2.5.1 Logiciel MPB
Pour le calcul des diagrammes de bandes, ou relations de dispersion de cristaux pho-toniques planaires, nous utilisons le logiciel libre MPB, d´evelopp´e par le MIT (Massachu-setts Institute of Technology) [115]. Celui-ci permet de calculer le diagramme de dispersion ω(k) de structures planaires en polarisations quasi-TE et quasi-TM. Il r´esout l’´equation
d’´etat 2.8 dans le domaine fr´equentiel, par opposition au domaine temporel. Cela signifie que le calcul d´ecrit les solutions stationnaires. Les auteurs de ce logiciel r´esument cette technique math´ematique par une phrase ”preconditionedconjugate gradient minimization of the block Rayleigh quotient in a planewave basis”. C’est-`a-dire, la technique de minimi-sation du coefficient de Rayleigh. Les d´etails sur la m´ethode impl´ement´ee par ce logiciel et ses avantages sont ´enonc´es dans la r´ef´erence [115]. En effet, cette technique permet de discr´etiser le probl`eme pos´e par l’´equation d’´etat 2.8.
D’apr`es le th´eor`eme de Bloch le champ magn´etique H pour une onde se propageant dans la direction de p´eriodicit´e r s’´ecrit Hk(r) = eikruk(r). Dans le logiciel MPB la fonction p´eriodique uk(r) est d´ecompos´ee en une base d’ondes planes p´eriodiques comme suit :
uk(r) = eikr ∞ X n=−∞ cn(k)ei2πna r= ∞ X n=−∞ cn(k)hn(k) (2.24)
O`u les termes hn sont une base d’ondes planes p´eriodiques et cn(k) sont les coefficients de uk(r) d´evelopp´es en s´eries complexes de Fourier.
Le nombre de coefficients cn(k) `a d´eterminer reste cependant infini, et une coupure est appliqu´ee `a n = N .
L’op´erateur Ξ s’exprime alors par une matrice de dimension N × N dans cette base p´eriodique et le probl`eme r´eside dans la diagonalisation de cette matrice. Plus N est grand, plus la pr´ecision sur la solution apport´ee au vecteur propre Hk l’est aussi. Par cons´equent, la r´esolution des ´equations de Maxwell se transforme en un probl`eme classique de diagonalisation de matrice sous la forme :
Aω = ω2Bx (2.25)
O`u A et B sont des matrices et x est un vecteur propre. La valeur propre minimale xo satisfait `a la condition :
ω2o = min x
x∗Bx
x∗Ax (2.26)
Cette formule est connue sous le nom de minimisation de quotient de Rayleigh. La valeur minimis´ee xoest un vecteur propre. La minimisation est r´ealis´ee par la m´ethode de gradient conjugu´e non lin´eaire pr´econditionn´e. Pour calculer la valeur propre suivante, le mˆeme quotient de Rayleigh est minimis´e avec une orthogonalit´e contrainte impos´ee sur x (x∗Bxo = 0). Ce processus est r´ep´et´e pour trouver d’autres valeurs propres subs´equentes.
Cette m´ethode permet d’acc´el´erer le processus de convergence vers la solution d´esir´ee (utilisation d’un pr´econditionneur).
2.5.2 Logiciel MEEP
Comme ´enonc´e pr´ec´edemment, la m´ethode de calcul FDTD-3D est particuli`erement adapt´ee pour d´ecrire la propagation des modes guid´es dans les structures planaires. Dans nos travaux, pour acc´eder `a la r´epartition des champs dans les cavit´es `a CPs planaires et caract´eriser num´eriquement leurs modes r´esonants, nous avons utilis´e le logiciel libre MEEP (MIT Electromagnetic Equation Propagation) d´evelopp´e par MIT comme outil de mod´elisation [18]. Celui-ci utilise la m´ethode FDTD afin de r´esoudre les ´equations de Max-well. Il pr´esente certaines caract´eristiques inhabituelles. Il permet de simuler les structures anisotropes, non lin´eaires et dispersives. Ainsi, il dispose d’une vari´et´e de conditions aux limites comme les sym´etries et les couches PML. Ce logiciel dispose aussi de techniques de traitement avanc´ees du signal pour analyser les modes r´esonnants comme le moyennage pr´ecis de sous-pixels, Harminv, etc.
La p´eriode du cristal photonique a constitue l’unit´e de r´ef´erence. Les variables g´eom´etriques des structures simul´ees telles que le rayon des inclusions et l’´epaisseur de la membrane seront exprim´es en fonction de cette p´eriode. L’unit´e de temps T s’exprime en c/a o`u c c’est la c´el´erit´e de la lumi`ere. Ainsi, l’unit´e de pulsation s’exprime en 2πc/a et l’unit´e de vecteur d’onde en 2π/a. Ainsi pour MEEP, la fr´equence, la pulsation, le vecteur d’onde et le nombre d’ondes dans le vide ont la mˆeme valeur num´erique (unit´e d’angle = 2π radians...). Par exemple, si l’on souhaite d´ecrire une structure photonique aux fr´equences infrarouges moyennes, il s’av`ere pratique d’exprimer les distances en nanom`etres. On pose a = 1000 nm. Pour d´efinir une source optique centr´ee `a λ = 3.6 µm, on exprime alors la fr´equence r´eduite f comme suit : f = (a/c)/T = a/λ = 1/3.6 = 0.277, (longueur d’onde dans le vide et p´eriode ont la mˆeme valeur num´erique pour MEEP).
