3.2 Conception de correcteurs d´ependant de param`etres
3.2.1 Formulation des probl`emes consid´er´es
Nous consid´erons le syst`eme, dit augment´e, suivant :
P(p, θ)
˙
x(t) = A(θ)x(t) + B
w(θ)w(t) + B
u(θ)u(t)
z(t) = C
z(θ)x(t) + D
zw(θ)w(t) + D
zu(θ)u(t)
y(t) = C
y(θ)x(t) + D
yw(θ)w(t)
(3.1)
o`ux(t)∈R
nest le vecteur d’´etat deP(p, θ),u(t)∈R
nul’entr´ee de commande,y(t)∈R
nyla sortie de mesure,w(t)∈R
nwl’entr´ee de perturbation,z(t)∈R
nzla sortie command´ee et
θ∈P un vecteur de param`etres constants avec P= [θ
1;θ
1]× · · · ×[θ
nθ;θ
nθ] un polytope
born´ee de R
nθ. Les matrices de la repr´esentation d’´etat de P(p, θ) sont des fonctions
rationnelles en θ, bien pos´ees sur P, admettant une repr´esentation LFT.
Pour ce syst`eme, il est recherch´e un correcteur K(p, θ) pour que le syst`eme en boucle
ferm´ee v´erifie certaines propri´et´es. Le correcteur recherch´e, un retour de sortie, s’´ecrit de
la fa¸con suivante :
K(p, θ)
½
˙
x
K(t) = A
K(θ)x
K(t) + B
K(θ)y(t)
u(t) = C
K(θ)x
K(t) + D
K(θ)y(t) (3.2)
o`u x
K(t) ∈ R
nest le vecteur d’´etat de K(p, θ) et o`u les matrices de la repr´esentation
d’´etat du correcteur A
K(θ), B
K(θ), C
K(θ) and D
K(θ) sont des fonctions rationnelles en
θ, bien pos´ees sur P, admettant une repr´esentation LFT d’ordre limit´e.
Ces matrices sont recherch´ees ainsi pour des raisons d’impl´ementation. D’une part,
les fonctions rationnelles admettant une repr´esentation LFT d’ordre fini sont faciles `a
impl´ementer. Consid´erer d’autres types de fonctions (exponentielles, logarithmiques...)
est inutile puisqu’il faudrait les approcher par des fonctions rationnelles pour pouvoir
les impl´ementer. D’autre part, limiter l’ordre des repr´esentations LFT de ces fonctions
rationnelles est int´eressant puisque cela permet de limiter l’espace m´emoire allou´ee au
stockage de ces fonctions et de limiter le nombre d’op´erations n´ecessaires `a l’´evaluation
de ces fonctions et donc de limiter le risque d’erreurs num´eriques.
P(p, θ)
K(p, θ)
✲
✛
✲ ✲z
w
y
u
Fig. 3.1 – Syst`eme en boucle ferm´ee
Nous consid´erons tout d’abord une propri´et´e de normeH
∞. Le probl`eme consiste alors
`a d´eterminer, s’il existe, un correcteur d´ependant deθ garantissant que la normeH
∞du
syst`eme en boucle ferm´ee est inf´erieure `a une certaine borne pour toutes les valeurs de
θ∈P.
Probl`eme 3.1 (Probl`eme H
∞d´ependant de param`etres). Soient P un compact de R
nθ,
P(p, θ) le syst`eme augment´e d´efini par (3.1) et γ un r´eel strictement positif.
Trouver, s’il existe, un correcteur K(p, θ) d´efini par (3.2) tel que, pour tout θ ∈P :
1. le syst`eme en boucle ferm´ee P(p, θ)⋆ K(p, θ) est asymptotiquement stable ;
2. la norme H
∞du syst`eme en boucle ferm´ee est strictement inf´erieure `aγ :
kP(p, θ)⋆ K(p, θ)k
∞< γ
avec par d´efinition
kP(p, θ)⋆ K(p, θ)k
∞= sup
ω∈R
¯
σ(P(jω, θ)⋆ K(jω, θ))
o`u σ¯ d´esigne la valeur singuli`ere maximale.
Ce probl`eme peut ˆetre vu comme une extension du probl`emeH
∞standard dans lequel un
correcteur LTI ind´ependant de param`etre K(p) est recherch´e pour un syst`eme augment´e
LTI ind´ependant de param`etre P(p). Ici, le syst`eme augment´e et le correcteur d´ependent
de param`etres.
Remarque 3.1. Dans le Probl`emeH
∞d´ependant de param`etres (Probl`eme 3.1),γ majore
le pire cas sur la norme H
∞du syst`eme en boucle ferm´ee pour tout θ ∈P(voir page 61) :
γ ≥max
θ∈P
kP(p, θ)⋆ K(p, θ)k
∞.
