Transport du faisceau : simulations numériques du RFQ Cooler SHIRaC
I. Outils de simulation numérique
La simulation numérique des trajectoires des ions devra tenir en compte de la variation de la pression d’une région à autre, du champ électrostatique extérieur et de l’effet de la tension RF en dehors du RFQ [Lun98].
Les champs électrostatiques extérieurs sont les champs imposés par les électrodes. La carte en 3 dimensions de ces champs peut être déterminée par la méthode de relaxation qui consiste à la calculer itérativement [Duv09]. Elle peut être déterminée aussi en utilisant des formules analytiques comme celles pour le quadripôle radiofréquence. Dans le cas présent, la carte de champ électrique statique a été obtenue à l’aide du logiciel Simion 8.0 [Sim8] [Manura09]. Ce logiciel permet aussi de suivre la dynamique des ions.
Pour décrire les interactions ions-atomes du gaz tampon nous allons présenter deux modèles : le modèle de la sphère dure (HS1) et le modèle de potentiel réaliste (PR). Ces deux modèles sont des approches microscopiques qui consistent à étudier les interactions individuelles. La différence entre ces deux modèles est le traitement de l’intéraction ion-gaz.
1. Modèle PR
Dans ce modèle les hypothèses considérées sont les suivantes:
2 Les interactions ions-gaz sont élastiques.
2 Les interactions ions-ions sont négligeables.
2 Le transfert d’énergie se produit uniquement par le biais des collisions.
2 La vitesse des atomes de gaz est de distribution Maxwell-Boltzmann.
2 Le chauffage RF des ions dus aux collisions sont prises en compte.
2 Le chauffage du gaz est supposé négligeable pendant les collisions.
Les interactions ions-gaz dans ce modèle sont traitées individuellement. L’effet de la charge d’espace est modélisé par le théorème de Gauss.
Comme nous l’avons mentionné au deuxième chapitre, le potentiel qui régit les interactions ions-atomes est le potentiel (n, 6, 4) avec n un entier (équation 2.48 - chapitre 2). Ce potentiel
permet le calcul numérique de la matrice de diffusion dans le centre de masse Z6[Z \Hí0
[Neue84][McDa64] :
Z6[Z ]0 7 [ M ^ 7N [__ 7-60] _r& o
Avec :
[ : Le paramètre d’impact de la collision. ] : L’énergie cinétique dans le centre de masse.
': La distance d’approche minimale qui se calcule en mettant à zéro le terme de l’intégrale
de l’équation ci-dessus.
Le modèle PR est basé sur la méthode de Monte Carlo qui consiste à générer un ensemble d’atomes de gaz animés de vitesses aléatoires 9 ¡et à calculer la probabilité BBîA H7õõdes collisions éventuelles :
9BîA
¡ ` 9GZBîA 5\8BîA
BîA «7 a6c0 /aI« J¬¬±9,/L: Z üZ )
Où 4 sont des nombres aléatoires réels compris entre 0 et 1.
BH7õõ 9KH7õõ9(õ6< Avec :
9 : La densité des ions 6< : La fréquence de collision.
-60: Le potentiel d’intéraction ions-atomes de gaz (équation 2.46) La vitesse relative est définie comme :
9(õ
¡ 9 ¡ 7 9b7ö ¡ BîA La section efficace de collision est :
KH7õõ [íîïo
Le terme [íîï est le paramètre d’impact maximum pour une énergie cinétique dans le centre
de masse ] donnée. Ce terme correspond à un angle de diffusion minimum. Par la suite à
chaque énergie ]nous devrons déterminer le couple6Zí4öZ [íîï0.
En utilisant deux nombres aléatoires compris entre 0 et 1, soient R1 et R2, avec la condition : 4&o5 4oo +
Si Bil y a une collision et le nouveau paramètre d’impact de la collision est alors b :
[ [íîï 4&o 5 4oo
Grâce à ce dernier paramètre et à l’énergie cinétique des ions et des atomes de gaz avant la
collision nous pouvons calculer l’angle de diffusionZHí. L’énergie d’un ion après chaque
collision est donnée par l’équation 2.47 du chapitre 2. Par conséquent, nous pouvons déterminer les coordonnées de l’ion après la collision.
L’application de ce modèle a été réalisée avec un code écrit en langage Python [Python].
2. Modèle de la sphère dure HS1
Les hypothèses de ce modèle sont [HS1] :
2 Les interactions ions-gaz suivent le modèle de la sphère dure [kintheo].
2 Les interactions ions-ions sont négligeables.
2 Le transfert d’énergie se produit uniquement par le biais des collisions.
2 La vitesse des atomes de gaz est de distribution Maxwell-Boltzmann [MaxB].
2 Le chauffage RF des ions dû aux collisions est pris en compte.
2 Le chauffage du gaz est supposé négligeable pendant les collisions.
Le modèle de collision HS1 est basé sur la théorie cinétique des gaz. Les collisions ions-atomes de gaz conduisent en un transfert d’énergie positif ou négatif. L’énergie transférée permet le refroidissement cinétique des ions.
Contrairement au premier modèle, le paramètre d’impact maximum [íîïne dépend ni de
l’énergie cinétique des ions, ni de celles des atomes du gaz, ni de l’angle de diffusion, mais seulement des dimensions de l’atome de gaz et de l’ion [Eicem94] :
[íîï 47ö5 BîA
À titre d’exemple, le rayon des atomes d’hélium est de 1.4 Å. Les rayons des atomes de Cs, de Rb et de Na sont respectivement de 1.74, 1.61 et 1.02 Å.
Ce modèle a été implémenté dans un code écrit en langage lua avec le logiciel Simion 8.0 [Sim8]. Ce code a été adapté pour prendre en compte la diffusion du gaz depuis la chambre du RFQ et l’effet de la charge d’espace.
3. Simulation de la charge d’espace avec Simion 8.0
Avec la version Simion 8.0 nous avons utilisé un modèle appelé « Coulomb repulsion » [Sim8]. Ce dernier consiste à assimiler les particules à des charges ponctuelles de charge q. La charge totale est partagée entre les ions en fonction de leur charge individuelle ajustée par un facteur CWF. Donc, chaque ion réel est considéré comme un ensemble de particules physiques. Dans ce modèle : les ions se sont générés dans une gamme de temps égale à leur durée de création, le « TOB », et la force de répulsion entre les ions est la force de Coulomb. Dans notre cas, nous cherchons à créer un paquet d’ions d’intensité de 1 µA. Afin que le paquet d’ions puisse interagir avec la majorité des phases de la tension RF, leur durée de création doit être supérieure à la période de la tension RF. On choisit une durée de 2 à 3 fois
plus grande que la période de la tension RF. Ainsi, pour un système RF de fréquence 4.5 MHz, le TOB du paquet est de 0.44 µs. La charge totale des ions se déduit de l’équation suivante :
ì \ef=
Pour une intensité de 1 µA la charge totale est deD)D$r&À' .