la droite des hauteurs d’eau à évacuer en fonction de la durée de l’événement. La différence entre cette droite, et la courbe enveloppe h (k.Δt,T), nous donne la hauteur maximum à stocker dans l’ouvrage pour une durée d’événement: Δhmax(qs,T)
Le volume à stocker est donné par :
V = 10 ∗ Δhmax(qs, T) ∗ Sa eq 2.I.2 avec :
-V : volume à stocker (m3) ;
67
-Δhmax (qs,T) : hauteur maximum à stocker (mm) ; -Sa : surface active (Ha).
• La méthode des volumes
La méthode des volumes est basée sur différentes hypothèses que nous reprenons ci-dessous :
-débit de fuite de l’ouvrage de stockage constant ; -transfert instantané de la pluie à l’ouvrage de retenue
-méthode applicable pour des bassins versants de quelques dizaines d’hectares, ne contenant pas d’autres ouvrages de stockage.
Néanmoins, on doit considérer qu’un événement pluvieux ne s’achève pas forcément lorsque la vidange de l’ouvrage est terminée. La méthode des volumes essaie donc de mieux prendre en compte la façon dont les apports pluviaux sont répartis dans le temps. Elle demeure fréquemment utilisée par les aménageurs pour les résultats pratiques qu’elle fournit : un volume maximum de stockage, et une estimation de temps de vidange.
Sur la base des hauteurs de pluies mesurées et cumulées, et connaissant le débit sortant constant, on détermine pour chaque période de retour la courbe donnant la hauteur maximum à stocker en fonction du débit spécifique.
Le volume à stocker est donné par :
V = 10 ∗ Δhmax(qs, T) ∗ Sa eq 2.I.3
« Des comparaisons ont été menées sur des séries pluviométriques longues de la station Montpellier Bel air et sur Paris Montsouris mettant en évidence le fait que la méthode des volumes donnait des valeurs généralement supérieures à celles de la méthode des pluies. Les résultats obtenus sur la station Montpellier Bel air à partir d'enregistrements pluviographiques effectués sur 52 ans montrent des écarts de capacité entre les deux méthodes, pour une période de retour de 10 ans variant de 5 à 50% (Raous, 1983).
On comprend bien intuitivement pourquoi. Dans la méthode des pluies, on isole et on extrait les événements "intéressants" d'une série pluviométrique complète, on perd alors la notion de succession des pluies. Or pour certains débits de fuite, et compte tenu du temps de vidange, plusieurs épisodes pluvieux peuvent se produire successivement, la deuxième pluie se produisant alors que le bassin n'est pas complètement vidangé de la première.
68
La méthode des volumes telle qu'elle est définie dans l'instruction technique n'est pas non plus sans failles. En effet le découpage en grandes régions pluviométriques impose la prise en compte de résultats moyens sur chaque région. Or l'hétérogénéité de la pluviométrie à l'intérieur d'une région fait que les résultats obtenus par l'instruction technique peuvent être, eux aussi, sous ou surévalués. » [Certu 2003]
Notons également que ces méthodes ne représentent que des ouvrages qui fonctionnent de l’amont vers l’aval, et ne permettent pas de prendre en compte les interactions entre ouvrages.
Les outils de modélisation/dimensionnement
Les outils suivants ont un rôle plus large que le simple dimensionnement, ils permettent aussi de représenter le fonctionnement de l’ouvrage et des réseaux à l’amont et à l’aval de ce dernier en y permettant la propagation des signaux (hydrogrammes).
• Le système d’équations de Barré de Saint-Venant
Le système de Barré de Saint-Venant (1871) est un système d’équations différentielles qui permet de modéliser les écoulements non permanents à surface libre en général, et dans les réseaux d’assainissement en particulier [Kovacs, 1988]. Il est à l’origine des modèles dits mécanistes. Il permet ainsi de déterminer l’évolution des deux variables d’états de l’écoulement du fluide que sont : la vitesse d’écoulement V et le tirant d’eau h. Ces variables sont exprimées en fonction du temps t et suivant une direction principale discrétisée en pas d’espace x. En ce qui concerne la modélisation des ouvrages de rétention, les modèles issus de ce système d’équations permettent de représenter l’évolution de la ligne d’eau dans
l’ouvrage étudié.
