L’espace euclidien R n
2.3 Suites dans R n
2.4.1 Ouverts et ferm´ es
Suggestion. Posonsa = infn
(ak)1/k :k ∈N0
o
. Pour tout ε >0, il existe bien sˆur m ∈ N0 tel que am ≤ (a+ε)m. Posons A = sup{a1, . . . , am}. Comme, pour tout n ∈ N0, il existe pn, qn ∈ N tels que n = mpn+qn avec 0 ≤ qn < m, il vient successivement
an=ampn+qn ≤ampnaqn ≤(a+ε)mpnaqn ≤(a+ε)mpnA donc
a≤(an)1/n ≤(a+ε)mpn/nA1/n = (a+ε)A1/n(a+ε)−qn/n.
Or la suiteA1/n(a+ε)−qn/nconverge vers 1 (on a en effet r1/n→1 pour toutr >0).
Par cons´equent, il vient a ≤ (an)1/n ≤ a+ 2ε pour n suffisamment grand, ce qui permet de conclure.
∗ →D`es lors, pour tout ´el´ementad’une alg`ebre norm´ee (A,k·k), la suitekamk1/m converge vers infn
ak
1/k :k∈N0
o . ← ∗
2.4 Topologie de R
n2.4.1 Ouverts et ferm´ es
D´efinition. Une partie Ω de Rn estouverte (on dit aussi “est un ouvert”) si tout point de Ω est le centre d’une boule incluse dans Ω ou encore si Ω est voisinage de chacun de ses points.
Exemples. a) Bien sˆur, Rn et ∅ sont des ouverts de Rn.
b)Les seuls intervalles ouverts de Rsont les intervalles des types suivants: ]a, b[, ]−∞, b[, ]a,+∞[ et]−∞,+∞[. On v´erifie ais´ement que ces intervalles sont ouverts.
De plus, aucun autre intervalle de R n’est ouvert: ainsi, par exemple, l’intervalle [a, b] n’est pas ouvert car a y appartient et n’est le centre d’aucune boule incluse dans cet intervalle.
c)Un intervalle I =I1× · · · ×In de Rn est ouvert si et seulement si chacun de ses intervalles constitutifsI1, . . . , In est ouvert dans R. La condition est n´ecessaire.
Pour tout j ∈ {1, . . . , n} et tout a ∈ Ij, il existe un point x ∈ I dont la j-`eme composante est ´egale `aa. Il existe ensuiter >0 tel que{y :|x−y| ≤r} ⊂I, donc tel que
{b ∈R:|a−b| ≤r}={[y]j :|x−y| ≤r} ⊂Ij.
La condition est suffisante. Soit x un point de I. Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, on a xj ∈Ij et il existe donc rj >0 tel que {a∈R:|xj −a| ≤rj} ⊂ Ij. Cela ´etant, on obtient de suite
y :|x−y| ≤ inf
1≤j≤nrj
⊂I.
d)Pour tout x∈Rn et toutr >0, la boule b ={y:|x−y|< r} est ouverte. De fait, si y appartient `a cette boule, on v´erifie de suite que
{z :|y−z|< r− |x−y|} ⊂b.
Par contre, la boule b0 = {y:|x−y| ≤r} n’est pas ouverte. Il suffit de remar-quer que le point x+re1 appartient assur´ement `a b0 et n’est le centre d’aucune boule incluse dans b0: pour tout r0 > 0, le point x + re1 + r0e1 appartient `a {y:|x+re1−y| ≤r0} et n’appartient pas `a b0.
e) Pour toute partie non vide A de Rn et tout r >0, l’ensemble Ar ={x: d(x, A)< r}
est un ouvert contenant A. Bien sˆur, cet ensemble Ar contient A. De plus, il s’agit d’un ouvert car, pour tout x ∈ Ar, on a d(x, A) = rx avec rx < r donc {y:|x−y|< r−rx} ⊂ Ar, comme on le v´erifie de suite au moyen de l’in´egalit´e triangulaire relative `a la distance entre parties de Rn.
D´efinition. Une partie de Rn estferm´ee (on dit aussi “est un ferm´e”) si son compl´ementaire dansRn est ouvert.
Dans Rn, on peut donner une d´efinition directe (c’est-`a-dire qui ne recourt pas au compl´ementaire) des parties ferm´ees grˆace `a la caract´erisation suivante.
Th´eor`eme 2.4.1.1 Une partie F de Rn est ferm´ee si et seulement si elle con-tient la limite de toutes ses suites convergentes.
Preuve. La condition est n´ecessaire. Soit xm une suite deF qui converge vers x. Si x n’appartient pas au ferm´e F, il appartient `a l’ouvert Rn\F. Il existe alors r > 0 tel que {y:|x−y| ≤r} ⊂ Rn\F. Comme la suite xm converge vers x, il existe M tel que |xm−x| ≤ r donc tel que xm ∈Rn\F pour tout m ≥ M. D’o`u une contradiction.
La condition est suffisante. Si Rn\F n’est pas ouvert, il existe x ∈ Rn\F tel qu’aucune boule centr´ee en x ne soit incluse dans Rn \F. Cela ´etant, pour tout m ∈ N0, l’ensemble Am = F ∩ {y:|x−y| ≤1/m} n’est pas vide. Vu le troisi`eme moyen d’obtention d’une suite, il existe alors une suite xm telle que xm ∈Am pour toutm ∈N0. D’o`u une contradiction car il s’agit d’une suite deF qui converge vers x.
