1 – ONDE A UNE DIMENSION

1.1 – Equation d’onde en une dimension On considère un gaz dans un tube de section S

L’indice T signifie que la quantité totale est prise en considération.

1.1.1 – Equations de la mécanique des fluides Conservation de la masse

Le principe de conservation de la masse se traduit par l’égalité suivante si on considère les fluctuations de masse volumique du volume élémentaire S∆x pendant le temps ∆t

( ) ( )

Conservation de la quantité de mouvement

Elle s’établie à partir de l’expression en mécanique des fluides de la loi fondamentale de la dynamique mγ =F . Pour le volume élémentaire S∆x,

1.1.1 – Equations de l’acoustique linéaire

On considère que les grandeurs totales de la masse volumique et de la pression peuvent s’exprimer comme la somme d’un premier terme constant (indice 0) et d’un second terme fluctuant (indice 1)

1

ρT masse volumique PT pression

uT vitesse

Le symbole ε est utilisé pour montrer explicitement que l’on s’intéresse aux petits mouvements et que le second terme est beaucoup plus faible que le premier (ε<<1). Pour un fluide au repos (vitesse d’entraînement u₀ =0), on écrira

u1

u_T =ε

Note : Pour un niveau sonore très important de 134 dB, à la limite de l’acoustique linéaire, la pression fluctuante εP₁ correspond à 100 Pa soit environ 11000 de la pression atmosphérique P₀.

Linéarisation des équations de conservation

On obtient maintenant l’expression suivante pour la conservation de la masse

La linéarisation consiste à négliger les termes de second ordre en ε². En introduisant la notation ρ=ερ₁ et u=εu₁ pour la perturbation par l’onde acoustique de la masse volumique et de la vitesse, l’équation de conservation de la masse de l’acoustique linéaire s’écrit

Un traitement similaire appliqué à l’équation de conservation de la quantité de mouvement de la mécanique des fluides

conduit à l’équation de conservation de la quantité de mouvement de l’acoustique linéaire ou équation d’Euler

où p=εP₁ représente la pression acoustique (valeur fluctuante autour de la pression atmosphèrique P₀).

Ces deux équations comportent 3 inconnus. Une équation supplémentaire est donc nécessaire. Elle est fournie par l’équation d’état du gaz.

Equation d’état du gaz

La pression totale d’un fluide compressible peut être représentée par une fonction de la

visqueux est négligé), la différentielle de l’entropie est ds=C_V

(

dP_T P_T −γ dρ_T ρ_T

)

, avec γ le rapport des chaleurs spécifiques. Les échanges de chaleur dans le gaz conduisent à des phénomènes de dissipation du même ordre de grandeur que la dissipation due à la viscosité et sont aussi négligés (transformation adiabatique : ds=0). Donc

T

Pour un fluide homogène de caractéristiques constantes dans le temps, dont dP_T =P_T −P₀ et dρT =ρT −ρ₀, l'intégration de l'état (P₀,ρ₀) à l'état (P_T,ρ_T) conduit à l'expression

P . La relation cherchée pour la pression est donc

( ) ( )

Elle correspond aux approximations habituelles de l’acoustique linéaire. Dans le cas où elles ne peuvent être vérifiées, les effets viscothermiques devront être pris en compte ¹ . La pression acoustique a été définie comme la différence de pression totale entre l’état actuel du gaz PT = f

( )

ρT et l’état au repos P₀ = f

( )

ρ₀ , qui développée en série de Taylor donne relation de l’acoustique linéaire

Cette relation permet de supprimer ρ dans l’équation de conservation de la masse linéarisée pour obtenir finalement le système



1 M. Bruneau, Manuel d’acoustique fondamentale, Hermès, 1998.

2 ρ c p=

Equation d’onde

Remarque : L’équation d’Euler

x

ρ , permet de définir un potentiel de vitesse φ tel que

Ce potentiel de vitesse peut remplacer p dans l’équation d’onde. On peut vérifier qu’elle peut se généraliser en utilisant la variable Ψ qui peut être remplacée par n’importe quelle variable acoustique