Les équations se basent sur les hypothèses générales suivantes:
- l’écoulement est considéré comme unidimensionnel et rectiligne, [Chocat, 1997] ;
- la surface du fluide est graduellement variable [Vasquez, 2010], ce qui signifie qu’on considère que les variables d’écoulement évoluent suffisamment lentement pour être assimilées à leur valeur moyenne ; - chaque élément du fluide vertical se déplace à la même vitesse qui est la vitesse moyenne de l’écoulement V= Q/S où S est la section mouillée du bief ;
-le fluide est supposé parfait et incompressible. Sa masse volumique est constante ;
-la valeur de la pente du fond du bief étudié est assimilée à l’angle que celui-ci fait avec l’horizontale [Bertand-Krajewski, 2006].
69
Le système de Barré de Saint-Venant est constitué des deux équations suivantes:
- une équation de continuité, qui traduit la conservation de la masse : 𝑑𝑆
𝑑𝑡+ 𝑑𝑄
𝑑𝑥 = 𝑞 eq 2.I.4
- une équation dynamique, qui traduit la conservation de la quantité de mouvement : 𝑑𝑄 𝑑𝑡+ 𝑑(𝑄2/𝑆) 𝑑𝑥 + 𝑔 ∗ 𝑆 𝑑ℎ 𝑑𝑥= 𝑔 ∗ 𝑆 ∗ (𝐼 − 𝐽) + 𝑘 ∗ 𝑞 ∗ 𝑄 𝑆 eq 2.I.5 avec : h: hauteur d’eau (m) I : pente (m/m) J : perte de charge (m/m)
k : coefficient de transfert de la quantité de mouvement du débit latéral q, variant de 0 à 1
q : débit latéral éventuel entrant ou sortant par unité de longueur (m²/s) Q : débit (m3/s)
S : section mouillée (m2) t : temps (s)
x : abscisse (m)
En hydrologie urbaine, la résolution de ce système se fait le plus souvent par des schémas aux différences finies que nous ne décrirons pas ici. Ces résolutions, accompagnées d’hypothèses simplificatrices, ont donné naissance à plusieurs modèles tels que : le modèle de l’onde dynamique (modèle à inertie prépondérante), le modèle de l’onde diffusante et le modèle de l’onde cinématique (modèle à frottement prépondérant et inertie négligeable). Selon [Chamoux, 2003], ces modèles « sont en
mesure de traduire l’évolution de débit ainsi que des paramètres tels que les variations des hauteurs d’eau et des vitesses d’écoulement, tout en intégrant les interactions des différentes parties et éléments constituant le réseau. »
La modélisation des interactions entre techniques alternatives demande de pouvoir représenter des phénomènes comme les mises en charge ou les influences aval en conduite ou encore les influences aval qui peuvent se produire entre ouvrages. Il faut alors être capable de représenter des écoulements variés, qui évoluent en se propageant rapidement vers l’amont ou vers l’aval, ce que peut réaliser les équations de Barré de saint Venant. Mais il est alors nécessaire d’utiliser des modèles de techniques
70
alternatives qui soient compatibles avec les hypothèses de Barré de Saint- Venant. Comme cela est rarement le cas, la plupart des logiciels basés sur les équations de Barré de Saint-Venant utilisent des artifices de calcul pour assurer la continuité du code entre les ouvrages de rétention et les conduites en sortant [Bertand-Krajewski, 2006]. Ces artifices sont souvent source d’instabilité du modèle [Chocat, 1997], de temps de calculs longs et l’équation de continuité n’est pas toujours respectée (création ou perte d’eau). Donc les codes actuels ne sont pas capables de gérer les interactions entre ouvrages de rétention ou de techniques alternatives. Notons enfin que pour [Semsar, 1995], "Plus le modèle est sophistiqué,
plus il est consommateur de temps de calcul et nécessite un ajustement difficile de ses paramètres de calcul ".
Les modèles de type réservoir (Muskingum par exemple)
Les modèles de réservoir permettent de modéliser l’évolution des volumes en fonction du temps. Ils calculent le décalage temporel entre l’hydrogramme entrant dans un ouvrage, et l’hydrogramme sortant. Ces modèles sont basés sur l’hypothèse selon laquelle le volume stocké dans un bief est proportionnel au débit qui s’écoule dans ce bief. La simulation ne se fait que de l’amont vers l’aval.
Les modèles de réservoir sont constitués d’un système de deux équations, une équation de continuité et une équation de stockage.
