Optimisation des param`etres num´eriques: cas du PSTM

xm = − ^γm

2ωµ0 |ezm|² (2.97)

L’expression finale du flux transmis `a travers le guide d’onde par le mi`eme mode propre est : φm ≈ _2ωµ^γm 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ P n∈{rad} d R 0 E(1) n E∗ zmdx ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 d R 0 |Ezm|²dx (2.98)

Pour une sonde multimode, le signal total collect´e est la somme sur tous les modes propres : φtot = P^K

m=1φm.

2.3.2 Optimisation des param`etres num´eriques: cas du PSTM

Dans cette partie, nous nous sommes int´eress´es au cas d’un objet sub-longueur d’onde unique d´epos´e sur le substrat en l’absence de sonde. Ce type de calcul a d´eja ´et´e effectu´e de multiples fa¸cons, mais comme ce r´esultat va nous servir de comparaison tout au long de ce travail, ils nous a sembl´e important de le retrouver avec la m´ethode d´ecrite ci-dessus. En l’absence de sonde, la hauteur de la zone modul´ee se r´esume `a la hauteur de l’objet, donc `a une fraction de longueur d’onde. On pourrait penser qu’il est inappropri´e d’utiliser une m´ethode relativement lourde pour effectuer ce calcul ’relativement simple’, cependant comme nous le verrons sur le r´esultat, quand l’objet d´epos´e sur le substrat est ´eclair´e en r´eflexion totale, des interactions entre les cellules voisines peuvent apparaˆıtre si la p´eriode n’est pas suffisante pour isoler l’objet. Dans ces conditions, la p´eriode du syst`eme doit ˆetre relativement ´elev´ee, et donc le nombre de modes utilis´es pour bien d´ecrire le syst`eme aussi. Dans ce cas, les ordres ´evanescents les plus ´elev´es ont une port´ee tr`es faible, et cette situation impose un algorithme de propagation du type S. Dans une seconde partie, nous introduirons au dessus de l’objet une sonde de forme simple, afin de voir uniquement l’effet des ’param`etres num´eriques’; c’est-`a-dire voir comment le nombre de modes, et le nombre de couches influent sur l’intensit´e diffract´ee par le syst`eme global, et ceci uniquement pour une position donn´ee de la pointe par rapport `a l’objet.

2.3.2.1 Syst`eme 1: objet sub-longueur d’onde sans sonde

La diffraction de l’objet seul a ´et´e un des premiers calculs effectu´es [Carminati 96] afin de connaˆıtre la r´epartition du champ ´electromagn´etique ´emis par l’objet [Weeber et al. 96]. Pour notre calcul, nous avons pris un objet de section carr´ee et de taille relativement ´elev´ee par rapport `a la longueur d’onde : 100 × 100(nm2). L’objet est illumin´e en r´eflexion

in-terne, avec un angle d’incidence θ = 60◦. La longueur d’onde est λ = 632.8nm, l’indice

de r´efraction de l’objet est n2 = 1.458 comme le substrat, le tout baignant dans l’air. En ce qui concerne le champ lointain, nous avons calcul´e l’efficacit´e totale des ordres transmis en fonction du nombre de modes, et ceci pour deux p´eriodes : 24µm, et 48µm. Les r´esultats sont rassembl´es dans le tableau suivant (2.1) o`u l’efficacit´e totale transmise (T (×10−4)) ainsi que sa variation relative quand le nombre de modes est doubl´e ((^Ti+1−Ti

Ti ))

sont donn´ees en fonction de nombre de modes 2N + 1.

2N + 1 257 513 1025 2049

d1 = 24µm 4.370 (31%) 4.476 (2%) 4.480 (0.1%) 4.480 (0.0%)

d2 = 48µm 1.503 (55%) 2.187(30%) 2.241 (3%) 2.243 (0.1%)

Tab. 2.1: Le coefficient d’efficacit´e en transmission pour les deux p´eriodes d1 = 24µm et

d₂ = 48µm pour diff´erentes valeurs de 2N + 1.

Nous confirmons sur ce tableau, que plus la p´eriode est grande, plus il est n´ecessaire d’augmenter le nombre de modes pour bien d´ecrire le syst`eme. Il en est de mˆeme pour la variation relative au niveau de la transmission. Nous voyons que pour des p´eriodes de 24µm et 48µm, 513 modes et 1025 modes respectivement suffisent pour obtenir une efficacit´e en transmission constante `a moins de 0.1%, valeur relative suffisante par rapport aux pr´ecisions exp´erimentales que l’on peut atteindre `a l’heure actuelle. Il est `a noter, que ces calculs ont ´et´e effectu´es avec un nombre de couches ´egal `a 5. Dans ces conditions, l’erreur relative sur la conservation de l’´energie en champ lontain est de l’ordre de 10−11. Il est `a noter que pour obtenir une erreur de l’ordre de 10−15`a 10−16(de l’ordre de l’erreur de la machine en double pr´ecision), le nombre de couches doit ˆetre augment´e en fonction du nombre de modes utilis´es.

