Chapitre 2 : le modèle SWAT
2. Paramétrisation du modèle
2.3. Outils statistiques pour l’évaluation des résultats
Pour permettre l’analyse des résultats, certains outils statistiques spécifiques seront utilisés tout au long de ce travail de recherche.
2.3.1. Evaluation des performances de simulation hydrologique L’évaluation de la performance des simulations d’un modèle est faite par la comparaison des données simulées avec les données observées. Plusieurs indicateurs statistiques peuvent alors être utilisés. Une discussion générale de ces critères peut être trouvée dans Moriasi et al. (2007) et Krause et al. (2005)
a. Critère de Nash-Sutcliffe (Nse)
Le critère de Nash-Sutcliffe (Nash and Sutcliffe, 1970) est très largement utilisé en hydrologie. C’est un critère normalisé qui vise à exprimer la proportion de la variance des débits observés expliquée par le modèle hydrologique en la comparant à un estimateur de référence qui est la moyenne des débits observés. Nse est compris entre 0 et 1 et plus la valeur de Nse est proche de 1, plus la simulation du débit est bonne, 1 étant une description parfaite. Une valeur négative du Nse indique donc que la moyenne des débits observés est un meilleur prédicteur. Il est défini par :
Nse = 1 −∑ (Oi− Si) 2 N i=1 ∑ (ON i− O̅)2 i=1 (56)
où Oi et Si sont les valeurs des débits observés et simulés au pas de temps considéré. De
par sa définition, le Nse est un indicateur sensible au débit de pointe. Le Nse est utilisé pour réaliser la calibration de ce travail de recherches, mais d’autres critères ont été utilisés après la calibration pour compléter l’analyse des performances.
b. Nse sur le logarithme des valeurs de débit (NseLog)
Le NseLog est calculé avec la même formule que celle présentée ci-dessus. Elle est toutefois appliquée non plus aux valeurs de débit, mais sur le logarithme décimal des
l’influence des faibles valeurs de débit et ainsi donner une indication sur la robustesse du modèle pendant la période d’étiage
c. Nse sur la racine carrée des valeurs de débit (NseSqrt)
De même que NseLog, le NseSqrt est calculé en appliquant la fonction racine carrée à la valeur des débits. Cette fois, les propriétés de la fonction racine vont permettre de diminuer l’influence des valeurs extrêmes dans le calcul du Nse, et ainsi donner plutôt une indication en termes de volume global.
d. Pourcentage de biais (Pbias)
Le Pbiais exprime en pourcentage le biais moyen existant entre la série de données observées et la série d’estimateurs. Il est compris en -100% et +100%, une valeur négative indiquant une sous-estimation du débit et une valeur positive indique une surestimation. Une valeur nulle indique une parfaite description de l’observation, ce critère doit donc être minimisé. Il est défini par :
𝑃𝑏𝑖𝑎𝑠 = [∑ (𝑂𝑖 − 𝑆𝑖) ∗ 100 𝑁 𝑖=1 ∑𝑁 𝑂𝑖 1=1 ] (57)
Le Pbiais offre une bonne description de l’efficacité du modèle à simuler les volumes globaux écoulés.
e. Coefficient de détermination (R²)
Le critère de R² décrit la dispersion combinée des séries observées et simulées en comparaison des dispersions de chacune des séries. Il est compris entre 0 et 1 et une augmentation de sa valeur indique une diminution de l’erreur de la variance. Il est défini par :
R2 = ∑ (ONi=1 i− O̅)(Si− S̅)
√∑ (ON i− O̅)2
i=1 √∑ (SNi=1 i− S̅)2
(58)
Ce coefficient est aussi très sensible aux valeurs extrêmes. Il est très largement utilisé en hydrologie et a été pour cette raison inclus dans ces travaux, malgré les critiques qui peuvent être trouvés dans la littérature à son encontre notamment par le fait qu’il ne quantifie que la dispersion et qu’une série simulée qui décrirait la série observée avec
une erreur constante obtiendrait tout de même un bon score (Krause et al., 2005; Moriasi et al., 2007).
2.3.2. Analyse de tendance des séries temporelles
Afin d’analyser les variations temporelles des simulations produites et d’observer entre autres les effets à long terme des changements du climat sur les simulations hydrologiques produites, d’autres outils statistiques vont être utilisés :
a. Pente de Sen
La pente de Sen, également appelée estimateur de Theil-Sen, est une statistique non paramétrique, permettant une régression linéaire plus robuste qu’une simple régression linéaire par moindre carré (Theil, 1950; Sen, 1968). Soit une série temporelle avec n termes définis par y=f(t) et considérant j>i et ti≠tj , on peut définir N valeurs A pour
chaque couple de valeurs (t,y) : 𝐴𝑖𝑗 =
𝑦𝑖− 𝑦𝑗
𝑡𝑖 − 𝑡𝑗 (59)
où i et j=1,2,3…..n. La pente de Sen est alors définie comme la médiane de ces N valeurs. La méthode de Theil-Sen est intéressante car peu sensible aux valeurs extrêmes et donc assez robuste dans la détermination d’une tendance.
b. Significativité : Test de Mann-Kendall
Le test de Mann-Kendall est un test statistique non-paramétrique permettant de détecter les tendances monotones d’une série chronologique (Mann, 1945; Kendall, 1975). Considérant une série à n termes x1, x2, x3….xn,, la réalisation de ce test nécessite de
poser deux hypothèses. Soit H0 : les observations xi sont ordonnées aléatoirement,
aucune tendance n’est présente. Soit H1 : il y a une tendance monotone croissante ou
décroissante.