-équation de continuité : 𝑑𝑉𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑄𝑒(𝑡) − 𝑄𝑠(𝑡) eq 2.I.6 -équation de stockage : 𝑉𝑠 = 𝐾(𝛼𝑄𝑒(𝑡) + (1 − 𝛼)𝑄𝑠(𝑡)) eq 2.I.7 avec :
Vs : le volume stocké dans l’ouvrage étudié (m3) Qs : le débit sortant (m3/s)
Qe : le débit entrant (m3/s) K : le temps de parcours (s)
α
:
le paramètre de pondération des débits entrants.71
Le paramètre K (aussi appelé lag-time) représente initialement le temps de parcours de l’onde de crue de célérité C, sur une distance Δx.
Le paramètre
α
est un paramètre de pondération, pour quantifier l’influence des débits entrant et sortant sur le volume stocké.Selon [Semsar, 1995], « dans de nombreux cas, des modèles utilisant des
formulations simples de type Muskingum, peuvent conduire à des résultats quasi similaires à ceux du modèle de Barré de Saint Venant. »
De même [Vasquez, et al. 1999] a montré qu’ils peuvent donner des résultats comparables à ceux obtenus avec le modèle de Barré de Saint- Venant lors de la simulation des réseaux de conduites circulaires.
Néanmoins, ce type de modèle n’est pas indiqué pour simuler les influences aval [Semsar, 1995], car on s’intéresse uniquement à l’évolution du stock et la hauteur d’eau n’est pas considérée dans le calcul. En résumé ces modèles présentent des qualités de robustesse, des avantages en vitesse de calcul mais ils sont incapables de gérer les influences aval et donc les interactions entre ouvrages.
En conclusion, aucun des modèles existants n’est totalement adapté à notre problématique mais leur analyse nous permet de mieux cerner nos besoins. Ainsi, le choix qui est fait dans la suite notre étude est de travailler avec des modèles robustes et rapides de type réservoir, auquel sera rajoutée une fonction capable de modéliser les interactions entre ouvrages de rétention.
72
Chapitre 2 : Proposition d’un modèle fiable, robuste et
rapide
II.1 Modélisation de la pluie
Comme indiqué précédemment, la construction des pluies de projet est réalisée sur la base d’une utilisation conjointe avec le modèle du réservoir linéaire, avec ajustement de Desbordes.
Le modèle du réservoir fait partie de l’ensemble des modèles conceptuels. Il nous permet de décrire le sous-bassin versant comme un ensemble qui réalise la transformation de la pluie en un débit à son exutoire. La pluie est donc considérée comme un événement unique qui vient s’appliquer de façon homogène sur le bassin versant. La relation entre la pluie et le sous- bassin versant peut être représenté comme ci-dessous :
La formulation du modèle du réservoir linéaire est donnée par une équation de continuité :
𝑑𝑉𝑠(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝑄𝑒(𝑡) − 𝑄𝑠(𝑡) eq 2.II.1
H(t)
Schéma 2.II.1 Modèle du réservoir linéaire, appliqué au bassin versant hydrologique
i(t)
Qs(t)
73
et une équation de stockage : 𝑉𝑠(𝑡) = 𝐾 ∗ 𝑄𝑠(𝑡) eq 2.II.2 avec Vs(t) : le volume stocké à l’instant t (m3/s)
Qs(t) : débit sortant du bassin versant (m3/s) à l’instant t
K : temps de décalage entre les centres de gravité du hyétogramme net et de l’hydrogramme à l’exutoire du bassin versant encore appelé lag-time De nombreuses études ont été menées pour déterminer la valeur du paramètre K [Sarna et al, 1969 ; Wu, 1963, etc.]. Nous prendrons la formulation donnée par Desbordes :
𝐾 = 0,494. 𝐴−0,0076∗ 𝐼−0,401∗ 𝐼𝑀𝑃−0,512∗ 𝐿0,608𝑒 eq 2.II.3 Avec A : surface du bassin versant (Ha)
I : pente moyenne du bassin versant (%)
IMP : coefficient d’imperméabilisation= coefficient de ruissellement [Certu, 2003]
Le: plus long parcours de l’eau sur le bassin versant (m)
Cette formulation n’est valable que dans les conditions suivantes : 0,4<A<5000Ha
2<IMP<100% 110<Le<17,8km 0,4<I<4,7%
Sur cette base M. Desbordes a construit un modèle de pluie de projet. Cette pluie de projet est considérée comme un événement unique, qui vient s’appliquer de façon homogène sur le bassin versant. Sa période de retour a été choisie de sorte à ce que l’événement considéré soit susceptible de mettre en défaut le réseau d’assainissement. La construction de Desbordes [Desbordes, 1974] est basée sur les constats suivants :
-lors d’un événement pluvieux exceptionnel, on peut distinguer 3 périodes : une période de pluie intense, et de courte durée, précédée et suivie d’une séquence de pluie plus faible, durant quelques heures ;
-les événements pluvieux étant aléatoires et uniques, aucun diagramme de pluie n’a plus de probabilité de se produire qu’un autre.