En ce qui concerne l’effet du nombre de modes en champ proche, nous avons represent´e (Fig.2.4) l’intensit´e li´ee au champ ´electrique (I = ^{2N +1}P

m=1 E_mE∗

m ), en consid´erant tous les termes aussi bien radiatifs qu’´evanescents et ceci `a une altitude donn´ee de 110nm au dessus du dioptre substrat-air.

Pour le champ proche on a v´erifi´e que lorsque 2N + 1 et M sont choisis pour ob´eir au crit`ere de convergence en champ lointain d´ecrit pr´ec´edemment, la distribution de champ est invariante quand on augmente le nombre de modes ou le nombre de couches. Il est

important de noter que le choix de la p´eriode d ne rel`eve pas que de crit`ere de convergence en champ proche, nous souhaitons que chaque cellule de notre syst`eme p´eriodique puisse ˆetre consid´er´ee comme unique sur le substrat. En d’autres termes les cellules doivent ˆetre ”ind´ependantes”. Pour chaque valeur de la p´eriode d on se place dans les conditions de convergence en champ lointain. La Fig.2.4, illustre le choix de la p´eriode, o`u l’on a choisi de pr´esenter la distribution de l’intensit´e du champ ´electrique, pour d = 12, 24 et 48(µm). On remarque que lorsque d est petit on observe des oscillations dans les courbes aux extr´emit´es des cellules. Ces oscillations tendent `a disparaˆıtre lorsque d est assez grand pour que le champ calcul´e dans chaque cellule ne soit pas perturb´e par les objets de cellules voisines. -7000 0 7000 0.2 0.4 0.6 (a .u )  Ε ✁²  ✂ d=12µm, 2N+1=257 d=24µm, 2N+1=513 d=48µm, 2N+1=1025 x (nm)

Fig. 2.4: Distribution du champ ´electrique pour une p´eriode de 12µm (257 modes), 24µm

(513 modes) et 48µm (1025 modes), calcul´ee `a une distance y0 = 10nm au dessus de

l’objet de taille 100 × 100(nm2). θ = 60◦, λ = 632.8nm.

Discutons maintenant de l’origine physique de la distribution d’intensit´e en champ proche sur la figure ci-dessus. La distribution calcul´ee en respectant les crit`eres de conver-gences pr´ec´edents montre un pic central assym´etrique qui r´esulte de la diffraction par un objet de taille sub-longueur d’onde ´eclair´e d’une mani`ere assym´etrique. Nous remarquons aussi un ph´enom`ene d’oscillations de part et d’autre du pic central, qui s’´etend d’ailleurs sur une tr`es grande distance. Ces oscillations apparaissent avec diff´erentes p´eriodes, et sont dues aux interf´erences entre les diff´erentes ondes diffract´ees par l’objet et la composante parall`ele de l’onde transmise dans la partie air situ´ee au dessus de l’objet [Greffet et al. 95]. La port´ee des oscillations est d’ailleurs tellement importante, que les oscillations de pe-tite p´eriode (principalement `a gauche de l’objet) se retrouvent `a doite (en raison de la p´eriodicit´e du syst`eme), sur une distance de 7 `a 8µm. La mˆeme remarque peut ˆetre faite

pour les oscillations de grande p´eriode. Si nous repr´esentons l’intensit´e diffract´ee par le mˆeme objet sur une p´eriode de 48µm avec 1025modes, ce ph´enom`ene de repliement des oscillations disparaˆıt. Dans ces conditions, les oscillations de faibles p´eriodes s’´etendent uniquement `a gauche de l’objet sur une distance de 18µm `a 20µm et de mˆeme pour les oscillations de grande p´eriode. Ceci a ´et´e v´erifi´e par une autre m´ethode de calcul : la m´ethode des dipˆoles coupl´es [Chaumet et al. 98, Rahmani et de Fornel 96], qui est une

m´ethode ap´eriodique, et o`u la d´ecomposition sous forme d’ondes planes ne peut ˆetre

soup¸conn´ee, puisque cette derni`ere est formul´ee de mani`ere radicalement diff´erente de la m´ethode diff´erentielle.