Les valeurs de la série sont évaluées en tant que série chronologique. Chaque valeur est comparée à la valeur suivante. Si la valeur du pas de temps suivant est supérieure à la valeur considérée, la statistique S est incrémentée de 1 mais si la valeur du pas de temps suivant est inférieure à la valeur considérée, S est réduit de 1. Soit :
𝑆 = ∑ ∑ 𝑆𝑔𝑛(𝑥𝑗 − 𝑥𝑖) 𝑛 𝑗=𝑖+1 𝑛−1 𝑖=1 (60)
où xi et xj sont les valeurs de rang i et j et que j > i et
𝑆𝑔𝑛(𝑥𝑗−𝑥𝑖) = {
1 𝑠𝑖 𝑥𝑗− 𝑥𝑖 > 0
0 𝑠𝑖 𝑥𝑗− 𝑥𝑖 = 0
−1 𝑠𝑖 𝑥𝑗− 𝑥𝑖 < 0
(61)
Si le nombre de valeurs dans la série est inférieur à 10, la valeur absolue de S est directement comparée à la distribution théorique de S décrite par Mann et Kendall. Si le nombre de valeurs dans la série est supérieur à 10, ce qui est le cas dans toutes les séries étudiées dans ce travail de recherche, Z, qui est une approximation normale de S, est utilisée. Mann (1945) et Kendall (1975) ont démontré que:
Et E(S) = 0 𝑉𝑎𝑟(𝑆) = 𝑛(𝑛 − 1)(2𝑛 + 5) − ∑ 𝑡𝑝(𝑝 − 1)(2𝑝 + 5) 𝑆 𝑝=1 18 (62) (63)
Où tp est le nombre d’égalités dans la série impliquant p valeurs. Dès lors, Z peut être
défini par : 𝑍 = { 𝑆 − 1 √𝑉𝑎𝑟(𝑆) 𝑠𝑖 𝑆 > 0 0 𝑠𝑖 𝑆 = 0 𝑆 + 1 √𝑉𝑎𝑟(𝑆) 𝑠𝑖 𝑆 < 0 (64)
Z nous indique la pente de la tendance : si Z>0 c’est une tendance monotone croissante alors que si Z<0 c’est une tendance monotone décroissante.
La significativité statistique de la tendance est évaluée en étudiant la valeur de Z. Z a donc une distribution normale et la « région critique » du test statistique de Mann- Kendall est donnée par 𝑆 < 𝑍∝/2√𝑉𝑎𝑟(𝑆) 𝑒𝑡 𝑆 < 𝑍1+∝/2√𝑉𝑎𝑟(𝑆) où Zα/2 et Z1+α/2 sont
variance du test statistique S. L’hypothèse H0 est acceptée si |Z| ≤ Zα/2 où α est le seuil
de significativité choisi.
Il est communément accepté que α=5% ou α=1% représentent des seuils significatifs acceptables. Mais cela reste un point du vu discutable qui peut être adapté aux études réalisées (Nicholls, 2001). Le seuil α=5% (α=0.05) a été adopté dans ce document et les résultats donnés incluront directement le signe de la tendance ainsi que la valeur de la p-value pour permettre de bien estimer la valeur de la significativité.
Le Test de Mann-Kendall est par définition sensible à l’effet de saisonnalité, car une forte corrélation temporelle fausse le test. Il est donc préférable d’utiliser le test de Mann-Kendall sur des valeurs annuelles.
Néanmoins, Hirsch et al. (1982) proposent une modification du test permettant de prendre en compte la saisonnalité de la série analysée, en réalisant le test sur les périodes saisonnières correspondantes entre elles. Cela permet typiquement de pouvoir utiliser le test de Mann-Kendall sur des données mensuelles, en considérant une saisonnalité de 12 mois.
On a alors Si calculé de la même manière que dans l’équation (…) pour chacune des
périodes saisonnières (avec ici i=1…12). Puis :
Et 𝑆′= ∑ 𝑆 𝑖 12 𝑖=1 𝑉𝑎𝑟(𝑆′) = ∑ 𝑉𝑎𝑟 (𝑆 𝑖) + 12 𝑖=1 ∑ ∑ 𝐶𝑜𝑣(𝑆𝑖𝑆𝑗) 12 𝑗=1 12 𝑖=1 (65) (66)
où j≠i. Enfin Z est calculé de la même manière que dans l’équation 64 en utilisant S’ et sa variance.
III Refining the model
implementation
Chapter 4: Assessing the capability of the SWAT model to simulate snow, snow melt and streamflow dynamics over an alpine watershed
Chapter 5: Testing the SWAT model with gridded weather data of different spatial resolutions
Chapter 6: Assessing the temporal transposability of the SWAT model across a large contrasted watershed
Chapter 4: Assessing the capability of the SWAT
model to simulate snow, snow melt and
streamflow dynamics over an alpine
watershed
Youen Grusson
(a, f), Xiaoling Sun
(a,b), Simon Gascoin
(c)Sabine Sauvage
(a,b), Srinivasan Raghavan
(d), François Anctil
(f), José
Miguel Sanchez Pérez
(a,b)a
University of Toulouse; INPT, UPS; Laboratoire Ecologie Fonctionnelle et Environnement (EcoLab), Avenue de l’Agrobiopole, 31326 Castanet Tolosan Cedex, France
b
CNRS, EcoLab, 31326 Castanet Tolosan Cedex, France
c Centre d’Études Spatiales de la Biosphère (CESBIO), Toulouse, France
d
Spatial Sciences Laboratory, 1500 Research Plaza, Office 221E, Texas A&M University, College Station, TX 77845
f
Chaire de recherche EDS en previsions et actions hydrologiques, Department of Civil and Water Engineering, Université Laval, Québec, G1V 0A6, Canada