Outils pour la transformation d’un probl`eme BMI en un

A

G

(θ) B

G

(θ)

C

_G

(θ) D

_G

(θ)

¸

=





A(θ) 0 B

w

(θ)

0 0 0

C

z

(θ) 0 D

zw

(θ)



+· · ·

· · ·+





0 B

u

(θ)

I

n

0

0 D

zu

(θ)





·

A

K

(θ) B

K

(θ)

C

K

(θ) D

K

(θ)

¸ ·

0 I

n

0

C

y

(θ) 0 D

yw

(θ)

¸

.

(A.7)

La difficult´e est que l’ensemble des probl`emes d’optimisation sous contraintes BMI contient

des probl`emes non–convexes. L’objectif est alors de transformer ce probl`eme de

faisabi-lit´e sous contraintes BMI d´ependant de θ en un probl`eme de faisabilit´e sous contraintes

LMI d´ependant deθ. Nous donnerons d’abord les outils utilis´es pour cette transformation

avant de les appliquer.

Dans un second temps, nous consid´ererons les conditions sous la forme d’un probl`eme

de faisabilit´e sous contraintes LMI ind´ependant de param`etre.

A.2.1.1 Outils pour la transformation d’un probl`eme BMI en un probl`eme

LMI

Lorsque les matrices sont constantes, il existe de fa¸con g´en´erale plusieurs outils

permet-tant la transformation d’un probl`eme de faisabilit´e sous contraintes BMI en un probl`eme

de faisabilit´e sous contraintes LMI :

1. changement de base dans l’ensemble des vecteurs ;

2. changement de variables de d´ecision ;

3. ´elimination de variables de d´ecision ;

4. introduction de variables de d´ecision suppl´ementaires.

Deux approches sont habituellement consid´er´ees dans la litt´erature : la premi`ere combine

un changement de base dans l’espace des vecteurs et un changement de variables de

d´ecision [SGC97] ; la seconde utilise une ´elimination de variables de d´ecision (Lemme

d’´elimination [BEFB94, GA94]). Nous expliquons en quoi consiste ces trois outils

Changement de base dans l’ensemble des vecteursSoit L une matrice sym´etrique

deR

^p×p

. Cette matrice est d´efinie n´egative si et seulement si

∀x∈R

^p

\ {0}, x

^T

Lx <0.

Posonsx=T zavecT une matrice inversible. La matriceT repr´esente donc un changement

de base dans l’ensemble des vecteurs. Nous avons alors que L est d´efinie n´egative si et

seulement si

∀z ∈R

^p

\ {0}, z

^T

T

^T

LT z <0,

ce qui ´equivaut `a T

T

LT d´efinie n´egative. Cette op´eration de changement de base peut

aussi ˆetre vu comme une op´eration de congruence.

Lemme A.1 (Changement de base). Soient T une matrice inversible et L une matrice

sym´etrique.

Changement de variables de d´ecisionL’id´ee est de trouver une application surjective

d’un ensemble de matrices dans un autre ensemble de matrices qui lin´earise la contrainte.

Par exemple, consid´erons la contrainte BMI suivante :

AQ+QA

^T

+BKQ+Q

^T

K

^T

B <0

ou les variables de d´ecision sont la matrice sym´etrique d´efinie positive Q ∈ R

^n×n

et la

matriceK ∈R

ⁿu×n

. En consid´erant le changement de variables suivant :

CV : R

^n×n

×R

ⁿu×n

→ R

^n×n

×R

ⁿu×n

(Q, K) 7→ (Q,Y) = (Q, KQ),

la contrainte BMI est lin´earis´e en la contrainte LMI

AQ+QA

^T

+BY +Y

^T

B <0.

De plus, comme l’application CV est surjective, si (Q,Y) existe, alors (Q, K) existe

forc´ement :K =YQ

−1

.

´

Elimination de variables de d´ecision Consid´erons la contrainte suivante

G+U

^T

K

T

V +V

^T

KU < 0

o`u K est la variable de d´ecision non structur´ee. L’id´ee est de trouver des conditions

n´ecessaires et suffisantes d’existence deKsans faire intervenirK. On dit que l’on a ´elimin´e

la variableK. En substance, le r´esultat suivant, dit lemme d’´elimination [BEFB94, GA94],

´enonce de telles conditions.

Lemme A.2 (Lemme d’´elimination). Soient G = G

T

, U et V des matrices de tailles

compatibles.

Alors les trois propositions suivantes sont ´equivalentes :

(i) il existe K une matrice de taille compatible telle que

G+U

^T

K

T

V +V

^T

KU <0;

(ii) la condition suivante est v´erifi´ee

½

U

T

⊥

GU

⊥

< 0

V

T

⊥

GV

⊥

< 0

o`u U

⊥

est telle que U U

⊥

= 0 et telle que £

U

T

U

⊥

¤

est de rang plein ;

(iii) il existe un r´eel σ tel que ½

G−σU

T

U < 0

G−σV

T

V < 0 ^.

Dans notre cas, les matrices sont des fonctions deθ. Il est possible d’utiliser les mˆemes

approches que dans le cas o`u les matrices sont constantes. Pour cela, nous ´etendons les

r´esultats pr´ec´edents.

Changement de base param´etris´e dans l’ensemble des vecteurs Le Lemme A.1

Lemme A.3 (Changement de base param´etris´e). Soient [θ;θ] un intervalle born´e de R,

T(θ) une matrice de fonctions telle que, pour tout θ ∈ [θ;θ], T(θ) est inversible et L(θ)

une matrice de fonctions telle que, pour toutθ ∈[θ;θ], L(θ) est sym´etrique.