74
Avec ce modèle, il a ainsi construit des pluies de projet ayant la forme d’un double triangle. Elles correspondent à l’objectif que nous avons d’observer l’évolution du fonctionnement des ouvrages alternatifs en fonction du temps.
Les pluies de projet double triangle sont déterminées par 5 données: - T3 (heures) : la durée totale de l’événement ;
-T1 (mn) : la durée de la période de pluie intense ;
- T2/T3 : la position de la pointe d'intensité par rapport au début de la pluie ; -i1 (mm/h) : l'intensité maximum atteinte durant la phase de pluie intense, calculée par le biais des coefficients de Montana de période de retour décennale;
-i2 (mm/h) : l'intensité de pluie atteinte durant la première phase de l’événement, calculée par le biais des coefficients de Montana de période de retour 3 ou 4 ans.
M. Desbordes préconise de prendre T3 = 4h, T1 = 30mn (pouvant varier de 15mn à 60mn) et T2/T3 = ,75
Ce modèle de pluie a été modifié ultérieurement par B. Chocat qui a relié la durée de la pluie au lag-time du bassin versant afin de permettre un usage de la pluie de projet à une plus grande variété de bassins versants et pour des périodes de retour quelconques. D’après [Chocat et al,1978], les paramètres de la pluie de projet sont obtenus par les équations suivantes : 𝑇1 = 0,5 ∗ 𝐾, eq 2.II.4 𝑇2 = 2,25 ∗ 𝐾 eq 2.II.5 𝑇3 = 5𝐾 eq 2.II.6 𝑖1 = (0,25 ∗ 𝐾)𝑏∗ 0,1𝑏−1 0,9∗0,1𝑏∗ 120 ∗ 𝑎 ∗ 2 𝑏 eq 2.II.7 𝑖2 = (0,25 ∗ 𝐾)𝑏∗1−0,1𝑏+1 0,9∗0,1𝑏 ∗ 120 ∗ 𝑎 ∗ 2 𝑏 eq 2.II.8
Où a et b sont les coefficients de Montana correspondant à la pluviométrie de la zone étudiée, et à la période de retour de l’événement dont on veut se protéger.
75
Ce modèle de pluie s’est révélé très performant pour les bassins versants de taille supérieure à 15ha mais présentait des faiblesses pour les bassins versants de taille inférieures. B. Chocat a donc conçu un modèle de pluie de projet adapté aux petits bassins versants : la pluie simple triangle dont voici les équations (Zhenyu et al, 2005) :
𝑇 = 106 ∗ (𝐴0,441) ∗ 𝑒𝑥𝑝4,23∗𝑏 eq 2.II.9
𝑖 = 120 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡𝑏 eq 2.II.10
Schéma 2.II.2 Pluie de projet double triangle symétrique
Intensité pluviométrique (mm/h) Temps (mn) i2 T1 T3 T2 i1
76
Dans le cadre de notre travail de recherche, comme par définition les techniques alternatives sont associées à des bassins versants de petite taille, nous utiliserons ce dernier modèle.
