Nous avons montr´e les formes que prennent les approches hybrides discr`etes-continues en PPC : la relaxation de contraintes discr`etes et la r´esolution par coop´eration de solveurs sur des probl`emes contenant des contraintes mixtes. La premi`ere approche a suscit´e r´ecemment beaucoup d’int´erˆet en PPC. Nous utilisons une approche originale en utilisant non pas un solveur lin´eaire (la seule approche jusque-l`a) mais une contrainte globale. La seconde approche est bien fond´ee dans plusieurs cadres th´eoriques, mais elle a ´et´e tr`es peu ´etudi´ee en pratique, et nous explorons sa faisabilit´e sur un nouveau probl`eme.
Nos travaux s’inscrivent sur chacun des deux axes d’hybridation. Ils s’appuient sur distn, une contrainte globale continue de distance euclidienne introduite au Chapitre 2. Une premi`ere r´esolution de l’application que nous traitons au Chapitre 3 utilise distn sur la relaxation conti- nue du probl`eme. La seconde r´esolution ´etend l’espace de solutions d’une partie des variables aux domaines continus et coordonne la r´esolution de contraintes discr`etes et continues par des contraintes mixtes.
CHAPITRE
2
distn : une contrainte
globale continue
L’objectif de cette th`ese est de proposer une mod´elisation et une r´esolution efficace d’un probl`eme de d´eploiement d’antennes. Au cœur du mod`ele de cette applica- tion trait´ee au chapitre 3, nous trouvons l’expression d’une clique de contraintes de distance euclidienne, ce qui nous motive `a proposer une contrainte globale pour ce sous-probl`eme.
Apr`es avoir donn´e la s´emantique d’une telle contrainte et montr´e son int´erˆet plus g´en´eral, nous exposons une interpr´etation g´eom´etrique du filtrage apport´e par des contraintes de distance euclidienne qui nous am`ene `a ´etudier deux algorithmes de packing de cercles comme algorithmes de filtrage adapt´es `a la contrainte.
Nous proposons un premier algorithme de filtrage qui r´eduit les domaines – repr´esen- t´es par des pav´es – en des simplexes, afin de les ramener `a des pav´es plus petits. Ces r´eductions sont calcul´ees `a l’aide d’une extension originale `a l’arithm´etique d’inter- valles d’un algorithme de programmation lin´eaire de complexit´e lin´eaire en le nombre de contraintes.
Nous poursuivons ensuite avec un second algorithme plus complexe qui conserve les simplexes interm´ediaires et op`ere le filtrage directement de polygone en poly- gone. Cette approche nous a montr´e que l’utilisation de polygones est finalement plus efficace qu’une approche plus simple bas´ee sur des pav´es. Nos contributions `a l’am´elioration de cet algorithme sont les suivantes :
• Nous proposons une nouvelle caract´erisation du filtrage qu’il est possible d’op´erer et en d´erivons une modification de l’algorithme originel qui ´elimine certains cas particuliers.
• Nous donnons une adaptation de l’algorithme `a des domaines en trois dimensions. • Nous donnons une analyse de sa complexit´e algorithmique.
• Nous rendons l’extension aux intervalles de l’algorithme plus simple en utilisant un calcul d’enveloppe convexe.
• Nous un test d’efficience de la proc´edure de filtrage.
Nous introduisons la g´en´eralisation de distn `a distn var, contrainte dont les distances donn´ees par des variables. Son algorithme de filtrage exploite la repr´esentation des domaines par des polygones convexes.
Une s´erie d’exp´erimentations compare les performances de distn `a celles des algo- rithmes de filtrage concurrents.
Introduction
Des probl`emes contenant des contraintes de distance euclidienne apparaissent dans de nom- breux champs d’application de la PPC, allant de la robotique [88] `a la chimie [71], en passant par les bases de donn´ees spatiales. Consid´erant la performance g´en´eralement faible des techniques de filtrage classiques sur des probl`emes faisant intervenir un grand nombre de contraintes de ce type, plusieurs m´ethodes ont ´et´e propos´ees pour am´eliorer l’usage des solveurs de contraintes [78, 71, 8, 9, 59] :
• Krippahl et Barahona [71] proposent de combiner une approximation faible de la contrainte de distance euclidienne avec la contrainte globale diffn. Plus pr´ecis´ement, ils relaxent la relation de distance dans la m´etrique euclidienne vers la m´etrique de l∞, en rempla¸cant la
boule euclidienne (distance euclidienne exacte) par les carr´es inscrits (distance l∞ min) et
circonscrits (distance l∞ max) `a celle ci.
• Pesant et Boyer [100] et Lebbah et al. [78] proposent un algorithme de filtrage, qui de fa¸con plus g´en´erale, g´en`ere une relaxation lin´eaire serr´ee de tous les termes quadratiques et d´el`egue leur traitement `a un solveur lin´eaire. Batnini et Rueher [10] introduisent une d´ecomposition s´emantique des contraintes de distance euclidienne qui acc´el`ere l’algorithme Quad [78].
• Batnini [7] introduit syst´ematiquement des contraintes redondantes donn´ees par les in- ´egalit´es triangulaires et des relations faisant intervenir le barycentre de triplets de points, pour acc´el´erer l’algorithme de 3B-consistance.
Cependant ces approches comportent encore des limitations. Elles apportent dans la premi`ere approche une approximation parfois tr`es faible ; les suivantes ont une complexit´e qui croit tr`es rapidement avec la taille des syst`emes.
Nous proposons ici une contrainte globale n-aire qui consid`ere les relations d’inter-distance entre n points. Nous utilisons ce point de vue pour mettre en œuvre des raisonnements g´eom´e- triques qui permettent de r´esoudre ces limitations.
Nous pr´esentons d’abord les motivations applicatives de la contraintes globale distn (Sec- tion 2.1) et poursuivons en donnant les motivations g´eom´etriques pour introduire une contrainte globale (Section 2.2). Un premier algorithme de filtrage est d’abord introduit (Section 2.3), suivi de l’algorithme que nous avons retenu pour distn (Section 2.4) et pour son extension `a distn var (Section 2.5). Nous terminons avec une s´erie d’exp´erimentations (Section 2.6) et une conclusion (Section 2.7).