Outils de modélisation et de simulation multi-physique

La modélisation des systèmes énergétiques est un vaste sujet qu’il est difficile d’aborder dans son ensemble. Il doit en effet tenir compte de l’objectif visé, de la complexité du système à représenter, de la nature des phénomènes en jeu et enfin, pour être plus pragmatique, du niveau de connaissance que l’on a des dispositifs que l’on souhaite représenter ou encore des capacités de calcul disponibles.

Les travaux actuels des différents laboratoires de recherche en génie électrique portant sur la conception de chaînes de conversion sont nombreux. Ces études s’intéressent généralement aux

organes électromécaniques de conversion d’énergie, aux interfaces d’électronique de puissance et aux éventuels organes de production et de stockage. Les objectifs de dimensionnement visent alors à optimiser les aspects techniques d’une solution, comme le volume, la masse ou l’efficacité, et de plus en plus souvent en tenant compte d’aspects économiques, tels que les coûts d’acquisition ou d’exploitation (Dessante,2012;Aubry,2011;Robert et al.,2015). Pour ces systèmes, les enjeux scientifiques sont multiples. Vu sous l’anglemulti-physique, la difficulté réside dans la gestion des couplages entre domaines, et donc souvent entre différentes représentations et différents niveaux de granularité. Les travaux se rapportant à cette problé- matique visent à proposer des outils de représentation de multiples domaines physiques dans un formalisme unique. L’idée générale est alors de se focaliser sur les échanges énergétiques entre domaines, permettant ainsi de faciliter la structuration d’un modèle global. Un certain nombre de solutions opérationnelles existent. Par exemple, la représentation pargraphe permet de répondre en grande partie à ces difficultés de couplage puisqu’elle permet d’appréhender qualitativement les relations de causalité entre sous-modèles. Elle est ainsi particulièrement bien adaptée à l’étude de systèmes interdisciplinaires (Bouscayrol,2003;Boulon,2009;Bressel et al.,

2015). La problématique de modélisation multi-physique trouve également des réponses dans la co-simulation. Par exemple, la plupart des plateformes de simulation permettent aujourd’hui de faire co-exister différents environnements logiciels complémentaires et spécialisés. Ces outils permettent ainsi d’échanger aisément les données de couplages entre modèles, ces derniers pouvant alors être de natures différentes (modèle d’état, nodal, éléments finis, . . . ). Vu sous l’anglemulti-échelles de temps, donc de la simulation temporelle, la principale contrainte réside dans le temps de simulation du système global qui peut être très élevé, et donc particulièrement critique dans un objectif d’optimisation. Cette fois l’enjeu est d’une part de chercher des outils de simulation adaptés à ces systèmes ditraides, i.e. présentant un couplage fort entre variables d’état ayant des dynamiques très éloignées les unes des autres, et d’autre part de chercher à réduire la complexité du système complet afin d’en faciliter le calcul. Dans ce domaine les solutions existantes sont nombreuses, mais leur choix reste souvent empirique et très sensible à la nature des domaines traités et des objectifs. Néanmoins, il est possible de regrouper en deux catégorie les approches existantes. La première regroupe les méthodes et outils tenant compte du système dans son ensemble, sans cherchera priori à découpler les dynamiques et les do- maines physiques entre eux. L’enjeu est alors de proposer des outils de simulation, aussi appelés solveurs, adaptés à ces problèmesraides en étant capable d’assurer des tolérances de calcul assez faibles sans recourir à des pas d’intégration trop petits (et donc des temps de calcul prohibitifs). Ces solveurs peuvent être combinés à des outils de simulation multi-méthodes, dans lesquelles le système est partitionné en sous-modèles, dans le but d’associer à chacun une méthode et un pas d’intégration adéquats. C’est cette approche qui est par exemple intégrée dans des plateformes de simulation multi-physiques telles que Modelica ou Matlab/Simscape (Chouikh,2012). La seconde catégorie de méthodes pouvant être employées pour réduire les temps de calcul consiste à intervenir directement sur la modélisation du système. Il est par exemple possible de recourir à des méthodes de réduction de modèle, en particulier pour les représentations tempo- relles et spatiales utilisant des solveurs de type éléments finis (Hammadi,2012;Pierquin,2014;