Alors, pour toutθ∈[θ;θ], L(θ)est d´efinie n´egative si et seulement si, pour toutθ ∈[θ;θ],

T(θ)

T

L(θ)T(θ) est d´efinie n´egative.

Changement de variables de d´ecision param´etris´e Dans le cas de fonctions de θ,

l’application surjective va d’un ensemble de fonctions vers un autre ensemble de fonctions.

Dans notre cas, ces ensembles de fonctions seront des ensembles de fonctions rationnelles.

Par exemple, consid´erons la contrainte BMI suivante :

∀θ ∈[θ;θ], A(θ)Q(θ) +Q(θ)A(θ)

^T

+B(θ)K(θ)Q(θ) +Q(θ)

^T

K(θ)

^T

B(θ)<0

ou les variables de d´ecision sont la matrice de fonctions rationnelles Q(θ) d´efinie

posi-tive pour tout θ ∈ [θ;θ] et la matrice de fonctions rationnelles K(θ). En consid´erant le

changement de variables suivant :

CV : ([θ;θ]→R

^n×n

)×([θ;θ]→R

ⁿu×n

) → ([θ;θ]→R

^n×n

)×([θ;θ]→R

ⁿu×n

)

(Q(θ), K(θ)) 7→ (Q(θ),Y(θ)) = (Q(θ), K(θ)Q(θ)),

la contrainte BMI d´ependant deθ est lin´earis´e en la contrainte LMI d´ependant de θ

A(θ)Q(θ) +Q(θ)A(θ)

^T

+B(θ)Y(θ) +Y(θ)

^T

B(θ)<0.

L’application est bien surjective et va bien d’un ensemble de fonctions rationnelles vers

un autre ensemble de fonctions rationnelles. Comme l’application CV est surjective, si

(Q(θ),Y(θ)) existe, alors (Q(θ), K(θ)) existe forc´ement : K(θ) =Y(θ)Q(θ)

−1

.

´

Elimination param´etris´e de variables de d´ecisionIl est possible d’´etendre le lemme

d’´elimination au cas o`u les matrices sont des fonctions de θ.

Lemme A.4 (Lemme d’´elimination param´etris´ee). Soient [θ;θ] un intervalle born´e de R

et des matricesG(θ) = G(θ)

T

,U(θ)etV(θ)de tailles constantes et compatibles, fonctions

continues en θ sur [θ;θ].

Alors les trois propositions suivantes sont ´equivalentes :

(i) il existe K(θ), une matrice de taille compatible, fonction rationnelle en θ, bien pos´ee

sur [θ;θ], telle que

∀θ ∈[θ;θ], G(θ) +U(θ)

^T

K(θ)

^T

V(θ) +V(θ)

^T

K(θ)U(θ)<0 ;

(ii) la condition suivante est v´erifi´ee

∀θ ∈[θ;θ],

(

U(θ)

T ⊥

G(θ)U(θ)

⊥

< 0

V(θ)

T ⊥

G(θ)V(θ)

⊥

< 0 ^;

(iii) il existe un r´eel σ tel que

∀θ ∈[θ;θ],

½

G(θ)−σU(θ)

T

U(θ) < 0

D´emonstration Par application du Lemme 2.2, page 66, la condition (i) est ´equivalente

`a : pour tout θ∈[θ;θ], il existe une matrice K

θ

telle que

G(θ) +U(θ)

^T

K

θ^T

V(θ) +V(θ)

^T

K

θ

U(θ)<0.

Par application du Lemme A.2, cette derni`ere condition est ´equivalente aux deux

propo-sitions suivantes :

– pour tout θ ∈[θ;θ],U(θ)

T

⊥

G(θ)U(θ)

⊥

<0 et V(θ)

T

⊥

G(θ)V(θ)

⊥

<0 ;

– pour tout θ ∈ [θ;θ], il existe σ

θ

∈ R tel que G(θ)−σ

θ

U(θ)

T

U(θ) < 0 et G(θ)−

σ

θ

V(θ)

T

V(θ)<0.

La premi`ere condition est en fait identique `a la condition (ii) du Lemme A.4. Par

ap-plication du Lemme 2.1, page 60, la seconde condition est ´equivalente `a la condition

suivante : il existe une fonction σ(θ) continue sur [θ;θ] telle que, pour tout θ ∈ [θ;θ],

on aG(θ)−σ(θ)U(θ)

T

U(θ) <0 et G(θ)−σ(θ)V(θ)

T

V(θ) <0. Cette derni`ere condition

est ´equivalente `a la condition (iii) du Lemme A.4. La condition (iii) du Lemme A.4

im-plique cette derni`ere condition en choisissantσ(θ) = σ. L’implication inverse est obtenue

en choisissant σ sup´erieur ou ´egal `a max

_θ∈[θ;θ]

σ(θ). Alors, pour tout θ ∈ [θ;θ], on a

σU(θ)

T

U(θ)≥σ(θ)U(θ)

T

U(θ) et σV(θ)

T

V(θ)≥σ(θ)V(θ)

T

V(θ), d’o`u le r´esultat. ¤

Dans le document Synthèse dépendant de paramètres par optimisation LMI de dimension finie : Application à la synthèse de correcteurs reréglables (Page 178-181)