Le logiciel MEEP d´efinit des sources optiques dont la d´ependance temporelle et la r´epartition spatiale sont s´eparables. Ces sources sont de la forme J (x, t) = A(x) · f (t)), o`u A et f sont des fonctions d´efinies par l’utilisateur. La source doit ˆetre ´evalu´ee par son type, sa fr´equence centrale (fo), sa largeur spectrale (∆f ), les composantes du champ ´electromagn´etique que l’on souhaite g´en´erer avec son amplitude.
Pour d´eterminer la fr´equence r´eduite des modes r´esonants de la cavit´e et d´eduire leurs propri´et´es (facteur de qualit´e et volume modal), nous utilisons une source de type gaus-sienne centr´ee autour d’une fr´equence fo, et dot´ee d’une certaine largeur spectrale ∆f . Une source optique ayant une grande largeur spectrale permet, en une seule simulation, d’ex-citer un grand nombre de modes guid´es, et ainsi de d´eterminer leurs fr´equences r´eduites. Dans notre travail, grˆace `a l’´etude pr´eliminaire du diagramme de bandes, nous connaissons
la position des fr´equences r´eduites des modes ´etudi´es. Pour ´etudier uniquement la r´eponse spectrale des modes des cavit´es, une source gaussienne dot´ee d’une largeur spectrale ∆f ´etroite (grande p´eriode temporelle) est plac´ee au centre de la structure ´el´ementaire (cf. figure 2.6.a), qui a une r´epartition spatiale du champ Ey proche du profil spatial de ce mode. Apr`es extinction de la source, MEEP calcule la propagation des champs pendant une p´eriode assez longue pour que le r´egime stationnaire des modes s’´etablisse. L’´evolution de l’amplitude du champ Ey de ce mode est repr´esent´ee sur la figure2.6.b, apr`es extinction de la source d’excitation. On constate un amortissement de l’amplitude lors de la propa-gation. Cela signifie que le mode subit des pertes lat´erales non n´egligeables. `A partir de la d´ecroissance exponentielle de l’enveloppe de l’amplitude du champ, nous pouvons d´eduire le facteur de qualit´e du mode.
(a) (b)
x
y
z
source
0 0.5 1 1.5 2 x 104 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Temps (c/a) A m p li tu d e d u c h am p E y ( u .a )Figure 2.6: (a) Position de la source optique dans une cavit´e `a CP planaire. (b) ´Evolution
temporelle de l’amplitude du champ Ey du mode.
Le logiciel MEEP permet l’impl´ementation de trois types de conditions aux limites : des murs m´etalliques, des conditions aux limites p´eriodiques de Bloch, des couches absorbantes de type PML [18]. Les murs m´etalliques constituent la condition la plus simple aux limites. Dans ce cas, les composantes du champ ´electrique sont nulles sur les limites comme si la cellule de calcul ´etait entour´ee par un m´etal parfait. Dans une cellule de largeur (l) avec des conditions aux limites p´eriodiques de Bloch aux extr´emit´es, les composantes du champ v´erifient la condition f (x+l) = eikxl×f (x) pour un vecteur d’onde de Bloch−→k . Les couches PML permettent d’absorber toute onde incidente sans r´eflexion. Dans ce cas, il n’existe pas de conditions aux limites, mais plus exactement un mat´eriau, non physique, consid´er´e comme absorbant et plac´e aux limites de la fenˆetre de calcul. Entourer la structure planaire simul´ee d’une telle couche permet de diminuer la taille de la fenˆetre de calcul et donc de r´eduire les temps de calcul, sans introduire d’interf´erences entre des ondes incidentes et r´efl´echies. Cependant, dans le cas de structures p´eriodiques comme dans notre cas avec les cristaux photoniques planaires, le mat´eriau de la couche PML chevauche celui du cristal photonique. Il s’agit alors d’une situation de ”pseudo-PML”, dont la r´eflexion n’est pas plus efficace qu’une couche absorbante suffisamment ´epaisse et graduelle [18].
Epaisseur de la couche PML (µm) 0.50 1.00 2.00
Longueur d’onde de r´esonance λo(nm) 1563 1563 1563
Facteur de qualit´e (Q) 5189 5188 5188
Volume modal V (λ
n)
3 0.7486 0.7489 0.7494
Erreur de calcul 5.7295 × 10−12 5.7139 × 10−12 5.7370 × 10−12
Table 2.1: Effet de l’´epaisseur de la couche PML sur la longueur d’onde de r´esonance
λo, facteur de qualit´e Q et volume modal V d’une cavit´e `a cristal photonique planaire.
Afin d’´etudier l’effet de l’´epaisseur de la couche PML sur les principales caract´eristiques (fr´equence de r´esonance, facteur de qualit´e et volume modal) des cavit´es `a CPs planaires ´etudi´ees dans cette th`ese, nous pr´esentons dans le tableau 2.1. Les r´esultats obtenus pour diff´erentes valeurs d’´epaisseur de la couche PML allant de 0.25 µm `a 2.0 µm. La valeur de l’´epaisseur de la couche PML n’influe pas fortement sur le facteur de qualit´e et le volume modal du mode r´esonant de la cavit´e. L’erreur de calcul est plus faible mˆeme pour une ´epaisseur importante de la couche PML.