Ondes de compression

Plusieurs expériences mettent en avant une vitesse des ondes de compression dans les mousses de l’ordre de 50 m.s−1 [54–56]. Ces expériences sont réalisées à l’échelle de la mousse avec des bulles de taille Rb allant de 0.07mm à 0.1mm et une fraction liquide φl variant de 0.05

à 0.1 selon les expériences. Un grand nombre de ces expériences sont réalisées avec de la mousse à raser Gillette qui est reproductible et stable sur des temps longs. Des mesures de temps de vol et de l’atténuation de l’onde sont réalisées à des fréquences de sollicitation allant de 1kHz à 85kHz. Les vitesses mesurées s’étalent sur une gamme de 40m.s−1 à 100m.s−1.

Il est intéressant de remarquer que la vitesse du son est de l’ordre de 300m.s−1 dans l’air et de l’ordre de 1000m.s−1 dans l’eau. La vitesse du son dans les mousses liquides est donc inférieure à toute moyenne pondérée de la vitesse du son dans ces constituants.

Les vitesses les plus faibles mesurées sont compatibles avec le modèle de Wood caractérisant la propagation d’ondes dans un milieu diphasique [57]. Il consiste à définir le matériau comme un milieu effectif. La masse volumique et la compressibilité du milieu s’écrivent : ρef f = φlρl+

(1 − φl)ρg ' φlρl et χef f = φlχl + (1 − φl)χg ' (1 − φl)χg. On note ici ρg ∼ 1kg.m−3 et

ρl ∼ 1000kg.m−3 la masse volumique du gaz et du liquide, χg ∼ 10−5P a−1 et χl ∼ 10−10 Pa−1

la compressibilité dans le gaz et dans le liquide. Pour une mousse de fraction liquide standard, la modélisation se simplifie en considérant que la mousse est un milieu effectif. Dans ce cas, la vitesse de propagation d’une onde de compression s’écrit comme

c2_{ef f} = 1

ρef fχef f

= 1

ρlχg(1 − φl)φl

. (1.13)

Dans cette approche, la compressibilité du gaz et l’inertie du liquide sont les paramètres perti- nents. On en déduit une vitesse de l’ordre de 40m.s−1cohérente avec les résultats expérimentaux. Néanmoins des valeurs bien plus importantes de la vitesse (de l’ordre de 200m.s−1) ont aussi été mesurées [58]. Ces résultats sont issus de mesures de temps de vol d’un pulse sinusoïdal à une fréquence de 5kHz dans une mousse dont les bulles sont millimétriques et la fraction liquide

φl ∼ 0.06. En contradiction avec le modèle précédent, un modèle dédié a été proposé par Kann

et al. [59]. Dans ce modèle l’onde se propage dans le gaz mis en vibration par les films. La contribution des bords de Plateau est négligée, seule l’inertie des films est prise en compte :

c ' cg

1+ρl/ρgRb avec cg la vitesse du son dans l’air et une correction liée à la présence des films

d’épaisseur .

Une expérience et un modèle unificateur sont proposés par Pierre et al. [55]. Dans l’expé- rience, les mesures de temps de vol et d’atténuation sont réalisées de 60kHz à 600kHz sur des

1.2. Mécanique des mousses : drainage et acoustique

(e)

(f)

Figure 1.11 – Figures issues de Pierre et al. [55]. Une mousse de fraction liquide contrôlée est soumise à des ondes acoustiques sur une plage de 60kHz à 600kHz. Le rayon des bulles évolue lentement dans le temps. On note R0

b=40µm le rayon initial moyen. a) Partie réelle du nombre d’onde en fonction de la fréquence, mesurée

à trois temps différents (2min, 39min et 90min) sur une mousse de fraction liquide φl = 11%. Les lignes

représentent des vitesses de l’onde constante de 32m.s−1 (en pointillés) et 220m.s−1 (continue). La vitesse de l’onde mesurée transite de 30m.s−1 vers 220m.s−1 lorsque la fréquence augmente et/ou lorsque la taille des bulles augmente. b) Partie imaginaire du nombre d’onde en fonction de la fréquence. Des pics de résonance apparaissent à différentes fréquences en fonction du temps. c) Courbe de variation de la taille moyenne des bulles Rb en fonction du temps (symboles ouverts) ainsi que la polydispersité en fonction du temps (symboles

fermés). d) Fréquences de résonance en fonction de la taille moyenne des bulles. Ligne continue : modèle de résonance d’une bulle isolée dans un bain de liquide (fréquence de Minnaert (∝ 1/Rb) [60]), ligne en pointillée