Da Silva,2015). Transposées à un système d’équations différentielles ordinaires, ces méthodes visent à conserver uniquement lesétats dominants du système. On peut par exemple supprimer les dynamiques les plus rapides, ayant peu d’influence sur l’évolution des variables les plus lentes. Il existe également des approches de réécriture de modèleau sens des valeurs moyennes. Cette méthode est très bien adaptée aux systèmes à structure variable tels que les convertisseurs de puissance. L’idée est de conserver en partie la dynamique de réponse d’un système, mais en moyennant l’ensemble des variables d’état à l’échelle d’un cycle complet de fonctionne- ment (Middlebrook and Cuk,1976;Merdassi,2009;Robert,2015). En somme, la modélisation est une phase importante et délicate du travail menant à un problème d’optimisation et il nécessite souvent une grande expertise de la part du développeur. Car même si, comme nous avons pu le voir, de nombreux outils d’aide à l’organisation, à le représentation et à la résolution de systèmes complexes existent, le nombre de contraintes, de domaines d’étude, d’objectifs, et de moyens de calcul est tel qu’il est souvent difficile de s’appuyer sur une démarche systématique et générique. Pour conforter cette analyse, regardons plus en détails quelques travaux récents sur cette problématique de modélisation multi-physique.

Dans (Robert,2015;Robert et al.,2015), l’objectif est de définir un modèle complet et dyna- mique de vanne EGR5, tenant compte de cinq domaines physiques en interaction, à savoir un modèle CEM pour les perturbations conduites (échelle de temps de 10 ns), électrique pour le convertisseur de puissance (1 ms), électromagnétique pour la machine (1 s), mécanique pour la transmission (100 ms) et enfin thermique pour la prise en compte des pertes (1000 s). A ces mo- dèles physiques doit être ajouté un modèle de commande pour la gestion des lois de régulation du système, couplé aux modèles mécaniques et électriques, et un modèle économique, qui lui n’est utilisé qu’une fois le problème physique résolu. Ainsi, pour cette application, le rapport entre la dynamique la plus lente et la dynamique la plus rapide, qui est à l’image de la raideur du problème, est de 11 ordres de grandeurs. La solution proposée dans ce travail pour arriver à un temps de simulation raisonnable est de découpler certains domaines physiques entre eux, soit en considérant les grandeurs lentes comme constantes, soit en transformant les modèles ayant des dynamiques rapides en des modèles au sens des valeurs moyennes, soit encore en cherchant, pour un niveau physique donné, les conditions de fonctionnement en régime établi. Cette dernière approche est notamment employée pour estimer le régime permanent thermique, puisque le cycle d’usage (9 secondes, voir Table 1.1) est beaucoup plus court que la constante de temps6. C’est en grande partie le choix et les méthodes utilisés pour rendre le problème simulable qui fait l’originalité de ce travail. L’aspect multi-physique de ce problème nécessite également une grande expertise scientifique équilibrée entre les différentes disciplines. Un autre exemple de travail représentatif des problématiques en lien avec l’optimisation des

5. Exhaust Gas Recirculation.

6. Cette méthode est appelée méthode de relaxation et permet de trouver rapidement uncycle limite établi, sans avoir à simuler la totalité du régime transitoire. Dans l’exemple cité (Robert,2015), la constante de temps thermique est de 1000 s alors que le cycle d’usage est de 9 s. Il aurait donc fallu simuler plusieurs centaines de cycles successifs pour atteindre le régime permanent. Cette méthode de relaxation permet d’arriver au même résultat en une dizaine d’évaluations.

systèmes électriques est celui mené depuis plusieurs années sur le houlogénérateur SEAREV7. En effet, dans sa formulation la plus complète, la modélisation de la chaîne de conversion doit tenir compte de la constante de temps mécanique d’un pendule (10 s), de la conversion électromagnétique de l’énergie cinétique récupérée (1 s), des phénomènes thermiques liés aux pertes (1 h), des phénomènes électriques liés au convertisseur de puissance (1 ms) et au système de stockage utilisant des supercondensateurs (1 s), et enfin la prise en compte du vieillissement des supercondensateurs (10 ans). S’il devait être considéré dans sa globalité, le système à modéliser afficherait un écart de dynamiques de 11 ordres de grandeur. Les travaux décrits dans (Ruellan et al.,2010;Aubry,2011;Kovaltchouk et al.,2015) proposent ainsi de traiter séparément le système de stockage et la chaîne de conversion électromécanique, et de recourir à des modèles moyens pour le convertisseur de puissance et le modèle thermique. Cette fois encore, l’originalité du travail repose sur la mise en œuvre d’un certain nombre de modèles, dont la granularité a été adaptée au mieux, en réponse à des problématiques antagonistes de tolérance et de temps de simulation.

