D´efinition des probl`emes consid´er´es

Dans l’ensemble des fonctions continues de R dans R, l’ensemble des fonctions

po-lynˆomiales et l’ensemble des fonctions rationnelles occupent une place fondamentale. En

effet, toute fonction continue peut ˆetre approch´ee avec une pr´ecision arbitrairement fix´ee

sur un compact par une fonction polynˆomiale ou une fonction rationnelle [Che82]. Comme

l’´evaluation de ces fonctions pour une valeur de son argument d’entr´ee revient `a effectuer

des additions, multiplications et inversions, op´erations ´el´ementaires que tout calculateur

peut r´ealiser, on dispose ainsi d’une m´ethode efficace pour ´evaluer toute fonction

conti-nue avec un certain degr´e de pr´ecision `a partir des ces op´erations ´el´ementaires. D’autre

part, si on consid`ere une fonction polynˆomiale et une fonction rationnelle qui approchent

avec une mˆeme pr´ecision une fonction continue, l’´evaluation de la fonction rationnelle

n´ecessite un nombre d’op´erations beaucoup plus faible que l’´evaluation de la fonction

po-lynˆomiale [Che82]. En effet, l’´evaluation d’une fonction popo-lynˆomiale et l’´evaluation d’une

fonction rationnelle de mˆeme degr´e n´ecessitent le mˆeme nombre d’op´erations coˆuteuses.

`

A degr´e ´egal, une fonction rationnelle a un _«pouvoir d’approximation_» beaucoup plus

important. Cheney [Che82] donne l’ordre de grandeur suivant : une fonction rationnelle

dont le num´erateur est de degr´en et dont le d´enominateur est de degr´e m (elle est donc

de degr´e max{m, n}) a le pouvoir d’approximation d’une fonction polynˆomiale de degr´e

n+m. Il est donc particuli`erement pertinent de travailler sur l’ensemble des fonctions

rationnelles. Nous choisissons donc des fonctions rationnelles pour les donn´ees et les

va-riables de d´ecision de la contrainte LMI d´ependant de param`etres. Ce choix a un fort

impact `a deux niveaux.

Le premier niveau d’impact concerne les r´esultats de ce chapitre. Dans la suite de ce

chapitre, nous ´etudierons la transformation d’un probl`eme d’optimisation LMI d´ependant

deθen un probl`eme d’optimisation LMI ind´ependant deθ. La taille de ce dernier probl`eme

d’optimisation (taille des donn´ees et nombre de variables de d´ecision de la contrainte LMI

ind´ependant de θ) va ˆetre une fonction polynˆomiale du degr´e des fonctions polynˆomiales

ou des fonctions rationnelles consid´er´ees. Dans les deux cas des fonctions polynˆomiales

et rationnelles, les fonctions d´efinissant la taille du probl`eme d’optimisation ind´ependant

de θ obtenu apr`es transformation ont le mˆeme terme dominant. Par suite, les fonctions

rationnelles permettant une meilleure approximation, travailler sur les fonctions

ration-nelles m`ene `a des probl`emes d’optimisation LMI de taille moins importante que travailler

sur les fonctions polynˆomiales, ce qui am´eliore l’efficacit´e.

Le second niveau d’impact concerne les probl`emes d’Automatique que l’on peut

formu-ler comme des probl`emes d’optimisation LMI d´ependant rationnellement de param`etres.

Dans ces probl`emes, les param`etres θ sont des param`etres du syst`eme (au sens large) ou

de la propri´et´e consid´er´ee (de stabilit´e ou de performance). Les donn´ees d´efinissant la

contrainte LMI sont construites `a partir du mod`ele du syst`eme `a analyser ou `a

comman-der. Elles d´ependent aussi de la propri´et´e consid´er´ee. Les variables de d´ecision d´efinissent

des fonctions de Lyapunov, de stockage, multipliers, etc., garantissant que la propri´et´e

est satisfaite. Dans le cas d’un probl`eme de commande, elles contiennent de plus les

pa-ram`etres du correcteur mis au point.

Pour de nombreux syst`emes `a analyser ou `a commander, les mod`eles sont tr`es souvent

rationnels en les param`etres de la propri´et´e consid´er´ee (de stabilit´e ou de performance).

Une telle propri´et´e est d’ailleurs `a l’origine du d´eveloppement important de la µ–analyse

(analyse de la robustesse des syst`emes incertains [Doy82]) durant ces vingt derni`eres

ann´ees. Si ce n’est pas le cas, un mod`ele rationnel en les param`etres peut quand mˆeme

ˆetre obtenu puisque les fonctions rationnelles ont un bon pouvoir d’approximation.

Dans le cas d’un probl`eme de commande, il est important que les param`etres du

cor-recteur soient des fonctions rationnelles en les param`etres θ du fait de la simplicit´e de

l’´evaluation de ces fonctions par des op´erations ´el´ementaires. Ce peut ˆetre par exemple

pour une impl´ementation du correcteur (voir le Chapitre 3, Section 3.2.1, page 104).