1.6 fois la fréquence de Minnaert. e) Renormalisation de la relation de dispersion avec le facteur Rb

R0

b 1.5

. Les lignes représentent des vitesses constantes de 32m.s−1 (en pointillés) et 220m.s−1 (continue).

fréquence

taille

de bulle

Figure 1.12 – Schémas résumant le modèle de Pierre et al. [55]. Le temps est représenté sur l’axe horizontal, la fréquence et la taille des bulles sur l’axe vertical. Les points représentent le bord de Plateau qui entoure le film symbolisé par une ligne. La position initiale du film et du BP est représentée en gris. (1) Basses fréquences et/ou petites bulles : le bord de Plateau et le film oscillent en phase à la même amplitude. (2) Fréquences et/ou taille de bulles intermédiaires : le bord de Plateau et le film oscillent avec un déphasage. (3) Hautes fréquences et/ou grandes bulles : le bord de Plateau est fixe et seul le film oscille.

mousses de bulles de 15µm à 50µm et de fractions liquide comprises entre 3% et 22%. Ces me- sures donnent des vitesses allant de 30m.s−1à 220m.s−1. Les deux cas précédents sont retrouvés

au sein du même dispositif (figure 1.11a).

La mousse est modélisée comme une série de films en parallèles. Chaque film est léger et circulaire de rayon a et est raccordé à un bord de Plateau annulaire, massique et rigide, de plus petit rayon b−a₂ . L’ensemble des films et des bords de Plateau forme un réseau de résonateurs couplés. On pose δ = a2/b2 la fraction de surface couverte par le film dans cette vision locale (figure 1.12).

Chaque film est mis en vibration par un gradient de pression dans le gaz. Du fait de la tension de surface, le film se comporte comme une membrane élastique oscillante. Le bord de Plateau est mis en mouvement par le gradient de pression dans le gaz mais aussi par le film qui le tracte. Réciproquement, le bord de Plateau exerce une traction sur le film. Cette traction réciproque est limitée par des forces de friction visqueuse qui retardent le couplage et qui sont prises en compte par un temps d’amortissement τ . En se déplaçant, le film et le bord de Plateau entrainent l’air avoisinant sur une épaisseur de l’ordre de la longueur d’onde et dont le mouvement est approximé par le déplacement moyen du film et du bord de Plateau. La mousse est alors considérée comme un milieu où le comportement local reflète le comportement de la mousse entière. Ainsi, pour une mousse composée de films souples soutenus par des bords de Plateau rigides et excitée à une pulsation ω, le nombre d’onde complexe s’exprime, d’après le modèle de Wood, comme k∗2 = (k + ik00)2 = ω2ρef fχef f avec une compressibilité effective

χef f = φlχl + (1 − φl)χg inchangée par rapport au modèle de Wood et une densité effective

qui vaut : ρef f = (1 − φl)ρair + φ0lρl. Il apparait dans cette expression une fraction liquide

effective complexe φ0_l qui prend en compte le fait que les films et les bords de Plateau ne se réorganisent pas de la même façon lorsqu’ils sont soumis à un gradient de pression. Celle-ci s’exprime comme : φ0_l = φBP + φf(1 − iωτ )H(kfa) 1 +δ2 φBP+φf φf − 2δ  [1 − H(kfa)] − iωτ δH(kfa) (1.14)

avec kf le nombre d’onde caractérisant les ondes dans les films d’épaisseur , kf = ω q_ρ

2γ (détails

dans la section 1.2.2.3), la fonction H(kfa) = 2J

1(kfa)

qaJ0(kfa) qui fait intervenir les fonctions de Bessel J₀ et J₁ à l’ordre 0 et à l’ordre 1 ainsi que les fractions liquides des bords de Plateau et des films, φBP et φf, telle que φBP + φf = φl.

La valeur de la fraction liquide effective possède deux cas limites en fonction de la fréquence : • A basses fréquences (H(kfa) ' 1), la fraction liquide effective vaut : Re(φ0l) = φl. La

densité effective du modèle de Wood est retrouvée [57]. Lorsque l’onde se propage à basses fréquences et/ou dans des mousses de petites bulles en moyenne, les films et les bords de Plateau vibrent en phase et avec la même amplitude. Toutes les bulles vibrent ensemble justifiant l’approche de champ moyen dans un milieu effectif proposée par le modèle de Wood (figure 1.12(1)).

