Optimisation et choix de nombres adimensionnels

La dernière partie de ce chapitre concerne la mise en place d’une méthodologie ayant pour but de faciliter le choix des nombres adimensionnels à prendre en compte en phase de conception préliminaire d’un système. Précédemment, nous avons introduit la problématique du choix des nombres adimensionnels dans le cas de problèmes à géométrie complexe où le nombre de variables géométriques est important ou bien lorsque la complexité du problème vient du nombre important de variables physiques influentes pour le problème (paragraphe III.1.2). Dans ces cas, il est nécessaire de faire des hypothèses simplificatrices pour obtenir un modèle suffisamment compact pour être utilisé en conception préliminaire. Les hypothèses simplificatrices peuvent provenir de différentes sources :

i. Expertises / Connaissances :

Lorsque le système considéré a déjà été étudié ou qu’il met en jeu des domaines physiques bien maîtrisés, il est possible de poser les hypothèses simplificatrices les plus adaptées à la problématique. Par exemple, dans le cadre de l’étude d’un système thermique où des phénomènes convectifs sont en jeu, l’hypothèse consistant à considérer les propriétés physiques du fluide comme constantes peut être valable si l’on connait la plage de température dans laquelle le système va opérer. Dans ce cas, les propriétés

physiques peuvent être évaluées à la température moyenne de fonctionnement du système thermique considéré. De ce fait, tous les nombres adimensionnels uniquement fonction des propriétés physiques seront considérés constants, ce qui permettra de réduire le nombre de variables adimensionnelles du problème. Cette hypothèse simplificatrice est généralement considérée pour les lois de corrélation établies en transferts thermiques.

ii. Données techniques :

Lorsque le système étudié concerne un produit déjà existant ou proche de l’existant, les données techniques disponibles auprès des catalogues de fournisseurs peuvent être étudiées et analysées afin de définir des hypothèses simplificatrices en accord avec les produits déjà existants. Par exemple, dans le cas de la conception préliminaire d’un moteur électrique, les données techniques provenant de différents constructeurs peuvent être utilisées pour établir des lois de similitudes entre les différents paramètres géométriques mis en jeu. Cette possibilité est déjà utilisée pour la mise en place de modèles d’estimation pour la conception préliminaire d’actionneurs électromécaniques et les travaux de Budinger antérieurs à cette thèse illustrent bien cette approche (Budinger et al. 2011). Néanmoins, les données techniques fournies par les constructeurs ne sont pas toujours suffisamment détaillées pour définir des hypothèses valides.

Les deux paragraphes précédents ont mis en avant deux approches permettant de faire des hypothèses simplificatrices basées sur l’expérience ou sur des données techniques. Ces approches peuvent cependant présenter des limites face à de nouvelles technologies, de nouveaux composants ou pour de nouveaux besoins de modèles. La méthodologie proposée ici va permettre de répondre à ces besoins en faisant appel à des méthodes d’optimisation qui, dans un cadre précis, vont permettre de définir de manière systématique des hypothèses simplificatrices en accord avec les exigences et contraintes liées au système considéré.

III.3.1.2 Méthodologie générale et concepts associés

III.3.1.2.1 Algorithmes d’optimisation

La méthodologie a pour objectif de permettre de définir des hypothèses simplificatrices permettant de réduire le nombre de variables adimensionnelles d’un problème. Cette méthode repose sur l’utilisation d’algorithmes d’optimisation utilisés sur des modèles numériques de type éléments ou volumes finis. Il existe différentes méthodes d’optimisation que l’on peut regrouper dans deux catégories : les méthodes sans gradient et les méthodes avec gradient. Le choix de la méthode d’optimisation dépend essentiellement de l’objectif et de la manière dont ce dernier est formulé. Le Tableau III.6 introduit une liste non exhaustive d’algorithmes d’optimisation déjà implémentés et utilisés dans des logiciels d’éléments finis.

Tableau III.6 : Algorithmes d'optimisation pouvant être utilisés pour la méthodologie proposée

Algorithme Méthode Spécificité Référence

Nelder-Mead Sans gradient Méthode SIMPLEX (Nelder & Mead 1965)

COBYLA Sans gradient Modèles quadratiques (Powell 2007)

III.3.1.2.2 Méthodologie générale

Afin d’illustrer la méthodologie proposée considérons l’étude d’un système physique où l’objectif est de construire un modèle mathématique permettant l’estimation d’une variable caractéristique ݕ. Cette variable dépend de plusieurs autres variables physiques qui peuvent être de différentes types : paramètres géométriques ݔ_௜, propriétés physiques ݌_௜, conditions aux limites ܿ_௜.

