D´ erivabilit´ e et diff´ erentiabilit´ e
5.1.2 Fonctions d´ erivables
D´efinitions. Fixons k ∈ {1, . . . , n}. Une fonction f d´efinie sur l’ouvert Ω de Rn est d´erivable par rapport `a xk en x∈Ω si la limite
[Dkf]x = lim
h→0, h∈R0
f(x+hek)−f(x) h
existe et est finie, auquel cas cette limite est appel´eed´eriv´ee de f par rapport `a xk
en x et est aussi not´ee [Dkf](x), [Dx
kf]x, [Dx
kf](x), ∂
∂xkf
x
,
∂f
∂xk
x
,· · ·
Cette fonction est d´erivable par rapport `a xk sur Ω si elle est d´erivable par rapport
`
a xk en tout x∈ Ω; Dkf apparaˆıt alors comme une fonction sur Ω, appel´ee d´eriv´ee de f par rapport `a xk.
Une fonction f d´efinie sur un ouvert Ω de Rn est d´erivable sur Ω si, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, elle est d´erivable par rapport `a xk sur Ω. Elle est continˆument d´erivable sur Ω si elle est d´erivable sur Ω et si, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, Dkf est une fonction continue sur Ω.
Remarque. Soientf une fonction d´efinie sur l’ouvert Ω deRn,xun point de Ω et k un ´el´ement de {1, . . . , n}. On v´erifie de suite que
Ωx,k={y∈R: (x1, . . . , xk−1, y, xk+1, . . . , xn)∈Ω}
est un ouvert deR qui contientxk. Si on pose
g(y) =f(x1, . . . , xk−1, y, xk+1, . . . , xn)
pour touty∈Ωx,k, il est clair quegest une fonction d´efinie sur Ωx,k, quef est d´erivable par rapport `axken xsi et seulement sigest d´erivable enxket qu’on a alors [Dkf]x= [Dg]xk.
La liaison entre la continuit´e et la d´erivabilit´e est assez complexe.
a)La continuit´e n’entraˆıne pas la d´erivabilit´e. Ainsi|·|est une fonction continue surRnqui n’est pas d´erivable `a l’origine. ∗ →On peut mˆeme construire une fonction continue surR qui n’est d´erivable en aucun point de R. ← ∗
b)Si la fonction f est d´erivable sur l’ouvert Ω de Rn, alors, pour tout x∈Ω et tout k ∈ {1, . . . , n}, on a
h→0, h∈limR0
f(x+hek) =f(x).
De fait, il existe r > 0 tel que la boule de centre x et de rayon r soit incluse dans Ω. Cela ´etant, pour tout h∈]−r,0[∪]0, r[, on a
f(x+hek)−f(x) = h· f(x+hek)−f(x) h
et, si h 6= 0 converge vers 0, cette expression converge vers 0·[Dkf]x = 0, ce qui suffit.
En particulier, nous avons ´etabli le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 5.1.2.1 Toute fonction d´erivable sur un ouvert de R est continue sur cet ouvert.
c) Cependant si n est strictement sup´erieur `a 1, la d´erivabilit´e d’une fonction sur un ouvert de Rn n’entraˆıne pas sa continuit´e sur cet ouvert. Ainsi la fonction
f: R2 →R (x, y)7→
0 si (x, y) = (0,0) xy/(x2+y2) si (x, y)6= (0,0)
est d´erivable sur R2 (`a v´erifier directement) mais n’est pas continue `a l’origine (cf.
p. 98).
d) ∗ → La d´erivabilit´e d’une fonction sur un ouvert de Rn n’entraˆıne pas que cette fonction soit continˆument d´erivable sur cet ouvert. Ainsi la fonction
f: R→R x7→
0 si x= 0 x2·sin(1/x) six6= 0
est d´erivable sur R: sur R\ {0}, on a bien sˆur
[Df]x = 2x·sin(1/x)−cos(1/x) et, en 0, il vient
[Df]0 = lim
h→0, h∈R0
1
hh2·sin(1/h) = 0.
