Illustration sur un cas numérique

Dans cette dernière sous-section, on propose d’illustrer la méthodologie introduite dans ce chapitre par la construction d’un plan d’expériences optimal sur un cas purement numérique. Le problème dépend de trois variables physiques, notées ݔ_௜݋î݅ א ሼͳǡʹǡ͵ሽ qui sont regroupées en deux nombres adimensionnels, notés ߨ_ଵ et ߨ_ଶ. Les nombres adimensionnels sont définis comme :

ߨଵൌݔ_ݔଶ

ଵ ߨଶൌ

ݔଷ

ݔଵ (II.27)

Les domaines de variation des variables physiques dimensionnelles sont définis par l’équation ci-dessous :

ͳ ൑ ݔ௜ ൑ ͷͲǡ ݅ א ሼͳǡ ʹǡ ͵ሽ (II.28)

Pour le cas traité ici, la fonction recherchée est une loi en puissance, ce qui nécessite une bonne répartition dans l’espace logarithmique. Dans ce qui va suivre toutes les représentations graphiques seront présentées en échelle logarithmique afin d’illustrer la qualité de la distribution pour chaque étape de la méthode. Le nombre de points du plan d’expériences désiré est de 50. Dans la suite de cette section, nous construirons tout d’abord le plan d’expériences initial en suivant la méthodologie introduite précédemment, puis nous utiliserons l’étape d’optimisation pour obtenir un plan d’expériences optimal selon un critère de recouvrement de l’espace.

La première étape consiste à construire le plan d’expériences initial qui servira de point de départ à l’algorithme d’optimisation. Un plan d’expériences de 20000 points est généré dans l’espace physique dimensionnel. Le nombre important de points permet de bien couvrir le domaine d’étude dans l’espace physique dimensionnel. A partir de la définition des nombres adimensionnels (II.27), le plan d’expériences correspondant dans l’espace adimensionnel est construit (Figure II.4). Cette figure illustre comment les contraintes émanant de l’espace physique dimensionnel (II.28) se propagent dans l’espace adimensionnel (bornes verticales, horizontales et diagonales du domaine).

Figure II.4 : Plan d'expériences dans l'espace adimensionnel dans la première étape de la procédure de génération du plan d'expérience initial મି૚ 10-2 100 102 10-2 100 102 p 1 p 2

Lors de la seconde étape de la construction du plan d’expériences initial, un plan d’expériences de type factoriel complet est généré dans l’espace adimensionnel. Les bornes de chaque nombres adimensionnels (II.29) sont calculés à partir des extremums donnés par les limites min/max des variables physiques dimensionnelles ȫ_ିଵ.

ͲǤͲʹ ൑ ߨ௜൑ ͳͲͲǡ ݅ א ሼͳǡʹሽ (II.29)

Le plan d’expériences de type factoriel complet, noté ȫ_ிி, est représenté par des étoiles noires sur la Figure II.5 (à gauche). Il contient sept niveaux sur chaque variable, donc 49 points ce qui est très proche du nombre de points désiré, c’est-à-dire 50. A ce stade, le plan d’expériences ȫ_ிி n’a pas d’équivalent dans l’espace physique dimensionnel et il ne respecte pas les contraintes émanant de l’espace physique dimensionnel (équation (II.28)).

Figure II.5 : Etapes 2 et 3 de la génération du plan d'expériences initial : espace adimensionnel (à gauche), espace physique dimensionnel (à droite) projection sur les axes ࢞૚ et ࢞૛

La dernière étape de la génération du plan d’expériences initial consiste à sélectionner à partir de l’ensemble de points ȫ_ିଵ représenté en Figure II.4 les points les plus proches de l’ensemble ȫ_ிி représenté à gauche sur la Figure II.5. Comme illustré sur cette figure, à l’intérieur du domaine les points sélectionnés sont très proches du plan d’expériences factoriel complet, ce qui permet d’avoir une bonne distribution spatiale des points. En revanche, sur les frontières du domaine, les points sélectionnés sont très proches ce qui ne donne pas une couverture de l’espace optimale. La Figure II.5 à droite illustre la représentation spatiale des points dans l’espace physique dimensionnel projeté sur ݔ_ଵ et ݔ_ଶ après cette étape de sélection.

Si le nombre de points désiré pour le plan d’expérience (ici 50 points) est obligatoire, à la suite de cette dernière étape il est possible de rajouter un point supplémentaire à partir du plan d’expériences initial ȫିଵ généré durant la première étape.