Loin de l’objet (lat´eralement), l’intensit´e diffract´ee est quasi-constante, et ´egale `a I ≈ 0.35 pour un champ ´electrique incident d’amplitude 1. Cette valeur de l’intensit´e correspond `a l’amplitude du champ ´evanescent au dessus d’un dioptre verre-air ´eclair´e en r´eflexion totale interne. Cette expression rappel´ee ci-dessous [Salomon et al. 91], a la forme suivante :

I = |E|² = Eeva· Eeva^∗ = ^{(2n2cos θi)}

2 n2 2− n2 air exp(2kz)^°° °E_0x^{i °}° ° 2 , (2.99) o`u k = ^2π_λ 0 1 √ n2 2sin2θi−n2 air

, et Eeva est le champ ´electrique de la seule composante

´evanescente existante. En dehors de la partie constante, la variation d’intensit´e est li´ee `a la pr´esence de l’objet.

Pour conclure cette partie, nous avons r´eussi `a d´ecrire la distribution du champ ´electromagn´etique diffract´e par un objet en utilisant une m´ethode qui est optimis´ee pour traiter les syst`emes p´eriodiques, et de ce fait nous avons minimis´e voire ´elimin´e les in-teractions entre les cellules voisines contenant le mˆeme motif (l’objet seul). Nous voyons qu’avec l’algorithme de propragation S coupl´e `a la m´ethode diff´erentielle, il est possible de traiter correctement ce type de probl`emes.

Ceci va-t-il ˆetre diff´erent dans le cas d’un syst`eme plus complexe, comportant un objet sub-longueur d’onde et une sonde de taille sur-longueur d’onde?

2.3.2.2 Syst`eme 2: objet sub-longueur d’onde avec sonde

Dans cette section, nous ´etudions un syst`eme compos´e d’un objet (celui que nous avons d´ecrit dans la section pr´ecedente) et d’une sonde. Pour simplifier notre propos, qui est ici de voir uniquement l’effet des param`etres num´eriques sur un syst`eme complexe, nous allons restreindre la sonde `a sa partie rectangulaire. L’effet du taper et de l’apex sera repris largement dans les chapitres suivants. Pour la repr´esentation du syst`eme, on peut se reporter `a la Fig.2.3, en faisant abstraction du taper et de l’apex. Les param`etres au niveau de l’´eclairage et de l’objet sont les mˆemes que dans la section pr´ec´edente, et la

sonde est carat´eris´ee par un diam`etre de 200nm, une hauteur de a1 = 3, 6µm et un indice

Nous allons tout d’abord examiner, les param`etres num´eriques li´es `a la m´ethode de calcul : nombre de modes et nombre de couches. Nous travaillons dans le mode `a hauteur constante, et donc l’extr´emit´e de la sonde se d´eplace `a une distance constante du dioptre substrat-air comme dans le cas du point mat´eriel pr´esent´e dans la section pr´ec´edente.

-15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 -5.00E-012 0.00E+000 5.00E-012 1.00E-011 1.50E-011 2.00E-011 2.50E-011 3.00E-011 3.50E-011 4.00E-011 d=30µm 2N+1=129 2N+1=257 2N+1=513 2N+1=1025 F lu x ( a.u) l_x (nm)

Fig. 2.5: Effet du nombre de modes sur le syst`eme sonde-objet, pour un nombre de

couches donn´e et une p´eriode donn´ee.

Sur la Fig2.5, nous avons repr´esent´e le flux transmis au travers de la sonde d´ecrite par les param`etres pr´ec´edents. En raison des indices de r´efraction de la partie rectangulaire, de son environnement, et de son diam`etre un seul mode peut ˆetre excit´e et se propager comme nous le verrons plus en d´etails dans le chapitre suivant. Nous voyons que comme dans le cas pr´ec´edent (objet unique), la convergence du flux transmis s’´etablit pour un nombre de modes ´equivalent, soit 513 modes pour une p´eriode donn´ee de 30µm (et M = 50). Sans rentrer dans les d´etails, comme nous le ferons dans le chapitre suivant, les courbes pr´esentent de part et d’autre de la position verticale de la sonde au dessus de l’objet des oscillations de petite p´eriode sur la partie gauche de la courbe, et de plus grande p´eriode sur la partie droite mais avec une p´eriodicit´e augmentant au fur et `a mesure que la sonde s’´eloigne lat´eralement de l’objet. Nous pouvons remarquer que le passage de la sonde `a la verticale de l’objet engendre un flux transmis tr`es important, et plus confin´e lat´eralement que pour l’objet seul, et nous voyons l’effet de repliement (petites oscillations `a droite) dˆu `a la p´eriodicit´e du syst`eme trop faible dans ce cas l`a.

