Nous proposons ici un mod`ele math´ematique pour d´ecrire formellement notre probl`eme de d´eploiement progressif d’antennes.
Cette ´etape initiale est importante car elle permet d’avoir une sp´ecification rigoureuse de l’ensemble du probl`eme `a r´esoudre. La nature h´et´erog`ene des sous probl`emes en jeu (allocation de fr´equences et localisation des sites) accentue la pertinence d’un mod`ele math´ematique qui s’affranchit de la donn´ee d’un langage de contraintes (discr`etes ou continues).
Nous produisons le mod`ele en suivant l’ordre que nous avons utilis´e dans la description de l’application (RLFAP, Loc puis LocRLFAP) avant de pr´eciser le crit`ere d’optimisation utilis´e.
3.2.1
Donn´ees du probl`eme
Le probl`eme de d´eploiement progressif d’antennes est une probl`eme de type mixte, dont les variables relatives `a l’allocation de fr´equences - les couples (fr´equence, polarisation) - sont de type entier, et celles portant sur le d´eploiement (les coordonn´ees des antennes) sont de type continu. D´efinissons ces variables et leurs domaines.
On dispose de m antennes implant´ees sur n sites (Si)1≤i≤nde position Si= (xi, yi), auxquels
on veut attribuer une position et entre lesquels on souhaite ´etablir des liaisons. Le domaine fr´equentiel disponible est not´e F = [ F , F ], une liaison entre Si `a Sj est not´ee lij, un trajet de
Si `a Sj est not´e tij et l’ensemble des trajets que l’op´erateur doit pourvoir est not´e T . On associe
`a tij le domaine fr´equentiel Fij ={fij ∈ F } comme l’ensemble des fr´equences admissibles parmi
lesquelles on peut choisir la fr´equence assign´ee au trajet. La position d’un site Si est d´efinie
comme le point (xi, yi)∈ Xi× Yi, o`u Xi× Yi contient la ZP I.
3.2.2
Mod´elisation des contraintes radio´electriques
Nous d´efinissons ici quelques notations et le mod`ele math´ematique ´elabor´e pour rendre compte de l’ensemble des contraintes de type radio´electrique qui sont ind´ependantes du d´e- ploiement adopt´e par les sites.
3.2.2.1 Contraintes co-site
`
A la pose du probl`eme, l’op´erateur d´efinit un certain nombre de constantes en fonction de la sensibilit´e du mat´eriel utilis´e et des ressources disponibles :
• ∆er, la constante d’´ecart de fr´equence minimum entre un ´emetteur et un r´ecepteur co-sites
• ∆ee, la constante d’´ecart de fr´equence minimum entre deux ´emetteurs co-sites
• ∆rr, la constante d’´ecart de fr´equence minimum entre deux r´ecepteurs co-sites
• ∆eer, la constante d’´ecart de fr´equence minimum d’inter-modulation entre un r´ecepteur et
deux ´emetteurs co-sites.