ݕ ൌ ݂ሺݔ଴ǡ ݔଵݔଶǡ ݔଷǡ ݔସǡ ݌ଵǡ ݌ଶǡ ݌ଷǡ ݌ସǡ ܿଵǡ ܿଶǡ ܿଷሻ (III.23) L’application du théorème de Vaschy-Buckingham donnera une formulation adimensionnelle de l’équation (III.23) pouvant être exprimée sous la forme générale suivante :

ߨ଴ൌ ܨ൫ߨ௜௫ǡ ߨ௜௣ǡ ߨ௜௖൯ (III.24)

avec ߨ_଴ représentant le nombre adimensionnel correspondant à la variable d’intérêt ݕ; ߨ_௜௫ représentant les nombres adimensionnels qui sont uniquement des ratios de paramètres géométriques (par exemple, ߨଵൌ ݔଵΤ ; ߨݔ଴ ௜௣ représentant les nombres adimensionnels qui sont uniquement exprimés à partir de

propriétés physiques ; ߨ_௜௖ représentant les nombres adimensionnels qui peuvent être fonction des conditions aux limites, des paramètres géométriques et des propriétés physiques.

Dans l’introduction de cette partie de chapitre nous avons introduit deux approches permettant de faire des hypothèses simplificatrices pour réduire le nombre de variables adimensionnelles. La première concernait plutôt l’utilisation de connaissances ou d’expertises pour justifier l’hypothèse de propriétés physiques constantes, ce qui permettrait de réduire le nombre de variables adimensionnelles correspondant à ߨ_௜௣ ici. La seconde concernait l’utilisation de données techniques pour justifier l’hypothèse de lois de similitude entre différents paramètres géométriques, ce qui permettrait de réduire le nombre de variables adimensionnelles correspondant à ߨ_௜௫ ici. La méthodologie proposée ici a été développé pour essentiellement être utilisée dans le même cadre que cette dernière approche, c’est-à-dire pour réduire le nombre de variables adimensionnelles qui sont fonction uniquement de paramètres géométriques. Le principe général de cette méthode est d’optimiser une fonction dépendante de la variable ݕ d’intérêt dans différentes conditions, pour ensuite analyser les différences pouvant exister entre les configurations géométriques obtenues. La comparaison des configurations géométriques se fera à partir des nombres adimensionnels ߨ_௜௫ afin de mettre en avant lesquels pourront être considérés constants vis-à-vis de la fonction objectif pour les différentes conditions définies. La méthodologie est constituée de cinq étapes :

1. Définir une fonction objectif ݃ሺݕሻ pour l’algorithme d’optimisation. Par exemple, cette fonction objectif peut correspondre au couple massique d’un moteur électrique ou bien au coefficient de pertes de charge d’un dissipateur.

2. Définir les variables ݔ௜ de l’optimisation, ce qui revient à sélectionner les variables qui

interviennent dans les nombres adimensionnels ߨ_௜௫.

3. Définir les différentes conditions pour lesquelles l’optimisation de la fonction ݃ሺݕሻ va être conduite. En d’autres termes, il faut définir un plan d’expériences pour différentes conditions aux limites ܿ_௜ et/ou différentes propriétés physiques ݌_௜ afin de tenir compte de leur influence ou non sur les résultats de la procédure d’optimisation.

4. Réaliser les différentes procédures d’optimisation et récupérer pour chaque cas les configurations obtenues au travers des variables ݔ_௜ définies.

5. Evaluer et comparer les valeurs de l’indicateur d’influence défini par l’équation (III.25). On classera les nombres par ordre d'importance afin de regarder leur influences respectives et ne garder que les plus importants.

ߙ௜ ൌߪሺߨ௜ ௫_ሻ

ߨప௫

തതതത (III.25)

avec ߙ_௜, l’indicateur d’influence du nombre adimensionnel ߨ_௜௫; ߪሺߨ_௜௫ሻ, l’écart type du nombre adimensionnel ߨ_௜௫; ߨതതതത , la valeur moyenne du nombre adimensionnel ߨ_ప௫ _௜௫. La Figure III.12 présente la procédure générale de la méthodologie introduite ici.

Figure III.12 : Procédure générale de la méthodologie de réduction du nombre de variables adimensionnelles basée sur l'optimisation

La prochaine section de cette partie va illustrer l’utilisation de cette méthodologie pour réduire le nombre de variables adimensionnelles mises en jeu pour la construction d’un méta-modèle permettant l’estimation du couple électromagnétique d’un moteur électrique.

III.3.2 Estimation du couple électromagnétique d’un moteur électrique