Les opérations sur les nombres

Cette expérimentation a été introduite suite à une discussion avec l'enseignante de Cl. L'enseignante a expliqué à ce moment les difficultés que Cl. éprouvait avec la décomposition et l'ad­ dition des différentes termes des décompositions.

3.1.6.1 Compréhension initiale18 et finale19

18 Un résumé de cette évaluation initiale apparaît en appendice p. Cl.-1 à Cl.-3.

19 Un résumé de cette évaluation finale apparaît en appendice p. Cl.-21 à Cl.-24.

Au cours de l'évaluation initiale, l'opération où Cl. doit enlever 20 au nombre 234 est réussie avec le matériel. Sans ce dernier, elle se contente d'enlever le chiffre 2 des centaines pour retrouver le nombre 34. La manipulation lui permet de distinguer la centaine de la dizaine. Elle ne satisfait donc pas ce critère de la composante procédurale du palier logico-mathéma­ tique puisqu'elle semble enlever des chiffres plutôt que d'opérer sur des quantités.

Au cours de l'évaluation finale, Cl. sait retirer 20 au nombre 234 mais à nouveau le comptage pose problème lorsqu'il s'agit de retrouver le nom du nombre. L'observation de l'illustration favorise l'émergence du nom du nombre (214), ce que n'a pas permis le comptage trop laborieux. Le matériel a été nécessaire à la réalisation de cette tâche et a favorisé la satisfaction du critère par l'illustration et le retrait de 2 enveloppes de dizaines, sans tâtonnement ni hésitation. Ce critère de la composante procédurale du palier logico-mathématique semble satisfait. Plutôt que d'enlever des chiffres, comme elle le faisait durant l'évaluation initiale, elle enlève des sur des quantités. Toutefois, la difficulté éprouvée avec le comptage l'invite à juxtaposer les quantités trouvées plutôt qu'à les additionner. Ainsi, nous ne pouvons prétendre à la satisfaction de ce critère du palier logico-mathématique.

3.1.6.2 Cheminement de l'expérimentation didactique20

20 Un résumé de cette expérimentation didactique apparaît en appendice 1, p. Cl.-17 à Cl.-21.

Le but de la rencontre est de reconnaître le nombre de dizaines et de centaines dans un nombre afin de faciliter les opérations. Le temps requis pour reconnaître le nombre de dizaines d'unités ou de centaines n'a pas permis de poursuivre l'exploration par des opérations d'ajout ou de retrait. Malgré les manipulations et les discussions réalisées au cours des expérimentations didacti­ ques précédentes, Cl. ne semble pas réutiliser les constructions déjà réalisées.

Cl. attribue une valeur aux chiffres du nombre 340. Pour elle, il y a 40 dizaines dans le nombre 340. Elle explique : «On avait une addition, il était marqué 29+39. Là on mettait une flèche, une autre flèche pis là on faisait la même affaire, on faisait une

flèche, on marquait 3... 30 plus 9, pis là on additionne tout ça». Elle explique son raisonnement en utilisant l'exemple d'une addition par décomposition qu'elle a déjà vue en classe.

ri i i

20+9 + 30+9 =50+8=58

Le nombre 29 est ensuite illustré par 20 enveloppes de dizaines et 9 jetons. Le dialogue tente de faire surgir des souvenirs pour retrouver l'idée que le nombre représente un ensemble d'éléments. Pour elle, ce sont les actions d'encercler des billes, de faire des flèches qui permettent de trouver le nom du nombre. Le comp­ tage des 20 enveloppes de dizaines et des neuf jetons facilite la distinction entre 29 et 209.

Elle illustre ensuite 29 par 9 jetons et 2 jetons. L'addition lui donne le nombre 11. Elle prend ensuite 2 enveloppes de dizaines et 9 jetons et explique : «C'est mêlant avec les dizaines parce que tu sais pas si c'est les dizaines ou les unités. C'est ça que ça me mêle». Le dialogue fait appel à l'activité de dénombrement des 146 traits sur une feuille réalisée au cours de la deuxième expérimentation didactique et lui facilite la reconnaissance d'un nombre composé à la fois de dizaines et d'unités.