Nous consid´erons donc dans la suite du document deux cas de figure int´eressants et

pertinents :

1. les donn´ees et les variables de d´ecision de la contrainte LMI d´ependant de θ sont

des fonctions rationnelles d’une variable :n

θ

= 1, P= [θ;θ] est un intervalle born´ee

deR, i.e. θ et θ sont finies ;

2. les donn´ees et les variables de d´ecision de la contrainte LMI d´ependant deθ sont des

fonction rationnelles de plusieurs variables : n

θ

est un entier strictement sup´erieur

`a 1,P = [θ

₁

;θ

₁

]× · · · ×[θ

_nθ

;θ

_nθ

] un compact born´e de R

ⁿθ

, i.e., pour tout i, θ

_i

et

θ

_i

sont finies.

Probl`eme d’optimisation LMI d´ependant d’un param`etre consid´er´e Dans le

cas o`u la contrainte LMI ne d´epend que d’un param`etre, le Probl`eme 2.1 se r´ecrit de la

mani`ere suivante.

Probl`eme 2.2 (LMI d´ependant d’un param`etre). Soient n

R

un entier naturel non nul,

[θ;θ] un intervalle born´e de R, i.e. θ et θ sont finies, et pour i= 1,· · · , n

R

,

F

_c

: [θ;θ] → R

^m×m

θ 7→ F

c

(θ)

F

_i^g

: [θ;θ] → R

^m×m

θ 7→ F

_i^g

(θ)

F

d i

: [θ;θ] → R

^m×m

θ 7→ F

d i

(θ)

des matrices de fonctions rationnelles en θ, bien pos´ees sur [θ;θ]et admettant une

repr´e-sentation LFT. Soit N un entier naturel.

Trouver, si elles existent, pour i= 1,· · · , n

R

,

R

i

(θ) =

P

N

j=0

R

ij

θ

j

P

N

j=0

d

j

θ

j

(2.15)

des matrices (possiblement structur´ees) de fonctions rationnelles en θ, bien pos´ees sur

[θ;θ], telles que

∀θ∈[θ;θ], F

c

(θ)+

nR

X

i=1

F

_i^g

(θ)R

i

(θ)F

_i^d

(θ) +

Ã

F

c

(θ)+

nR

X

i=1

F

_i^g

(θ)R

i

(θ)F

_i^d

(θ)

!

T

<0. (2.16)

Remarque 2.4. Si [θ;θ] contient0, sans perte de g´en´eralit´e, on peut prendre d

0

= 1. De

plus, ceci ´evite la sur–param´etrisation des variables de d´ecision.

Il est `a remarquer que les Υ

i

et les d

j

sont libres et que seul le degr´eN des variables de

d´ecision a ´et´e fix´ea priori. Le degr´e d’une fonction rationnelle d’une variable est d´efinie

comme suit.

D´efinition 2.5(Degr´e d’une fonction rationnelle d’une variable). Le degr´e d’une fonction

rationnelle d’une variable est le maximum du degr´e de son num´erateur et du degr´e de son

d´enominateur.

Probl`eme d’optimisation LMI d´ependant de plusieurs param`etres consid´er´e

Dans le cas o`u la contrainte LMI d´epend de plusieurs param`etres, le Probl`eme 2.1 se

r´ecrit de la mani`ere suivante.

Probl`eme 2.3(LMI d´ependant de plusieurs param`etres). Soientn

θ

un entier strictement

sup´erieur `a un, n

R

un entier naturel non nul, P = [θ

₁

;θ

1]

× · · · ×[θ

_nθ

;θ

nθ

] un polytope

born´ee de R

ⁿθ

, i.e. pour tout i= 1, . . . , n

_θ

, θ

_i

et θ

_i

sont finies, et pour i= 1,· · · , n

R

,

F

c

: P → R

^m×m

θ 7→ F

_c

(θ)

F

_i^g

: P → R

^m×m

θ 7→ F

_i^g

(θ)

F

d i

: P → R

^m×m

θ 7→ F

d i

(θ)

des matrices de fonctions rationnelles enθ, bien pos´ees surPet admettant une

repr´esenta-tion LFT. Soient n

θ

entiers naturels N

j

.

Trouver, si elles existent, pour i= 1,· · · , n

R

,

R

i

(θ) =

P

N1 i1=0

· · ·^P

^Ni_nθ^inθ=0

R

i(i1,...,i_nθ)

θ

ⁱ1 1

. . . θ

ⁱnθ nθ

P

N1 i1=0

· · ·^P

^Ni_nθ^inθ=0

d

(i1,...,i_nθ)

θ

ⁱ1 1

. . . θ

ⁱn^nθθ

des matrices (possiblement structur´ees) de fonctions rationnelles en θ, bien pos´ees sur P,

telles que

∀θ ∈P, F

c

(θ) +

nR

X

i=1

F

_i^g

(θ)R

i

(θ)F

_i^d

(θ) +

Ã

F

c

(θ) +

nR

X

i=1

F

_i^g

(θ)R

i

(θ)F

_i^d

(θ)

!

T

<0. (2.17)

Remarque 2.5. Si P contient 0, sans perte de g´en´eralit´e, on peut prendre d

(0,...,0)

= 1.

De plus, ceci ´evite la sur–param´etrisation des variables de d´ecision.

Il est `a remarquer que lesd

(i1,...,i_nθ)

sont libres et que seuls les N

j

ont ´et´e fix´es a priori.

2.3.4 Variables de d´ecision rationnelles : pertinence et choix du

Dans le document Synthèse dépendant de paramètres par optimisation LMI de dimension finie : Application à la synthèse de correcteurs reréglables (Page 64-67)