2 − ν 1 − ν (2.13) où ν désigne le coefficient de Poisson. Lorsque ν varie de 0.5 à 0, le rapport Vs/Vp croit de 0 jusqu’à sa valeur maximale égale à 1/√
2. Ceci veut dire que la vitesse des ondes S varie de 0 (cas des fluides) jusqu’à 70% de celle des ondes P.
1.3 Les ondes de surface
1.3.1 Propagation des ondes de surface
Ces ondes prennent naissance lorsqu’une interface sépare deux milieux de pro-priétés élastiques différentes (Sheriff & Geldart, 1995). Elles se propagent moins ra-pidement que les ondes de volume mais avec une amplitude généralement beaucoup plus importante. Lorsque cette discontinuité est une surface libre, par exemple à la surface de la terre (considérée comme une surface libre en raison des forts contrastes de densité et de paramètres élastiques entre l’air et le sol), on peut distinguer :
– Les ondes de Rayleigh qui sont polarisées dans un plan perpendiculaire à la surface libre et qui induisent un déplacement du sol à la fois horizontal et vertical, elliptique (figure 2.3) ;
– Les ondes de Love qui induisent un déplacement en cisaillement horizontal, perpendiculaire à la direction de propagation et parallèle à la surface libre (figure 2.4).
Figure 2.3 – Schéma de propagation des ondes de Rayleigh. La flèche bleue dénote la direction de propagation de l’onde.
Figure 2.4 – Schéma de propagation des ondes de Love. La flèche bleue dénote la direction de propagation de l’onde
D’autres types d’ondes, faisant parti des ondes "guidées", peuvent exister en présence de géométries particulières. Parmi ces ondes figurent celles de Stoneley, qui se propagent le long d’une interface séparant deux milieux semi-infinis. L’onde de Scholte se propage dans le cas d’une interface séparant un milieu liquide et un milieux solide et peut être utilisée en prospection sous-marine (Mouton, 2000). Les ondes de Lamb, guidées par une plaque dans l’air, sont également étudiées dans le cadre de la reconnaissance des matériaux du génie civil (Rydèn et al., 2004).
Ces ondes de surface sont très énergétiques. En effet, elles constituent environ 2/3 de l’énergie émise par une source sismique en milieu homogène (Miller & Pursey, 1955). Leur énergie, qui obéit à une loi d’atténuation en 1/r alors qu’elle est en 1/r2
pour les ondes de volume, fait en sorte qu’elles s’atténuent moins rapidement. Elles sont aussi à l’origine des forts mouvements en surface induits par un tremblement de terre et par conséquent responsables des dégâts les plus importants. Les propriétés du milieu (lithologiques, topographiques) dans lequel elles se propagent peuvent être à l’origine de fortes amplifications des mouvements du sol qui doivent être prises en compte dans le cadre des études de quantification du risque sismique.
Dans la section qui suit, nous nous intéressons au cas particulier des ondes de Rayleigh, susceptibles de se propager dans un milieu à deux dimensions situé dans un plan vertical, et limité en surface par une topographie.
1.3.2 Cas particulier des ondes de Rayleigh
1.3.2.1 Cas d’un milieu homogène Considérons un demi espace infini défini par un plan (Oxz) où la surface libre est localisée à z = 0 et l’axe z est orienté positivement vers le bas. L’expression des potentials Φ et Ψ d’une onde de Rayleigh se propageant selon l’axe des x vérifie les relations :
Φ = Ae−mkzeik(x−Vrt)
Ψ = Be−nkzeik(x−Vrt) (2.14) où m et n désignent deux constantes réelles positives assurant la décroissance de l’amplitude de l’onde en s’éloignant de la surface. Vrdésigne la vitesse de propagation de l’onde de Rayleigh et k le nombre d’onde. Le remplacement de ces potentiels dans 12 1. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES
les équations d’onde conduit aux relations (Sheriff et Geldart, 1995) : m2 = (1 −V 2 r V2 p ) n2 = (1 − V 2 r V2 s ) (2.15) Nous avons donc Vr< Vs < Vp. L’application de la condition de surface libre (σzz = σxz = 0 pour z = 0) nous permet d’aboutir à un système de deux équations à deux inconnues A et B qui s’écrit :
(2Vs2− V2
r)A + 2inVs2B = 0
− 2imA + (n2 + 1)B = 0 (2.16) Ce qui permet d’aboutir, en remplaçant les valeurs de m et n par leurs expressions respectives à l’équation : Vr6− 8V2 sVr4+ (24 − 16V 2 s V2 p )Vs4Vr2+ 16(V 2 s V2 p − 1)V6 s = 0 (2.17) La détermination d’une racine qui permet de trouver la vitesse des ondes de Rayleigh nécessite de connaître le rapport Vs/Vp (à partir par exemple du coefficient de Poisson donné par la relation (2.13). De plus, et en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, on peut démontrer que l’équation (2.16) admet alors une racine réelle donnant la vitesse des ondes de Rayleigh. A titre d’exemple, en considérant une valeur du coefficient de Poisson ν = 0.25, la solution de l’équation (2.16) vérifiant Vr < Vs est donnée par Vr= 2(1 − √1
3)V2
s ' 0.919Vs.
Nous notons que dans ce contexte, Viktorov (1965) propose une approximation de la solution de l’équation (2.16) à partir de la vitesse Vs par la relation :
Vr = 1.12ν + 0.87
1 + ν Vs (2.18) La figure 2.5 montre un exemple des composantes verticales et horizontales des déplaçements induits par une onde de Rayleigh dans un demi espace homogène. En fonction de la profondeur, le mouvement elliptique des particules peut être rétrograde ou prograde.