34 unités sont reconnues équivalentes au nombre 340. «Tu mets le 3 pis le 4 pis t'enlèves le 0». Le dialogue suggère une vérifica­ tion par l'illustration et le comptage. Le nombre d'unités est retrouvé en comptant par 100 et par 10. Le comptage des centaines par dix, puis l'adaptation du comptage aux dizaines favorisent la découverte des 34 dizaines. Elle réutilise cette compréhension pour se représenter mentalement le nombre 329. Un temps de réflexion lui est donné afin qu'elle puisse se faire une repré­ sentation mentale de l'illustration de ce nombre. Elle trouve les 329 unités et semble reconnaître que le nombre d'unités correspond au cardinal. Le dialogue l'invite à dénombrer les

enveloppes pour retrouver la quantité de dizaines. L'adaptation du comptage aux différentes unités de mesure est laborieux. Un dialogue se poursuit sur les conditions facilitant l'apprentis­ sage (repos...). En effet, Cl. semble souvent fatiguée au cours des dernières expérimentations didactiques et cela pourrait influencer sa capacité d'apprentissage.

PALIER LOGICO-PHYSIQUE attribue l'idée

d'une quantité plus ou moins grande aux diffé­ rents groupements

compte par 1, par 10, par 100 -illustre un nom­ bre -reconnaît le principe de cardinal -établit des relations d'é­ quivalence COMPOSANTE INTUITIVE COMPOSANTE PROCÉDURALE COMPOSANTE ABSTRAITE PALIER LOGICO-MATHÉMATIQUE trouve le cardi­ nal en adaptant le comptage des différentes uni­ tés de mesure

établit des re­ lations d'inclu­ sion

-décompose un nombre

-donne une va­ leur relative aux chiffres d'un nombre COMPOSANTE PROCÉDURALE COMPOSANTE ABSTRAITE COMPOSANTE FORMELLE

3.1.6.3 Comment Cl. évolue à travers les différentes composan­ tes

Cl. écrit le nombre 340 sur sa feuille. Elle explique : «300 dans le 3...le 4, j'en ai 40...40 dizaines... pis j'en ai pas d'uni­ tés». Le réfléchissement semble s'appuyer sur la convention du tableau de numération qui lui permet une réflexion sur la valeur des chiffres du nombre. Le dialogue introduit une histoire qui revient, entre autre, sur l'idée que les chiffres d'un nombre remplacent les enveloppes et les jetons. Cl. est ensuite invitée

à illustrer le nombre 340 avec les enveloppes et les jetons et à expliquer le contenu des enveloppes. Elle prend 3 enveloppes de centaines puis compte les 4 enveloppes de dizaines qu'elle place sur la table. Elle explique sa confusion avec 40 dizaines en disant : «Tantôt là, je pensais plus à ça...(1'illustration) je regardais juste ce nombre-là (340)». Elle poursuit son expli­ cation en introduisant l'exemple d'une addition par la décom­ position. Cet exemple permet d'introduire l'illustration du nombre 29, un des termes de son addition.

Pour Cl., le 20 veut dire «les dizaines» et non les unités qu'elles contiennent. 29 est ensuite illustré par 20 enveloppes de dizaines et 9 jetons. 29 billes sont dessinées dans un ensem­ ble. Les 20 enveloppes de dizaines et les 9 jetons représentent la même quantité que les 29 billes dessinées dans un ensemble. Un questionnement favorise la reconnaissance des billes comme unités, puis du nombre 29 comme 29 unités. Cl. conclut que l'illustration du nombre 29 par 20 enveloppes et des 9 jetons ne correspond pas à 29.

Dans l'exemple des 29 billes, c'est le fait d'encercler les billes qui a permis de trouver le nombre. Elle appuie son réfléchissement sur le geste d'encercler et oublie le comptage qui a précédé ou justifié la construction d'un ensemble.