II.2 Modélisation du bassin versant
Nous rappelons ci-dessous la formulation des modèles à réservoir. Elle est constituée :
-d’une équation de continuité : 𝑑𝑉𝑠(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝑄𝑒(𝑡) − 𝑄𝑠(𝑡) eq 2.II.11 -d’une équation de stockage : 𝑉𝑠(𝑡) = 𝑓(𝑄𝑒(𝑡), 𝑄𝑠(𝑡)), eq 2.II.12 avec :
Vs(t) : le volume stocké à l’instant t (m3/s) ;
Qs(t) : débit sortant du bassin versant à l’instant t (m3/s) ;
Qe(t) : débit entrant dans le bassin versant à l’instant t (m3/s). Ce dernier est donné par : 𝑄𝑒(𝑡) = 𝐴 ∗ 𝐼𝑀𝑃 ∗ 𝑖(𝑡). eq 2.II.13
Intensité pluviométrique (mm/h)
Temps (mn) i(t)
T
Schéma 2.II.3 Pluie de projet simple triangle symétrique
77
Comme nous l’avons dit précédemment, le débit sortant calculé à l’aide du modèle du réservoir linéaire, est donné par :
𝑉𝑠(𝑡) = 𝐾 ∗ 𝑄𝑠(𝑡). eq 2.II.14
En remplaçant les différentes valeurs dans l’équation de stockage, on obtient : 𝑑𝑉𝑠(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝑄𝑒(𝑡) − 𝑄𝑠(𝑡) eq 2.II.15
𝑑𝑉𝑠(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝐴 ∗ 𝐼𝑀𝑃 ∗ 𝑖(𝑡) − 𝑄𝑠(𝑡) eq 2.II.16
Afin de résoudre cette équation, il est possible d’utiliser un schéma aux différences finies. On procède à une discrétisation de l’équation différentielle et on obtient :
𝐴 ∗ 𝐼𝑀𝑃 ∗ 𝑖(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑄𝑠(𝑡 + ∆𝑡) =
(𝑉𝑠(𝑡+∆𝑡)−𝑉𝑠(𝑡))
∆𝑡 eq 2.II.17
Comme 𝑉𝑠(𝑡) = 𝐾 ∗ 𝑄𝑠(𝑡), alors cette équation peut s’écrire : 𝐴 ∗ 𝐼𝑀𝑃 ∗ 𝑖(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑄𝑠(𝑡 + ∆𝑡) =(𝐾∗𝑄𝑠(𝑡+∆𝑡)−𝐾∗𝑄𝑠(𝑡))
∆𝑡 eq 2.II.18
En définitive, on obtient l’expression du débit sortant du bassin versant : 𝑄𝑠(𝑡 + ∆𝑡) = ∆𝑡
𝐾+∆𝑡(𝐴 ∗ 𝐼𝑀𝑃 ∗ 𝑖(𝑡 + ∆𝑡)) + 𝐾
𝐾+∆𝑡∗ 𝑄𝑠(𝑡) eq 2.II.19
[Desbordes, 1975] est parvenu à modéliser 80% d’une série d’hydrogrammes de pluie, avec le modèle de réservoir linéaire, ce qui nous assure de la représentativité du modèle. Le modèle du réservoir linéaire présente l’avantage de permettre de représenter de façon globale et concrète des phénomènes complexes tels que la pluie et son ruissellement sur un bassin versant urbanisé. Tout ceci avec un nombre de paramètres limités et tous représentatifs du bassin versant. La discrétisation que nous avons choisi nous assure la stabilité du modèle [Bertrand-Krajevski, 2006]. En dessous de 10 ha, le choix du pas de temps en fonction du lagtime est important. Nous y reviendrons dans la simulation des écoulements en conduite.
II.3 Modélisation du stockage
La modélisation des techniques alternatives requiert de pouvoir représenter le phénomène de stockage qui permet la rétention des eaux pluviales dans les ouvrages. La formulation du modèle que nous utiliserons
78
est faite de deux équations : une équation de stockage et une équation de continuité.
L’équation de stockage permet d’exprimer la variation du stock -et dans notre cas, du volume stocké- dans le bief. Cette évaluation du stock dépend des hypothèses faites sur la représentation géométrique de l’objet étudié. Notre travail a pour objectif de simuler le fonctionnement des ouvrages de stockage-restitution disposés en série ou en maille. Notre focus est donc sur les échanges entre ces ouvrages, et les conséquences de ces échanges sur le fonctionnement du groupe d’ouvrages. Nous nous intéressons également aux répercussions du fonctionnement simultané de plusieurs ouvrages sur les objectifs de réduction des débits, et répartition d’un volume global retenu en plusieurs sous-volumes retenus. Nous pourrons ainsi apporter des améliorations aux méthodes de dimensionnement. Nous nous plaçons donc dans le domaine des sciences de la conception, dont l’objectif est de représenter globalement le système étudié, sans en décrire toute la complexité. Dans notre cas, l’objet global est l’ouvrage de stockage dans son ensemble. De ce fait, nous ne prétendons pas le représenter en détail, mais plutôt le représenter de façon efficace : c’est-à-dire de telle sorte qu’on peut appréhender correctement son fonctionnement. L’élément fondamental qui pilote le fonctionnement des ouvrages de stockage est la variation du stock disponible dans ceux-ci.
Dans la réalité, les ouvrages de stockage-restitutions sont de forme très variable. Leur forme dépend surtout de l’espace disponible, de la topographie, de l’intégration de l’ouvrage dans son environnement, et de l’imagination du concepteur.
Pour notre travail de recherche, nous avons choisi de représenter les