Exemples. a) Bien sˆur, Rn et ∅ sont des ferm´es de Rn.
b)Les seuls intervalles ferm´es de Rsont les intervalles des types suivants: [a, b], ]−∞, b], [a,+∞[ et ]−∞,+∞[. On v´erifie directement que ces intervalles sont ferm´es, au moyen des propri´et´es des suites num´eriques r´eelles convergentes vis-` a-vis des signes d’in´egalit´e. De plus, aucun autre intervalle n’est ferm´e: ainsi, par exemple, l’intervalle I = ]a, b[ n’est pas ferm´e car (xm =a+ (b−a)/(m+ 1))m∈
N0
est une suite de I qui converge versa.
c) Un intervalle I = I1 × · · · × In de Rn est ferm´e si et seulement si chacun de ses intervalles constitutifs est ferm´e dans R. La condition est n´ecessaire. Soient j ∈ {1, . . . , n} et am une suite de Ij qui converge vers a. Pour tout k ∈ {1, . . . , n}
diff´erent de j, choisissons un point bk de Ik et d´efinissons la suite xm deRn par xm = (b1, . . . , bj−1, am, bj+1, . . . , bn).
Il s’agit ´evidemment d’une suite deI qui converge vers x= (b1, . . . , bj−1, a, bj+1, . . . , bn).
De l`a, a appartient `a Ij. La condition est suffisante. Soit xm une suite de I qui converge vers x. Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, on sait alors que la suite [xm]j est une suite Ij qui converge vers [x]j. Si chacun des Ij est ferm´e, on a [x]j ∈ Ij pour tout j et par cons´equentx∈I.
d)Pour tout x∈Rn et tout r >0, la boule b ={y:|x−y| ≤r} est ferm´ee. De fait, si la suite ym de b converge vers y, la suite ym−x converge vers y−x. On a donc|ym−x| → |y−x| avec|ym−x| ≤r pour toutm ∈N0, ce qui suffit.
Par contre, la boule b0 = {y:|y−x|< r} n’est pas ferm´ee. De fait, on v´erifie directement que (ym =x+ (1−1/m)re1)m∈
N0 est une suite de b0 qui converge vers le pointx+re1 qui n’appartient pas `a b0.
e)Toute partie finie de Rn est ferm´ee.
f) Pour toute partie A de Rn diff´erente de Rn et tout r >0, l’ensemble A−r ={x: d(x,Rn\A)≥r}
est un ferm´e inclus dans A. Il suffit de remarquer que A−r =Rn\(Rn\A)r. Passons `a pr´esent aux propri´et´es des ouverts et des ferm´es.
Proposition 2.4.1.2 Si le point x n’appartient pas au ferm´e F de Rn, il existe des ouverts disjoints Ωx et ΩF contenant respectivement x et F. (On dit que “Rn est un espacer´egulier”.)
En particulier, si x et y sont deux points distincts de Rn, il existe des ouverts disjoints Ωx et Ωy contenant respectivement x et y. (On dit que “Rn est un espace s´epar´e”.)
Preuve. Commexappartient `a l’ouvertRn\F, il exister > 0 tel que la boule {y:|x−y| ≤r} soit disjointe de F. Cela ´etant, on peut prendre
Ωx ={y:|x−y|< r/2} et ΩF ={y : d(y, F)< r/2}.
De fait, nous savons que Ωx est un ouvert contenant x et que ΩF est un ouvert contenantF. De plus, Ωx et ΩF sont disjoints: l’existence d’un pointy appartenant
`
a l’intersection de ces deux ensembles conduirait en effet `a la contradiction d(x, F)≤ |x−y|+ diam({y}) + d(y, F)< r.
Le cas particulier r´esulte aussitˆot de ce que {y}est ferm´e. On peut aussi v´erifier directement que les boules ouvertes
Ωx =
z :|x−z|< 12|x−y| et Ωy =
z :|y−z|< 12 |x−y|
conviennent.
Remarque. Au paragraphe 4.2.1, nous ´etablirons mˆeme que si F1 et F2 sont des ferm´es disjoints deRn, il existe des ouverts disjoints ΩF1 et ΩF2 contenant respectivement F1 etF2. (On dit que “Rn est un espacenormal”.)
Th´eor`eme 2.4.1.3 a) Toute union d’ouverts est ouverte.
b) Toute intersection de ferm´es est ferm´ee.
Preuve. a) De fait, si un point appartient `a une union d’ouverts, il appartient
`
a l’un d’entre eux et est donc le centre d’une boule incluse dans cet ouvert donc dans l’union des ouverts.
b) s’obtient directement par passage aux compl´ementaires dans a), vu la formule Rn\ \
j∈J
Aj
!
= [
j∈J
(Rn\Aj).
Th´eor`eme 2.4.1.4 a) Toute intersection finie d’ouverts est ouverte.
b) Toute union finie de ferm´es est ferm´ee.
Preuve. a) Soient Ω1, . . . , ΩJ des ouverts en nombre fini. Si un point x appartient `a leur intersection, il appartient `a chacun d’entre eux. D`es lors, pour tout j ∈ {1, . . . , J}, il existe rj > 0 tel que la boule {y:|x−y| ≤rj} soit incluse dans Ωj. Au total, r = inf{r1, . . . , rJ} est un nombre strictement positif tel que la boule {y:|x−y| ≤r}soit incluse dans chacun des Ωj donc dans leur intersection.
b) s’obtient directement par passage aux compl´ementaires dans a).