1 0

1.2 – Solution générale pour une onde plane

La solution générale de l’équation d’onde (équation différentielle aux dérivées partielles) est pour vérifier l’équation d’onde :

2 son s’exprime par

1 0

M caractéristique du milieu (ou intrinsèque)

Air à 0°C et P₀ =1013 hPa,

1.3 – Solution harmonique : l’équation de Helmholtz

En supposant des perturbations harmoniques et en utilisant la notation complexe

( )

^{x t p}

( )

^{x ej t} forme de l’équation de Helmholtz

avec le nombre d’onde

La solution de cette équation est une pression généralement complexe

( )

x Ae ^jkx Be^jkx

p = ⁻ + , AetB∈C

La solution générale de l’équation aux dérivées partielles peut se retrouver

( )

^{x t p}

( )

^{x ej t Aej( t kx) Bej(t kx) Aej (t xc) Bej (t xc)}

p , = ^ω = ^ω− + ⁺ = ^{ω −} + ^{ω +}

La longueur d’onde se définit par (avec la fréquence f =ω 2π)

1.4 – Onde progressive et onde stationnaire

La solution générale comporte deux termes dont l’un correspond à une propagation de l’onde vers les x croissants et l’autre vers les x décroissants.

Souvent, le second terme est produit par la réflexion de la première onde à l’extrémité d’un tube constituant un guide d’onde et son amplitude est exprimée en proportion de l’onde incidente sous la forme d’un coefficient de réflexion R (en omettant e^jωt)

( )

La vitesse particulaire est employée conjointement avec la pression acoustique pour décrire le champ sonore, bien que l’expression de la pression contient toute l’information puisque pression et vitesse sont liées par l’équation d’Euler

{ 0

Par ailleurs, pression et vitesse sont souvent exprimées par leur moyenne quadratique qui équivaut au carré de leur valeur efficace. Par exemple pour la pression

( )

⁼

∫

t^t+T p

( )

x t dt⁼ peff

( )

x

T est la durée d’intégration. Pour une pression harmonique (donc périodique) T =2π ω k

où ^p

( )

^x est l’amplitude de l’onde (ou module en notation complexe : voir l'Annexe).

Remarque : dans la littérature anglo-saxonne la notation p_RMS est utilisée pour noter la pression efficace (Root Mean Square)

1.4.1 – Onde progressive ou propagative R=0

Une seule onde se propage (ici celle qui se dirige vers les x croissants)

( )

^jkx

( )

e ^jkx

d’où les valeurs quadratiques moyennes

( ) ( )

Remarque : on voit l’intérêt d’utiliser l’impédance caractéristique de l’onde Z₀ =ρ₀c pour avoir la même dimension dans les deux cas. Pour l’onde progressive

( )

= 1.4.2 – Onde stationnaire R=1

Les ondes se propageant dans les deux directions opposées ont même amplitude : l’onde incidente est totalement réfléchie : R=1

( ) ( ) ( ) ( )

^kx

En x=0, les vitesses s’annulent sur la paroi réfléchissante u

( )

0 =0et l’amplitude de la pression est maximale ^p

( )

⁰ =^2A (le double de celle de l’onde incidente). Les grandeurs quadratiques sont :

( ) ( )

nulle). La distance entre deux ventres ou deux nœuds est d’une demi longueur d’onde.

1.4.3 – Onde quasi-stationnaire 0<R<1

C’est le cas général où le coefficient de réflexion est compris entre 0 et 1.

( ) (

^{jkx jkx}

) ( ) (

^{e jkx Rejkx}

)

La pression quadratique moyenne est

( ) ( )

( ) ( )

Pour la vitesse quadratique moyenne

L'inde quasi-stationnaire peut être vue comme la superposition d'une onde progressive d'amplitude A(1−R) et d'une onde stationnaire d'amplitude AR

(

^{e Re}

)

^A

[

^{R e R kx}

]

A x

p( )= ^−kkx + ^jkx = (1− ) ^−jkx +2 cos .

Le taux d'onde stationnaire se définit quand à lui comme le rapport des pressions efficaces maximale et minimale

)

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