Nous finirons cette section en présentant un travail mené récemment par le L2EP (Pierquin,

2014) qui concerne l’optimisation sur cycle des dispositifs électrotechniques multi-échelles de temps. Ce travail méthodologique propose une démarche assez générique de couplage entre domaines physiques et niveaux de modélisation différents. Un modèle thermique et un modèle électromagnétique modélisés par éléments finis ont ainsi été couplés à un modèle de convertisseur en commutation avec sa commande rapprochée. Pour ramener le temps de calcul du modèle complet à une valeur raisonnable, des méthodes avancées de réduction de modèle et de couplage sont proposées. Ainsi, pour le domaine électromagnétique qui est le plus lourd à calculer, c’est une réduction de modèle par POD8qui est mise en œuvre. Les domaines thermiques et électriques sont conservés tels quels car suffisamment rapides à calculer. Pour pouvoir utiliser des pas de temps différents entre domaines, la méthode de couplage proposée est la relaxation des formes d’onde (Lelarasmee et al.,1982;Schöps et al.,2010). Cette méthode itérative consiste à simuler chaque sous-modèle isolément, en lui injectant la forme d’onde calculée par les autres sous-modèles. Ce processus est répété jusqu’à ce que la différence entre deux approximations successives devienne suffisamment faible. C’est cette méthode qui est utilisée pour coupler le modèle électrique au modèle électromagnétique et le modèle électromagnétique au modèle thermique. Ces différents outils permettent ainsi, sur un exemple représentatif de chaîne de conversion d’énergie, de passer d’un temps de calcul complet de 8 heures à 27 minutes, et ce sans ajouter d’erreur significative. Ce travail apporte donc une réelle contribution quant à l’intégration de méthodes éléments finis dans un modèle multi-physique. En particulier, ce que nous pouvons retenir vis-à-vis de nos propres travaux est l’intégration particulièrement efficace de la méthode de relaxation des formes d’onde qui permet de répondre de façon très générique aux problématiques de couplage entre domaines, ayant des échelles de temps très différentes.

En plus des trois travaux décrits précédemment, d’autres études qui ont été proposées ces

7. Système Électrique Autonome de Récupération de l’Energie des Vagues. 8. Décomposition Orthogonale aux Valeurs Propres.

dernières années sur cette problématique sont résumées dans la Table 1.1. Cette liste de travaux, loin d’être exhaustive, a pour unique objectif de montrer de façon synthétique les champs d’applications auquel nous pouvons être confrontés, ainsi que la difficulté liée à la nature multi-physique et donc multi-échelles en temps des problèmes modélisés.

référence application objectif(s) dynamique cycle d’usage

Robert (2015, GeePS)

Vanne EGR (véhicule automobile) Volume 10ns-1h [1011] Cycle de puissance de 9 s Aubry (2011, SATI) Houlogénérateur SEAREV

Puissance et coût 1ms-10ans

[1011_]

Ensemble d’états de mer représentatifs sur un horizon de 1000 s Caillard (2015, L2EP) Chaîne de traction électrique automo- bile Autonomie et coût 1µs-1h [1010_]

Cycles de vitesse stan- dardisés de 10 min Mesbahi (2016,

L2EP)

Chaîne de traction hybride automobile

Gestion de l’énergie 1s-10ans

[108_] Cycles de vitesse de 3 h Agbli (2012, FEMTO-ST) Installation station- naire photovoltaïque- PEM gestion de l’énergie 1ms-24h [108] Cycle de puissance d’une journée (PV+charge) Pierquin (2014, L2EP)

Pilotage d’un trans- formateur de traction ferroviaire

Simulation des cou-

plages électriques, électromagnétiques et thermiques 1µs-1000s [109_] Cycle de courant de 2 s

Table 1.1 – Synthèse des échelles de temps et degré de raideur de différentes applications traitées en vue d’un dimensionnement optimisé.