La construction d'un nouvel ensemble dont elle ne connaît pas la quantité, qu'elle compte pour en découvrir le nombre l'amène à redécouvrir que le comptage permet de retrouver le nombre. Elle généralise cette procédure aux 20 enveloppes et des 9 jetons pour retrouver le nombre 209. Ce comptage semble induire l'idée de l'addition puisqu'elle illustre ensuite 29 en utilisant les 9 jetons et 2 jetons qu'elle additionne pour découvrir le nombre 11. Constatant que cela ne correspond toujours pas au nombre 29, elle prend finalement 2 dizaines et 9 unités en expliquant «...quand tu dis 29, c'est mélangeant avec les dizaines parce que

tu sais pas si c'est les dizaines ou les unités. C'est ça que ça me mêle ».

Le rappel de l'activité où elle découvrait les 146 barres dessi­ nées sur la feuille (en montrant le matériel), les 29 billes dénombrées dans l'ensemble, lui permet de reconnaître que lorsque nous donnons un nom à un nombre, il s'agit du nombre d'unités et que ce nombre peut «en même temps» être composé de dizaines. Elle établit ensuite une relation d'équivalence entre que le 20 du nombre 29 et 20 unités.

Par la suite, un retour au nombre de départ (340) permet de retrouver le nombres d'unités qui le compose. Cl. hésite à attribuer 340 unités au nombre 340. Elle sait qu'il y en a : «300 pis 40», mais croit que ces deux quantités font 34. Le réflé­ chissement s'appuie sur la juxtaposition des chiffres créée par la décomposition. «Tu mets le 3 pis le 4 pis t'enlèves le 0». Le dialogue l'invite à vérifier, par le comptage des unités. Elle retrouve les 340 unités et explique : «Il faut que tu penses aux... dizaines, les centaines pis les unités». Elle ajoute qu'en comptant par 10 et par 100, elle trouve le nombre d'unités. Le dialogue a permis une coordination entre la valeur des chiffres et le comptage.

Cl. retrouve les 34 dizaines en regardant les enveloppes et en comptant par 10 les dizaines dans les enveloppes de centaines, puis suite à un questionnement à propos de ce qui est compté, par 1 les dizaines isolées. Le nombre de centaines ne pose pas de problème.

Cl. tente de réutiliser cette construction en identifiant le nombre d'unités dans le nombre 329. 3 centaines, 2 dizaines et 9 unités sont identifiées et 313 unités composent ce nombre. «J'ai compté 100, 200 pis 300 pis je comptais les dizaines». Le réflé­ chissement semble s'appuyer sur une coordination entre la valeur

attribuée aux chiffres et le comptage des dizaines par 1 ( 300, ...313). Cl. a oublié d'adapter le comptage et de compter les unités dans les dizaines. Le dialogue l'invite à illustrer le nombre 329, à distinguer 2 dizaines de 2 unités, à compter les unités dans les dizaines, ce qui lui permet de découvrir les 329 unités. L'illustration du nombre a permis de coordonner les relations d'inclusion et le comptage pour faciliter l'adaptation du comptage des unités incluses dans les dizaines et les centai­ nes .

Le dialogue tente à nouveau de lui faire observer que depuis le nombre 340, 20 et encore maintenant avec le nombre 329 le nom du nombre et la quantité d'unités sont identiques. Elle généralise cette observation en constatant qu'avec le nombre 928, il y aurait 928 unités.

Pour Cl. le nombre 329 contient aussi 329 dizaines. Le réfléchis­ sement s'appuie sur l'idée qu'un nombre peut à la fois contenir les dizaines et des unités. Une transformation de cette relation d'inclusion amène une relation d'équivalence où le nombre de dizaines et d'unités ont la même quantité. Le comptage des dizaines qu'elle se représente mentalement, le support des enveloppes pour compter, l'adaptation du comptage réalisée avec de l'aide (elle compte d'abord les centaines par cent et les dizaines par 10) ne permettent pas d'obtenir le nombre de dizaines dans le nombre 329.