La propri´et´e de norme H
∞est une des propri´et´es habituellement consid´er´ees dans la
litt´erature [DGKF89, GA94, SGC97, CG96]. Il est possible de d´efinir d’autres probl`emes
en consid´erant d’autres propri´et´es usuelles comme la norme H
2[DGKF89, SGC97], la
localisation des pˆoles dans une r´egion de type LMI [SGC97, CG96] et le multi–crit`eres
[SGC97, CG96]. La r´esolution de ces derniers probl`emes ´etant tr`es similaires `a celle du
Probl`eme H
∞d´ependant de param`etres (Probl`eme 3.1), elles seront d´evelopp´ees dans les
Annexes pour ne pas alourdir le corps du texte (dans la Section A.2.2, page 192, pour le
probl`eme associ´e `a la normeH
2, dans la Section A.2.3, page 192, pour le probl`eme associ´e`a la localisation des pˆoles et dans la Section A.2.4, page 192, pour le probl`eme associ´e au
multi–crit`eres).
De plus, nous ne nous int´eresserons plus qu’au cas o`uθ est un scalaire pour des raisons
de simplicit´e d’´ecriture. Cependant, rappelons que l’approche utilis´ee dans ce document
permet aussi de traiter le cas o`uθ est un vecteur. Nous consid´erons donc dans la suite de
ce chapitre que P= [θ;θ] est un intervalle born´e de R.
Le Probl`eme H
∞d´ependant de param`etres (Probl`eme 3.1) se divise en deux parties.
La premi`ere partie consiste `a v´erifier si un correcteur d´ependant de θ qui garantisse
les propri´et´es d´esir´ees existe. L’objectif est de trouver des conditions, faciles `a v´erifier
num´eriquement, qui permettent de tester l’existence d’un correcteur. Si un correcteur
existe, la seconde partie consiste `a en construire un. L`a encore, l’objectif est que cette
construction se fasse facilement, toujours d’un point de vue num´erique.
Le premier objectif peut ˆetre atteint en suivant les deux ´etapes :
1. trouver des conditions d’existence d’un correcteur d´ependant deθsous la forme d’un
probl`eme de faisabilit´e sous contraintes LMI d´ependant deθ;
2. transformer le probl`eme de faisabilit´e sous contraintes LMI d´ependant de θ obtenu
en un probl`eme de faisabilit´e sous contraintes LMI ind´ependant de param`etre.
La premi`ere ´etape peut ˆetre vu comme une extension de la d´emarche usuelle pour
trans-former un probl`eme de conception d’un correcteur ind´ependant de param`etre pour un
syst`eme augment´e ind´ependant de param`etre en un probl`eme de faisabilit´e sous contraintes
LMI ind´ependant de param`etre [DGKF89, BEFB94, SGC97, CG96]. Plusieurs approches
sont possibles pour cette premi`ere ´etape. La seconde ´etape repose sur l’application du
Th´eor`eme 2.1, page 87, obtenu dans le chapitre pr´ec´edent, qui permet une telle
transfor-mation.
Si un correcteur d´ependant de θ existe, le second objectif peut ˆetre atteint par deux
approches diff´erentes. La premi`ere approche consiste en les deux ´etapes suivantes :
1. trouver des conditions de construction d’un correcteur d´ependant deθ sous la forme
d’un probl`eme de faisabilit´e sous contraintes LMI d´ependant de θ;
2. transformer le probl`eme de faisabilit´e sous contraintes LMI d´ependant de θ obtenu
en un probl`eme de faisabilit´e sous contraintes LMI ind´ependant de param`etre.
La premi`ere ´etape peut ˆetre vu comme une extension de l’approche utilis´e pour construire
un correcteur ind´ependant de param`etre par la r´esolution d’un probl`eme de faisabilit´e
sous contraintes LMI ind´ependant de param`etre [Sco97]. La seconde ´etape repose sur
l’application du Th´eor`eme 2.1, page 87, obtenu dans le chapitre pr´ec´edent, qui permet
une telle transformation. La seconde approche consiste `a
1. trouver une formule explicite (d´ependant deθ) de construction du correcteur,i.e.une
formule explicite reliant les matrices d’´etat du correcteur aux variables de d´ecision ;
2. calculer cette expression en utilisant les op´erations sur les LFTs d´efinies `a la Section
A.1.5, page 175.
La premi`ere ´etape peut ˆetre vu comme une extension de l’approche utilis´ee pour construire
un correcteur ind´ependant de param`etre par formule explicite [SMN90, IS94, Gah96,
SGC97].
Il existe donc plusieurs approches possibles pour tester l’existence puis pour construire
un correcteur d´ependant de θ. Dans le corps du texte, nous ne discuterons que d’une
seule approche pour tester l’existence d’un correcteur, celle dite par changement de
va-riables param´etris´e. De mˆeme, nous ne discutons que d’une seule approche possible pour
la construction d’un correcteur, celle par formule explicite d´ependant de θ. Ces deux
approches sont celles que nous utiliserons dans la suite du document pour traiter les
exemples. Les autres approches possibles sont discut´ees en annexe, Section A.2.1, page
176.
3.2.2 Transformation du Probl`eme H∞ d´ependant d’un param`
Dans le document
Synthèse dépendant de paramètres par optimisation LMI de dimension finie : Application à la synthèse de correcteurs reréglables
(Page 105-108)