L’étape suivante concerne l’optimisation du plan d’expériences initial à partir du critère de remplissage d’espace défini précédemment. Le problème d’optimisation est formulé comme décrit par l’équation (II.22) où les deux contraintes d’inégalités, ߨ_{௝ǡ୫୧୬}൑ ݂_௝൫ݔ_ଵ௞ǡ ǥ ǡ ݔ_௡௞൯ ൑ ߨ_{௝ǡ୫ୟ୶} et ݃_௜൫ݔ_ଵ௞ǡ ǥ ǡ ݔ_௡௞൯

10-2 100 102 10-2 100 102 p 1 p 2

Plan d'expériences initial Plan d'expériences P FF 100 101 102 100 101 102 x 1 x 2

n’existent pas pour le problème concerné. Comme nous travaillons en échelle logarithmique, les variables manipulées sont les logarithmes des variables physiques dimensionnelles. Par conséquent, les contraintes données par l’équation (II.28) doivent être exprimées dans l’espace logarithmique pour être utilisées lors de l’optimisation. Les résultats de l’optimisation du plan d’expériences sont représentés en Figure II.6. La partie gauche représente le plan d’expériences adimensionnel obtenu qui optimise le critère de remplissage de l’espace, et sur la partie droite, la projection sur ݔ_ଵ et ݔ_ଶ de l’espace physique dimensionnel correspondant. On remarque que la procédure d’optimisation a effectivement redistribué les points du plan d’expériences initial afin d’obtenir une meilleure couverture de l’espace d’étude tout en respectant les contraintes émanant de l’espace physique dimensionnel.

Figure II.6 : Plan d’expériences final : espace adimensionnel (à gauche) et projection sur ࢞૚ et ࢞૛ pour l’espace physique dimensionnel (à droite)

Etant donné que la qualité de la distribution spatiale évaluée graphiquement peut être subjective, et parfois impossible pour des espaces à plus de trois dimensions, nous avons défini un indicateur numérique de distribution. Pour calculer cet indicateur, la première étape consiste à calculer les distances séparant chaque point de son plus proche voisin. Ensuite, l’indicateur de distribution, noté ܳ, est défini comme le rapport entre l’écart type et la distance moyenne de toutes les distances calculées dans la première étape. Si la valeur de l’indicateur est proche de un, cela signifie que les distances entre chaque point et son voisin sont très différentes, ce qui indique une mauvaise distribution spatiale des points. En revanche, si l’indicateur donne une valeur très faible, cela indique une répartition spatiale plus uniforme des points De plus, comme cet indicateur n’est pas utilisé lors de l’optimisation du plan d’expériences, il constitue un critère objectif d’évaluation de la distribution spatiale.

L’indicateur de distribution calculé pour le plan d’expériences final représenté sur la Figure II.6 à gauche, est égal à ܳ ൎ ͸݁ െ ͳ͸, ce qui indique une très bonne distribution spatiale. Pour comparaison, l’indicateur évalué pour le plan d’expériences initial de la Figure II.5 à gauche, est égal à ܳ ൎ ͲǤ͸ʹ. Ici l’indicateur montre que la distribution n’est pas uniforme, ce qui est facilement observable lorsque l’on regarde les points situés sur les frontières et à l’intérieur du domaine.

Pour finir, considérons le cas précédent mais avec une contrainte supplémentaire pour l’un des deux nombres adimensionnels :

10-2 100 102 10-2 100 102 p 1 p 2

Plan d'expériences initial Plan d'expériences optimisé

100 101 102 100 101 102 x 1 x 2

ͳ ൑ ߨଵ൑ ͳͲ (II.30) De plus, on souhaite avoir au minimum neuf niveaux sur l’axe adimensionnel ߨ_ଵ. Un nombre de niveaux plus élevé sur une variable peut être envisagé lorsque l’on sait que le modèle sera non-linéaire vis-à-vis de cette variable. Le nombre de points désiré pour le plan d’expériences étant le même (50 points), le plan d’expériences initial basé sur un factoriel complet et respectant les contraintes sur les nombres de niveaux (9 niveaux sur ߨ_ଵ et 6 niveaux sur ߨ_ଶ) donne 54 points. En appliquant la même procédure que précédemment, le plan d’expériences final obtenu est représenté sur la Figure II.7 à gauche. On peut remarquer que le plan d’expériences initial satisfait la contrainte sur le nombre de niveaux minimum sur ߨଵ mais ne donne pas une distribution spatiale uniforme (ܳ ൎ ͲǤͶ͵). Après optimisation, la distribution

est meilleure (ܳ ൎ ͲǤ͵) mais le nombre de niveaux sur ߨ_ଵ est d’environ cinq ce qui ne respecte pas notre contrainte. Pour contrôler le nombre de niveaux sur les variables lors de l’optimisation, l’équation (II.24) permettant le changement d’échelle introduite dans le paragraphe II.2.2.2 de ce chapitre est utilisée. Les résultats obtenus par optimisation en utilisant ce changement d’échelle sont présentés sur la Figure II.7 à droite. On distingue clairement la présence d’au moins neuf niveaux sur ߨ_ଵ. Sur ce dernier exemple, nous avons montré que la méthode proposée permet, tout en optimisant la répartition spatiale des points, de contrôler le nombre de niveaux indépendamment sur chaque axe quelques soient les contraintes imposées sur les variables physiques dimensionnelles ou les nombres adimensionnels.

Figure II.7 : Plans d'expériences avec contrainte sur les bornes de ࣊૚: nombre de niveaux non respecté (à gauche) et nombre de niveaux respecté (à droite)