3.1.6.4 Conclusion de l'expérimentation didactique

La recherche des unités contenues dans le nombre 340 s'appuie d'abord sur un découpage de ce dernier, selon la valeur relative des chiffres dans le nombre, une manifestation de la composante formelle. Elle obtient ainsi 300 centaines et 40 dizaines. La réflexion de Cl. juxtapose ces valeurs et le nom des positions.

Elle semble traiter des formalisations et des procédures du palier logico-mathématique dans un contexte du palier logico- physique. Un dialogue attire alors l'attention de Cl. sur une coordination entre le fait que les chiffres d'un nombre rempla­ cent les enveloppes ou les jetons et sur l'identification du contenu des enveloppes, ce qui permet de compter les unités pour reconnaître la quantité totale d'unités (340), une manifestation de la composante abstraite du palier logico-mathématique.

Un échange à propos de cette procédure d'addition nous apprend qu'une confusion persiste entre position des dizaines et valeur de la dizaine. Ainsi, illustrer le nombre 29 est difficile. Différentes coordinations apparaissent. Une coordination entre la reconnaissance des billes, comme étant des unités, et le nombre 29, comme étant composé de 29 unités, favorisent l'observation la comparaison entre 209 et 20. Toutefois, Cl. doit réintroduire le comptage pour retrouver le nombre qui correspond aux 20 envelop­ pes de dizaines et aux 9 jetons sur la table. Ce comptage, en induisant l'opération d'addition, favorise ensuite la correction de la nouvelle illustration du nombre 29 (9 jetons et 2 jetons), puisque l'addition l'infirme (9+2=11). Enfin, Cl. illustre le nombre 29 par 2 enveloppes de dizaines et 9 jetons. Une coordi­ nation entre l'illustration d'un nombre, une manifestation de la composante procédurale du palier logico-physique, et l'addition, une manifestation de la composante procédurale du palier logico- mathématique, favorise une correction de l'illustration.

Le rappel des activités de comptage permet à Cl. d'admettre que le nombre d'unités correspond au nom du nombre et que ce nombre peut aussi être composé de dizaines. Une relation d'équivalence entre 20 unités et 2 dizaines est ensuite reconnue. Une coordina­ tion entre l'illustration d'une quantité, une manifestation de la composante procédurale du palier logico-physique, et le comp­ tage, une habileté, laisse émerger la relation d'équivalence, une manifestation de la composante abstraite du palier logico-

physique.

Retrouver le nombre de dizaines dans 340 requiert la reconnais­ sance de la relation d'inclusion. Une coordination entre l'a­ daptation du comptage aux unités de mesure de quantité, une manifestation de la composante procédurale du palier logico- mathématique et la reconnaissance de la conservation de la dizaine dans les centaines, une manifestation de la composante abstraite du palier logico-mathématique, permet de retrouver les 34 dizaines.

Cette coordination est réutilisée pour retrouver les 329 unités du nombre 329 lorsqu'il est illustré par des enveloppes et des jetons. Le dialogue tente à nouveau de permettre à Cl. d'établir un lien entre le nom du nombre et la quantité d'unités.

La recherche du nombre de dizaines contenues dans le nombre 329 laisse apparaître une transformation de la relation d'équiva­ lence. 329 unités équivalent alors à 329 dizaines. La coordina­ tion entre les enveloppes et le comptage ne semble pas se généraliser pour retrouver le nombre de dizaines dans un nombre.

L'abstraction réfléchissante de Cl. semble évoluer de manifes­ tation de la composante procédurale du palier logico-physique vers des manifestations de la composante procédurale du palier logico-mathématique. Les relations d'équivalence de même que les relations d'inclusion sont souvent estompées au profit de valeurs juxtaposées. Le dialogue sur les représentations mentales qu'elle se fait des unités de mesure de quantité, la manipulation des enveloppes et des jetons et le comptage des différentes unités de mesure ont permis l'exploration de nouvelles coordinations. Toutefois, ces coordinations ne sont pas réutilisées.