Les op´erateurs de contraction de contraintes fournissent l’analogue des algorithmes de consis- tance g´en´eriques d´evelopp´es pour des domaines discrets.
Donnons maintenant un panorama des op´erateurs de contraction usuels. Nous distinguons d’abord les formes qui assurent une consistance faible (en appliquant les contraintes une par une), et ensuite celles consid´erant simultan´ement plusieurs contraintes `a la fois. Nous terminons en donnant une classification selon le degr´e de contraction des op´erateurs.
Les op´erateurs de contraction continus visent `a obtenir un sch´ema d’approximation efficace de la consistance d’arc. Calculer la consistance d’(hyper)arcs exacte par des unions d’intervalles est g´en´eralement tr`es inefficace [44, 64, 29], et les algorithmes utilis´es en pratique (2B [79], HC-4 [16], Box-consistance [17], Bounds [101], BC-4 [49] et BC-5 [51]) calculent donc une ap- proximation plus grossi`ere des relations r´eelles. Alors que certains op´erateurs n´ecessitent une transformation pr´ealable du syst`eme original P en Pdecomp o`u les contraintes complexes sont
d´ecompos´ees en contraintes primitives, d’autres permettent d’´eviter de perdre ainsi une partie de la s´emantique en se passant de cette r´e´ecriture. Nous nous limitons ici `a d´ecrire les deux consistances les plus usuelles, `a savoir la 2B et la Box-consistance, et terminons en donnant un aper¸cu des am´eliorations que l’on obtient en combinant les deux approches.
La premi`ere forme de consistance locale pour des contraintes continues est la hull-consistance (aussi appel´ee 2B-consistance [79]) introduite par Cleary [33]. ´Etant donn´e une contrainte conti- nue c(x1, . . . , xn) et un pav´e I, on dira que c est hull-consistante sur I si
∀i ∈ {1, . . . , n}, Ii = (πk(ρc∩ Ii)) (1.2)
De mani`ere op´erationnelle on s’int´eresse `a obtenir
∀i ∈ {1, . . . , n}, Ii= apxA(πk(ρc∩ Ii)) (1.3)
Or on ne dispose pas du moyen de calculer cette approximation pour toute relation ; on d´esigne comme « primitive » une contrainte qui dispose d’un tel op´erateur sur le domaine d’approxima- tion A. Une mani`ere de traiter les contraintes non-primitives est de les d´ecomposer en primitives par l’introduction de variables interm´ediaires24. Cette d´ecomposition peut entraˆıner la perte des relations de d´ependances entre les variables de la contrainte, et en cons´equence un syst`eme d´ecompos´e hull-consistant n’est pas forc´ement hull-consistant pour la contrainte originelle [34]. Une alternative se passant de la d´ecomposition en contraintes ´el´ementaires est de se contenter d’une forme plus faible de consistance : la Box-consistance [17]. ´Etant donn´e c une contrainte n-aire, C une extension aux intervalles de c et un pav´e I. On dit que c est Box-consistante par rapport `a I si
∀i ∈ {1, . . . , n}, Ii= {xi∈ Ii | C(I1, . . . , Ii−1, {xi}, Ii+1, . . . , Im)} (1.4)
L’algorithme de Box-consistance BC-3 (par analogie avec AC-3) calcule des domaines box- consistants pour une contrainte c(x1, . . . , xm) en utilisant des projections de contraintes. Il ob-
tient∀i ∈ {1, . . . , m} la projection CXi de C sur Xi par
CXi = C(D1, . . . , Di−1, Xi, Di+1, . . . , Dm) (1.5)
L’op´erateur de contraction Nccalcule pour tout i le plus grand intervalle [a, b]⊆ D(Xi) tel que
( CXi([a
−, a))
CXi((b, b
+]) (1.6)
o`u a−(resp. b+) est le plus grand (resp. petit) flottant appartenant `a F∞plus petit que a (resp. b). On peut trouver chacune de ces bornes en ´evaluant C selon un d´ecoupage dichotomique de D(Xi). Il est possible de plus d’acc´el´erer dans certains la recherche des bornes en utilisant la
m´ethode de Newton ´etendue aux intervalles [114].
Entre ces deux formes, l’utilisation de la Box-consistance est avantageuse pour des variables de grande multiplicit´e, mais elle est en g´en´eral plus lente sur les variables apparaissant une seule fois. Une strat´egie avantageuse est de combiner les op´erateurs de hull et de box-consistance, ce
24La perte de performances li´ee `a l’introduction de variables suppl´ementaires peut ˆetre ´evit´ee avec l’algorithme
que fait l’algorithme BC-4 [49], ou encore BC-5 [51] en appliquant en plus la m´ethode de Newton. Tout comme pour les contraintes discr`etes, dans certaines situations le filtrage obtenu par ces algorithmes est trop faible pour saisir la d´ependance entre les contraintes, et entraˆıne `a force de splittings une recherche de solutions dans un arbre tr`es profond. On peut dans ce cas tenter d’appliquer des formes de consistance d’ordre sup´erieur : alors que les consistances lo- cales d’ordre deux calculent une approximation de la hull-consistance, les consistances d’ordre sup´erieur portent sur les bornes calcul´ees par ces derni`eres. Consid´erons un CSP (C, X, D) 2B-consistant. L’algorithme de 3B-consistance [79] r´evise `a tour de rˆole chaque variable Xi et
assure que les syst`emes (C∪ {Xi = Xi}, X, D) et (C ∪ {Xi= Xi}, X, D) sont 2B-consistants. Le
mˆeme principe peut ˆetre appliqu´e `a la box-consistance et on obtient alors la Bounds-consistance. Terminons en clarifiant la relation entre ces diff´erentes consistances. Pour un P = (V, D, C) un CSP continu. nous notons Φcstce(P ) = (V, Dcstce,C) la fermeture de P par l’algorithme de
consistance locale cstce. Introduisons la relation d’ordre d´efinissant Φcstce1(P ) Φcstce2(P ) si
et seulement si∀Di ∈ D, Dcstcei 1 ⊆ Dicstce2. Collavizza et. al donnent dans [35] une classification
de quelques formes de consistance-locale `a laquelle nous ajoutons les formes d´evelopp´ees depuis : ΦBounds(P ) Φ3B(Pdecomp) ( ΦBox Newton(P ) ΦBC-4 Newton(P ) ( ΦBox(P ) ΦBC-4(P ) ( ΦHC-3(Pdecomp) ΦHC-4(P ) . En plus de la preuve de ces propri´et´es, on trouvera dans [35] des contre-exemples illustrant les relations d’inclusion.
Dans nos travaux, les contraintes continues trait´ees sont exclusivement des contraintes de distance euclidienne. Sur nos exemples, la 3B-consistance apporte un filtrage assez fort, mais trop coˆuteux pour ˆetre avantageux. Comme on peut exprimer la distance euclidienne par une formule n’ayant que des occurrences simples des variables, HC-4 est toujours plus efficace que la box-consistance.