Cependant sa d´eriv´ee Df n’est pas continue en 0 car la suite [Df]1/(mπ) = 2
mπ ·sin(mπ)−cos(mπ) = (−1)m+1 ne converge pas. ← ∗
e) ∗ → Au paragraphe 5.1.7, nous ´etablissons que toute fonction continˆument d´erivable sur un ouvert de Rn est continue sur cet ouvert. ← ∗
Exercice. Etablir qu’il n’existe pas de fonction r´eelle f ∈ C0(R2) qui ne s’annule qu’en (0,0) et dont la d´eriv´ee [D1f]0 existe et diff`ere de 0.
Suggestion. Vu le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, une telle fonction f garde un signe constant sur {(x,0) :x >0} et sur {(x,0) : x <0}. De plus, ces signes doivent diff´erer car [D1f]0 existe et diff`ere de 0. Cela ´etant, la fonction g d´efinie sur [0, π] par g: θ 7→f(cos(θ),sin(θ)) est continue et telle que g(0)g(π)<0.
Vu le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires `a nouveau, il existe alors θ0 ∈]0, π[ o`u g s’annule, ce qui constitue une contradiction.
5.1.3 Exemples fondamentaux
a) Fonctions constantes. La fonction χRn est d´erivable sur Rn et, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, on a DkχRn = 0.
b) Fonctions composantes. Pour tout j ∈ {1, . . . , n}, la fonction [·]j est d´erivable sur Rn et telle que
Dk[·]j =
0 si k 6=j, χRn si k =j.
Il suffit de noter que, pour toutx∈Rn et tout h∈R0, on a [x+hek]j −[x]j
h =
0 si k 6=j, 1 si k =j.
Remarque. Par contre, siAest une partie non vide deRn, on ne peut affirmer que la fonctiond(·, A) soit d´erivable sur Rn. Ainsi pour A={0}, on obtient |·|et cette fonction n’est pas d´erivable en 0 car
h→0, h>0lim
|0 +hek| − |0|
h = 1 et lim
h→0, h<0
|0 +hek| − |0|
h =−1
5.1.4 Th´ eor` emes de g´ en´ eration
Convention. Dans ce paragraphe, J d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a 1;
f, g, f1, . . . , fJ sont des fonctions d´erivables sur un mˆeme ouvert Ω de Rn et c1, . . . ,cJ sont des nombres complexes.
Vis-`a-vis des op´erations alg´ebriques, on a les r´esultats suivants.
Th´eor`eme 5.1.4.1 Toute combinaison lin´eaire de fonctions d´erivables sur un ouvert Ω de Rn est d´erivable sur Ω et, pour tout k ∈ {1, . . . , n},
Dk
J
X
j=1
cjfj
!
=
J
X
j=1
cjDkfj.
Preuve. Cela r´esulte directement de la propri´et´e relative `a la limite des com-binaisons lin´eaires de fonctions.
Th´eor`eme 5.1.4.2 Tout produit fini de fonctions d´erivables sur un ouvert Ωde Rn est d´erivable sur Ω et, pour tout k∈ {1, . . . , n},
Dk(f1· · ·fJ) = (Dkf1)·f2· · ·fJ+· · ·+f1· · ·fj−1·(Dkfj)·fj+1· · ·fJ
+· · ·+f1· · ·fJ−1·(DkfJ).
En particulier, si les fj diff`erent de 0 en tout point de Ω, alors, pour tout entier k∈ {1, . . . , n},
Dk(f1. . . fJ)
f1. . . fJ = Dkf1
f1 +· · ·+ DkfJ fJ .