Sur la Fig 2.6, nous avons fait ´evoluer le nombre de couches afin de d´eterminer son effet sur le flux transmis au travers du syst`eme sonde-objet. Il est possible, en connaissant les param`etres du syst`eme, de donner une estimation du nombre de couches pour un

syst`eme donn´e, bien qu’une v´erification `a posteriori soit fortement conseill´ee. En effet, comme dans le cas de l’objet seul, nous avons fait ´evoluer la p´eriode du syst`eme afin de comparer la distribution du flux lumineux ´emergeant de la sonde. Nous avons repr´esent´e sur la figure (Fig2.7), le flux transmis pour 4 p´eriodes diff´erentes, de 10µm `a 40µm, et ceci avec un nombre de couches et un nombre de modes apropri´es. Comme nous pouvons l’observer `a partir de ces courbes, quelque soit la p´eriode du syst`eme nous obtenons des flux d’´energie comparables `a travers la sonde. Nous remarquons qu’en augmentant la p´eriode nous ´eliminons le repliement des oscillations qui se trouvent aux extr´emit´es gauche et droite des courbes. Notons que la p´eriode trouv´ee qui permet de quasiment d´ecoupler les diff´erent syst`emes est `a peu pr`es la mˆeme que celle obtenue avec une structure beaucoup moins haute (objet seul). Ceci peut ˆetre li´e, d’une part `a la faible diffusion en champ lointain de l’objet et au fait que la sonde et l’objet ont des dimensions lat´erales comparables. -15000 -10000 -5000 0 5000 10000 15000 0.00E+000 1.00E-011 2.00E-011 3.00E-011 4.00E-011 ^D=200nm_l p=3600nm M=25 M=50 M=80 F lux ( a.u) l_x(nm)

Fig. 2.6: Effet du nombre de couches pour un nombre de modes donn´es et une p´eriode

donn´ee.

Nous verrons dans les chapitres suivants que suivant la taille et le type de sonde, on aboutit `a une ´evaluation de cette p´eriode, qui `a notre connaissance ne peut ˆetre d´etermin´ee qu’au cas par cas. Notons que cette fa¸con de proc´eder pour rendre d’une certaine mani`ere le syst`eme ap´eriodique, sera appliqu´ee dans tous les types de syst`emes que nous allons ´etudier par la suite. Mais g´en´eralement, plus la taille de la sonde sera importante, plus la p´eriode du syst`eme et donc le nombre de modes `a prendre en compte augmentera. Bien que ceci ait une r´epercussion consid´erable sur le temps de calcul, il sera n´eanmoins possible de traiter le cas d’une sonde de taille relativement importante grˆace `a cette m´ethode.

-20000 -10000 0 10000 20000 0.00E+000 1.00E-011 2.00E-011 3.00E-011 4.00E-011 D=200nm l_p=3600nm d=10µm d=20µm d=30µm d=40µm F lu x ( a. u ) l_x(nm)

Fig. 2.7: Effet de la p´eriode pour un nombre de modes et un nombre de couches suffisant

M = 50.

2.4 Conclusion

Au cours de ce chapitre nous avons expos´e le principe de la m´ethode diff´erentielle ainsi que son am´elioration principale : l’algorithme de propagation S-matrice. Ce dernier permet d’´etendre le champ d’application de la m´ethode diff´erentielle `a des objets sur-longueur d’onde. Le but de cette ´etape ´etait de montrer qu’il ´etait possible d’utiliser cette m´ethode pour traiter un syst`eme global (substrat-sonde-objet), en tenant compte, des r´eflexions multiples existant entre les divers composants. Bien que n’ayant analys´e que la configuration SNOM-collection, type PSTM (´eclairage en r´eflexion totale interne), nous pensons que cette m´ethode est applicable `a d’autres configurations. Nous avons aussi pr´ecis´e les conditions `a respecter pour avoir la possibilit´e de d´ecrire correctement un syst`eme unique sonde-objet `a partir d’une m´ethode p´eriodique. A partir de ces r´esultats, il est maintenant possible d’analyser l’effet des diff´erents param`etres de la sonde sur le champ ´electromagn´etique diffract´e par le syst`eme global du type PSTM.