1.3.2.2 Cas d’un milieu tabulaire semi infini Aki & Richards (2002) montrent que pour ce cas particulier, la détermination des contraintes et des déplacements re-vient à résoudre le problème à valeurs propres linéaires défini par :
δf(z)
δz = A(z).f(z) (2.19) où f est un vecteur formé par deux fonctions propres des déplacements et deux fonctions propres des contraintes, et A est une matrice 4x4 qui dépend de λ(z), ν(z), k(w) et de la fréquence d’excitation w. En appliquant les conditions aux limites adaptées (annulation des contraintes à la surface libre et annulation des contraintes
Figure 2.5 – Composantes horizontales et verticales des déplacements pour une onde de Rayleigh dans un demi espace homogène. La composante horizontale s’an-nule à z = h. Le mouvement des particules est elliptique rétrograde pour z < h et elliptique prograde pour z > h. Déplaçements calculés avec le code de Lai (1998) et des déplacements à l’infini), une solution non triviale de l’équation (2.19) existe uniquement pour des valeurs particulières du nombre d’onde ki = ki(w), (i = 1, N ) où N correspond au nombre de modes de propagation pour une fréquence donnée (Lai, 1998). Cette relation entre nombre d’onde et fréquence est à la base de ce qu’on appelle "l’équation séculaire de Rayleigh" qui peut s’écrire sous une forme implicite selon :
FR[λ(z), ν(z), ρ(z), ki, w] = 0 (2.20) où FR est une fonction complexe. Cette équation, appelée aussi équation de dis-persion, dépend des paramètres de Lamé, de la densité, du nombre d’onde et de la fréquence d’excitation. D’un point de vue physique, l’existence de ces différents modes de propagation pour une fréquence donnée peut être attribuée aux interfé-rences constructives qui peuvent exister entre les différentes composantes de l’onde. Il existe différentes méthodes pour résoudre cette équation pour un milieu tabu-laire. D’une manière générale, il est possible de distinguer deux classes ; la première se base sur la méthode des matrices de propagation (Kennett, 1983 ; Thomson, 1950 ; Haskell, 1953) tandis que la deuxième méthode utilise les coefficients de réflexion et de transmission (Kennett, 1974 ; Hisada, 1994a, 1994b). Le point commun entre ces deux méthodes est leur validité pour des modèles stratifiés (variations disconti-nues des propriétés du milieu). Une alternative à ces deux classes consiste à utiliser les méthodes numériques (différences finies, éléments spectraux, la méthode BEM, intégration numérique), qui peuvent elles être appliquées à des milieux dont les pro-priétés varient d’une manière continue en fonction de la profondeur.
La figure (2.6) est un exemple montrant les courbes de dispersion des ondes de Rayleigh pour le cas d’un milieu tabulaire à trois couches en utilisant la méthode 14 1. MODÉLISATION DE LA PROPAGATION DES ONDES SISMIQUES
des coefficients de réflexion et de transmission de Hisada (1994b). Le mode 1 cor-respond à ce qu’on appelle le mode fondamental et les autres modes sont les modes supérieurs. Cet exemple montre bien que pour une fréquence donnée, il est pos-sible d’avoir différents modes de propagation des ondes de Rayleigh qui sont en fait des solutions vérifiant l’équation (2.20). Cette propriété est à la base des méthodes d’analyse spectrale des ondes de surface (SASW). Nous détaillerons cette méthode dans le chapitre 3. D’une manière générale, les modes supérieurs se propagent à des vitesses supérieures à celles du mode fondamental. Rappelons dans ce cadre que pour le cas d’un milieu homogène, seul le mode fondamental se propage. Lorsque le milieu devient plus complexe, ces modes supérieurs peuvent exister en étant même plus énergétiques que le mode fondamental. Ils peuvent même se superposer au mode fondamental rendant l’interprétation directe des diagrammes de dispersion extrême-ment difficile (Socco & Strobbia, 2004).
La figure (2.7) est un exemple des déplacements (horizontaux et verticaux) induits
Figure 2.6 – Exemples de courbes de dispersion des ondes de Rayleigh pour un milieu tabulaire
Figure 2.7 – Exemple des déplacements en fonction de la profondeur pour les trois premiers modes de propagation des ondes de Rayleigh et pour une fréquence de 60 Hz. Les déplacements horizontaux sont représentés par des lignes noires et les verticaux par des pointillés rouges. Les courbes sont calculées avec le code de Lai (1998)
par des ondes de Rayleigh en fonction de la profondeur pour les trois premiers modes
de la figure (2.6). Elle montre bien qu’à chaque mode correspond une propagation ainsi qu’une profondeur de pénétration particulière des ondes de Rayleigh. De plus, cette profondeur de pénétration dépend de la longueur d’onde ; les hautes fréquences (i.e., les petites longueurs d’ondes) se propagent dans les premières couches. Leurs vitesses de propagation dépend ainsi des propriétés des formations superficielles. Les basses fréquences (i.e., les grandes longueurs d’ondes) se propagent jusqu’à des pro-fondeurs plus importantes et sont par conséquent influencées par les propriétés des milieux qu’elles traversent. Cette dépendance fréquence-vitesse de phase est appelée dispersion géométrique, une des caractéristiques principales des ondes de Rayleigh.