Les contraintes de type radio´electrique co-site peuvent alors ˆetre mod´elis´ees comme suit : • Contraintes co-site d’interf´erence :
– Contraintes ´emetteur-r´ecepteur : ∀(i, j, k) / i 6= j, i 6= k, |fij− fki| > ∆er – Contraintes ´emetteur-´emetteur : ∀(i, j, k) / i 6= j, i 6= k, j 6= k, |fij− fik| > ∆ee – Contraintes r´ecepteur-r´ecepteur : ∀(i, j, k) / i 6= j, i 6= k, j 6= k, |fji− fki| > ∆rr
• Contraintes co-site d’inter-modulation (d’ordre 3) : ∀(i, j, k, l) / i 6= j, i 6= k, j 6= k, l 6= i, ( |fij− 2fik− fli| > ∆eer |fik− 2fij− fli| > ∆eer 3.2.2.2 Contraintes de liaison
L’op´erateur d´efinit aussi l’ensemble des constantes suivantes :
• Ed, l’ensemble des liaisons lij pour lesquelles on impose un ´ecart duplexe ∆d
• Eh, l’ensemble des liaisons lij pour lesquelles on impose un ´ecart harmonique ∆h
Les contraintes de type radio´electrique qui peuvent apparaˆıtre sur les deux trajets de certaines liaisons lij choisies peuvent alors ˆetre mod´elis´ees comme suit :
• Contraintes d’´ecart duplexe
∀(i, j) ∈ Ed, |fij− fji| = ∆d
• Contraintes d’´ecart harmonique
∀(i, j) ∈ Eh, |fij− fji| 6= ∆h
3.2.2.3 Contraintes de mat´eriel ou d’op´erateur
L’op´erateur d´efinit enfin l’ensemble des constantes suivantes :
• Efi, l’ensemble des couples (tij, fik) pour lesquels on impose une certaine fr´equence fik
pr´ed´efinie,
• Eph, l’ensemble des trajets tij pour lesquels on impose une polarisation horizontale,
• Epv, l’ensemble des trajets tij pour lesquels on impose une polarisation verticale,
• Ef=, l’ensemble des couples (tij, tkl) pour lesquels on impose une fr´equence ´egale,
• Ef6=, l’ensemble des couples (tij, tkl) pour lesquels on impose une fr´equence diff´erente,
• Ep=, l’ensemble des couples (tij, tkl) pour lesquels on impose une polarisation ´egale,
• Ep6=, l’ensemble des couples (tij, tkl) pour lesquels on impose une polarisation diff´erente.
Ces ensembles donn´es permettent d’imposer pour certaines valeurs (i, j) choisies, la compatibi- lit´e entre certains mat´eriels sp´ecifiques :
• Contrainte de fr´equence fik impos´ee :
∀(i, j) / (tij, fik)∈ Efi, fij= fik
• Contrainte d’´egalit´e ou d’in´egalit´e de fr´equence :
∀(tij, tkl)∈ Ef=, fij= fkl
• Contrainte de polarisation impos´ee :
∀tij ∈ Eph, pij = horizontale
∀tij∈ Epv, pij = verticale
• Contrainte d’´egalit´e ou d’in´egalit´e de polarisation :
∀(tij, tkl)∈ Ep=, pij = pkl
∀(tij, tkl)∈ Ep6=, pij6= pkl
3.2.2.4 Contraintes de bande
On utilisera ici encore les notations d’intervalles I = [I, I]. On prendra en compte l’ensemble des bandes interdites dans le spectre de fr´equences disponible en le d´efinissant par l’union or- donn´ee des nb bandes admissibles Fbk, 1≤ k ≤ nb
F = n∪b
k=1 [ Fbk, Fbk ] avec Fbk < Fbk+1, ∀ 1 ≤ k ≤ nb− 1,
Les fr´equences sont contraintes `a ˆetre espac´ees r´eguli`erement sur F par un pas ∆pde fr´equences.
En ´ecrivant a≡ b pour a = b (modulo ∆p) on aura donc :
∀fij∈ F, fij ≡ Fb1
3.2.3
Mod´elisation des contraintes de d´eploiement
Nous abordons ici le sous-probl`eme pur de d´eploiement de sites. La position des sites n’´etant pas connue a priori, nous d´eterminons formellement les contraintes qui permettent de distin- guer une configuration valide. Interviennent dans cette estimation l’inter-distance des sites et la donn´ee de zones admissibles.
3.2.3.1 Contraintes de distance
Le d´eploiement fait intervenir la fonction distance euclidienne dans un espace de dimension deux qui pourra ˆetre Z2 ou R2. Cette fonction not´ee dist est d´efinie entre des sites S
i et Sj par :
dist(Si, Sj) =
q
(xi− xj)2+ (yi− yj)2.
Les contraintes de port´ee sont d´etermin´ees par deux matrices m et M de taille n× n, o`u la valeur mi,j (i-`eme ligne et j-`eme colonne) donne la distance minimale entre deux sites Si et Sj,
et o`u la valeur Mi,j (i-`eme ligne et j-`eme colonne) donne la port´ee maximale de l’antenne en Si
servant `a relier le site Sj.