Preuve. Un raisonnement par r´ecurrence montre ais´ement qu’il suffit de prou-ver ce th´eor`eme pour J = 2. Or on a
f1(x+hek)·f2(x+hek)−f1(x)·f2(x) h
= f1(x+hek)−f1(x)
h ·f2(x+hek) +f1(x)· f2(x+hek)−f2(x) h
pour touthde module suffisamment petit et on voit ais´ement que le second membre de cette ´egalit´e converge vers (Dkf1)·f2 +f1·(Dkf2) si h→0, ce qui suffit.
Th´eor`eme 5.1.4.3 Le quotient de deux fonctions d´erivables sur un ouvertΩde Rn dont le d´enominateur ne s’annule en aucun point deΩest une fonction d´erivable sur Ω et telle que, pour tout k∈ {1, . . . , n},
Dk f
g = (Dkf)·g−f·(Dkg)
g2 .
Preuve. Vu le th´eor`eme pr´ec´edent, il suffit ´evidemment d’´etablir que 1/g est d´erivable sur Ω et tel que, pour toutk ∈ {1, . . . , n},
Dk1
g =−Dkg g2 .
Or, pour tout h6= 0 de module suffisamment petit, il vient 1
Ces trois ´enonc´es donnent lieu au r´esultat suivant.
Th´eor`eme 5.1.4.4 (op´erations alg´ebriques) Toute op´eration alg´ebrique ef-fectu´ee sur des fonctions d´erivables sur un ouvertΩdeRn est une fonction d´erivable sur Ωpour autant que les d´enominateurs ´eventuels ne s’annulent en aucun point de Ω. De plus, sa d´eriv´ee par rapport `a xk est donn´ee par une op´eration alg´ebrique o`u n’interviennent que les fonctions et leurs d´eriv´ees par rapport `a xk.
Exercice. SiAest une matrice de dimensionJ ×J dont les ´el´ements sont des fonc-tions d´erivables sur l’ouvert Ω de Rn, ´etablir que dtm(A) est d´erivable sur Ω et tel que
Dkdtm(A) = dtm(Dkc1, c2, . . . , cJ) +. . .+ dtm(c1, . . . , cJ−1,DkcJ)
Les propri´et´es de d´erivabilit´e relatives aux fonctions associ´ees `a une fonction d´erivable sont assez pauvres.
Th´eor`eme 5.1.4.5 (fonctions associ´ees) Une fonction f d´efinie sur l’ouvert Ωde Rn est d´erivable sur Ωsi et seulement si f est d´erivable sur Ω, ce qui a lieu si et seulement si <f et =f sont d´erivables sur Ω; de plus, on a alors
Dkf = Dkf , Dk(<f) =<(Dkf) et Dk(=f) ==(Dkf).
Remarque. Insistons sur le fait que la proposition “si f est d´erivable sur l’ouvert Ω, alors|f|est d´erivable sur Ω” est fausse comme le montre le contre-exemple de la fonction|·|
surR. De l`a, les propositions “sif est une fonction r´eelle et d´erivable sur l’ouvert Ω, alors f+ et f− sont d´erivables sur Ω” et “si f1, . . . , fJ sont des fonctions r´eelles et d´erivables sur l’ouvert Ω, alors les fonctions sup{f1, . . . , fJ}et inf{f1, . . . , fJ}sont d´erivables sur Ω”
sont ´egalement fausses.
Th´eor`eme 5.1.4.6 Si f est une fonction d´erivable sur l’ouvert Ω de Rn, alors la restriction de f `a tout ouvert Ω0 de Rn inclus dans Ω est une fonction d´erivable sur Ω0 et, pour tout k ∈ {1, . . . , n}, Dk(f|Ω0) est ´egal `a la restriction de Dkf `a Ω0.
Dans le cadre des th´eor`emes de g´en´eration des fonctions d´erivables, il nous reste
`
a examiner le cas des fonctions compos´ees et des fonctions de fonction. A cet effet, nous allons d’abord ´etablir le th´eor`eme des accroissements finis.