• A hautes fréquences (H(kfa) ' 0), Re(1/φ0l) = (1−δ)

2

φBP +

δ2

φf. Comme la majorité du li-

quide se trouve dans les bords de Plateau, la fraction liquide effective est dominée par :

Re(1/φ0_l) ' _φδ2

f. Une densité effective gouvernée par les films comme décrite dans le modèle

de Kann est retrouvée [59]. Lorsque l’onde se propage à hautes fréquences et/ou dans une mousse possédant de grandes bulles en moyenne, l’inertie des films devient plus impor- tante que celle des bords de Plateau, seuls les films vibrent (figure1.11a, figure 1.12(3)). • Aux fréquences intermédiaires et dans l’approximation que la majorité du liquide est

contenu dans les bords de Plateau, φBP  φf | 1 − 2δ |, l’équation (1.14) devient :

φ0_l = φBP 1 − (_ωω

0)

1.2. Mécanique des mousses : drainage et acoustique

Cette équation fait intervenir la fréquence de résonance ω₀ et un terme d’amortissement

δωτ . En considérant N films par bulle, la fréquence de résonance s’exprime comme : ω₀2 = 12N γ(1 − φl)

x2ρlφlR3b

. (1.16)

La fréquence de résonance du système (équation (1.16))prend en compte l’inertie du liquide et varie en R−_b3/2. Cette prédiction permet de replacer toutes les mesures sur une tendance unique (figure 1.11e).

Aux fréquences et tailles de bulles intermédiaires, les films, les bords de Plateau et le gaz vibrent avec un déphasage induisant une forte atténuation de l’onde (figure 1.12(2)). Des me- sures d’atténuation de l’onde sont aussi réalisées et des pics d’amortissement sont observés sous l’effet de la fréquence (figure 1.11b et d). La fréquence correspondant à un maximum d’atténua- tion est comparée à la fréquence de Minnaert [60]. Cette dernière correspond à la fréquence de résonance d’une bulle isolée dans un volume infiniment grand de liquide. Elle prend en compte l’inertie du liquide et la pression dans le gaz lors d’une transformation adiabatique dans la bulle. Cette fréquence varie comme 1/Rb. La fréquence d’atténuation mesurée en fonction du

rayon de la bulle suit bien la même tendance que celle prédite par Minnaert moyennant un facteur 1.6. La différence est raisonnable ; elle peut être due au fait que dans les mousses les bulles sont en contact les unes avec les autres, elles partagent des films et sont entourées de beaucoup moins de liquide que dans le cas d’une bulle isolée.

D’autres modèles tentent d’expliquer le fort caractère d’atténuation des mousses lors de sollicitations acoustiques. Ils prennent en compte la dissipation thermique [61,62], la dissipation visqueuse [58,59] ou encore la dispersion de l’onde par les orientations multiples des films [54]. Le phénomène d’atténuation ne semble donc pas encore complètement compris dans son ensemble. Du fait de leur fort pouvoir absorbant, les mousses liquides sont utilisées comme absor- bant d’ondes de choc lors de perturbations violentes : explosions d’engins explosifs. Des études expérimentales, numériques et théoriques ont été réalisées sur l’atténuation de ces chocs par les mousses [63–69]. Des sources de dissipation supplémentaires par rapport à l’acoustique li- néaire sont alors évoquées : les mousses sont des matériaux composés de beaucoup d’air, dont la conductivité thermique est faible. Les fortes températures dans le liquide entraînent son éva- poration ce qui dissipe l’énergie. De plus lors du choc les films et les bords de Plateau se cassent et une partie de l’énergie injectée est donc dissipée en énergie de rupture.

En résumé, la réponse d’une mousse lors de la propagation d’ondes de compression dépend de la taille des bulles et de la fréquence d’excitation. A basses fréquences et pour les petites bulles, la mousse se comporte comme un milieu effectif, les films, les bords de Plateau et le gaz vibrent ensemble. A hautes fréquences et pour des grosses bulles, seuls les films font vibrer le gaz des bulles. Dans les cas intermédiaires, les films, les bords de Plateau et le gaz vibrent avec des déphasages induisant une forte atténuation de l’onde. Les mécanismes qui rentrent en jeux se produisent à l’échelle des films et des bords de Plateau. Cette étude nécessite donc une compréhension de la propagation des ondes acoustiques à l’échelle de la bulle.