On a alors les contraintes suivantes : • Contraintes de distance minimale
• Contraintes de port´ee maximale.
∀lij, dist(Si, Sj)≤ Mi,j
On pourra par convention d´efinir Mij = +∞ si on ne souhaite pas ´etablir de liaison entre Si et
Sj.
3.2.3.2 Contraintes de zones
Un polygone Pi peut ˆetre sp´ecifi´e g´eom´etriquement de mani`ere unique, par (pi1, . . . , piqi)
la liste ordonn´ee de ses sommets, o`u pij = (xij, yij). Il faut cependant nous munir d’une re-
pr´esentation adapt´ee de cet espace pour l’exprimer dans un solveur de contraintes. Lorsque le polygone est convexe, on peut repr´esenter son int´erieur par l’intersection des demi-espaces d´efi- nis par l’ensemble de ses arrˆetes, et on peut sans perte de g´en´eralit´e supposer que les ZPI sont convexes1.
On d´efinira donc le mod`ele de zones de d´eploiement par ∀i Si∈ ZP Ii ∀i ZP Ii= qi ∧ j=1(aijx + bijy + cij ≥ 0),
o`u les (aij, bij, cij) sont d´etermin´es par la suite des sommets (pij, pij+1)(1≤j≤qi) avec par conven-
tion piqi+1 = pi1.
De mˆeme, si les zones interdites sp´ecifi´ees sont des polygones non-convexes, on pourra les repr´esenter par une union de polygones convexes. On repr´esentera donc les contraintes de zones interdites par une union de nZI disjonctions de la forme :
∀i ZIi= qi ∨ k=1(dikx + eiky + fik ≥ 0), ∀i Si ∈ nZI ∪ j=1 ZIj
3.2.4
Mod´elisation des contraintes de d´eploiement avec alloca-
tion de fr´equences
La donn´ee du probl`eme fournit deux constantes ∆l(resp. ∆h) d´efinissant l’´ecart de fr´equence
minimum exig´e afin de garantir la compatibilit´e distante entre deux sites situ´es `a mi-port´ee (resp. en port´ee). Les contraintes de type radio´electrique distantes sont mod´elis´ees comme :
• Contraintes de compatibilit´e radio `a mi-port´ee
∀(i, j, k, l) / i 6= j, i 6= k, j 6= l, ((dist(Si, Sj)≥ dl) ∨ (|fik− flj| > ∆l))
• Contraintes de compatibilit´e radio en port´ee
∀(i, j, k, l) / i 6= j, i 6= k, j 6= l, ((dh ≥ dist(Si, Sj)≥ dl) ∨ (|fik− flj| > ∆h))
1En effet, il suffit sinon de consid´erer l’enveloppe convexe du polygone initialement sp´ecifi´e et d’ajouter des ZI
3.2.5
Mod´elisation du crit`ere d’optimisation
L’objectif op´erationnel est de minimiser la taille de la bande de fr´equences n´ecessaire `a une r´esolution du probl`eme respectant l’ensemble des contraintes pos´ees. Ce crit`ere est atteint en introduisant une variable objectif k repr´esentant le nombre de fr´equences allou´ees au total pour r´esoudre le probl`eme :
k = max(∪
i,j{fij})
On pourra remarquer que contrairement au probl`eme d’allocation de fr´equences, le probl`eme trait´e ne se r´eduit plus `a celui de minimiser le nombre de couleurs n´ecessaires pour colorier un graphe. En effet, pour le probl`eme d’allocation de fr´equences pur, on mod´elise le r´eseau par un graphe dans lequel les antennes sont les noeuds et les arˆetes repr´esentent une interf´erence possible entre les deux antennes. Dans notre probl`eme, les antennes ne sont pas toutes plac´ees a priori, et l’on ne sait donc pas entre quels noeuds il y a des arˆetes dans le graphe.