Le cas de la polarisation p n’a pas ´et´e trait´e ici. Dans ce cas, la m´ethode diff´erentielle est encore applicable ainsi que l’algorithme S-matrice, cependant une nouvelle factorisation des produits des s´eries de Fourier tronqu´ees est indispensable pour augmenter de mani`ere significative la rapidit´e de convergence du calcul pour un nombre de modes donn´es [Li 96, G´erard 04]. De mˆeme, une g´eom´etrie tridimensionnelle du syst`eme complet peut ˆetre trait´ee avec cette m´ethode, mais la place m´emoire ainsi que le temps de calcul deviennent prohibitifs. Une ´evolution des ordinateurs ainsi que la parall´elisation des programmes (par exemple langages MPI ou Open MP) permettra de simuler des syst`emes complets et r´ealistes en 3 dimensions en prolongement du travail pr´esent´e dans cette th`ese.

Chapitre 3

Simulation d’images PSTM en mode

`

a hauteur constante avec une sonde

monomode

Dans ce chapitre, nous nous int´eressons au cas du PSTM lorsque le champ proche diffus´e par un ´echantillon est collect´e par une sonde monomode puis coupl´e au mode propre qui se propage dans la sonde jusqu’au d´etecteur. Nous nous sommes surtout int´eress´es `a l’´etude des images optiques r´ealis´ees avec une sonde monomode. Nous montrerons les premi`eres applications de notre mod`ele global dans l’´etude de l’interaction sonde-objet en introduisant les effets de la forme de la sonde, de la distance sonde-objet, de l’angle d’incidence ainsi que de l’indice de r´efraction de l’objet. La fonction de transfert et la question de la passivit´e de la sonde d´etectrice dans le PSTM seront aussi abord´ees.

3.1 Position du Probl`eme

Dans toutes nos simulations nous ´eclairons l’objet par r´eflexion totale interne au niveau du substrat et nous consid´erons deux milieux d’indices de r´efraction respectifs n1 et n2 o`u n1 > n2 (voir Fig3.1(a)). L’onde plane arrive `a l’interface entre les deux milieux sous un angle θ sup´erieur `a l’angle critique θ_c, elle est donc totalement r´efl´echie. Par cons´equent le

champ ´electromagn´etique dans le milieu n2 est une onde ´evanescente [de Fornel 98], son

amplitude d´ecroˆıt exponentiellement avec la distance `a l’interface. L’intensit´e du champ transmis dans le milieu 2 en fonction de la distance y par rapport `a l’interface, a pour expression [Salomon et al. 91]:

I(y) = I0exp à −^2y dp ! (3.1) avec

dp = ^λ 2π^qn2

1sin²θ − n2 2

(3.2) I0 est l’intensit´e incidente `a l’interface, dp la profondeur de p´en´etration, qui traduit la rapidit´e de la d´ecroissance, division par e2 du champ ´evanescent lorsque l’on s’´eloigne de l’interface. Cette grandeur est li´ee aux indices de r´efraction des deux milieux, `a la longueur d’onde et `a l’angle d’incidence. L’amplitude du champ est tr`es sensible aux valeurs de dp.

(b) n2 n1 (a)

θ

Fig. 3.1: (a) R´eflexion totale et confinement de l’onde ´evanescente, (b) Principe de

d´etection du champ proche par une sonde.

La pr´esence d’un objet sur le substrat, entraˆıne une frustration locale et partielle de la r´eflexion totale.

Dans le syst`eme r´eel que nous ´etudions, l’objet transparent est ´eclair´e en r´eflexion totale interne (Fig3.1(b)), le champ proche est d´etect´e au moyen d’une sonde monomode, qui collecte une partie des ondes ´evanescentes et progressives, puis les convertit en ondes radiatives qui se propagent jusqu’au d´etecteur.

Les param`etres opto-g´eom´etriques du syst`eme sonde-objet ont ´et´e d´ej`a pr´esent´es dans le chapitre 2 (section 2.2.2). Sur la Fig.3.2 nous reproduisons ce syst`eme avec plus de d´etails relatifs `a ce chapitre (ex. les sens de d´eplacement lat´eral de la sonde).

a b g a3 a2 a1 x ligne de balyage ✁✄✂ Zone homogène 1: air Zone modulée yM yj-1 D ϕ Csonde ☎ ✆✝ h y 0 z y0 y1 yM-1 yj xpr=d/2 xob lx ✞ ✟ ✞ ✟ ✠ ✡☞☛ ✌ Zone homogène 2: prisme ✍ θ ✎✏✒✑ ✓

Fig. 3.2: Sch´ema de la configuration PSTM `a 2 dimensions.