L'observation déterministe

Le principe de l'observation déterministe se base sur la représentation d'état du système (équations 3.9 et 3.10) que l'on désire observer.

dX

dt = AX + BU (3.9)

Observateur

Estimateur

Modèle d'état de la machine asynchrone

B B R C A U R _C A L ^Y ^ X d ^X dt Y X dX dt

Fig. 3.2  Schéma de principe d'un observateur déterministe

avec X le vecteur d'état, U le vecteur de commande, Y le vecteur de sortie. A correspond à la matrice dynamique du système, B à la matrice de commande et C à la matrice de sortie.

L'observation déterministe du vecteur d'état X consiste en la reproduction du comportement dynamique réel du système en appliquant au modèle les mêmes entrées que celles imposées au système physique, sans tenir compte des bruits. L'estimation en boucle ouverte n'est acceptable que si on suppose une parfaite identité entre le modèle et le processus et également du vecteur initial X(0). Pour eectuer un contrôle performant et able, il faut avoir une structure d'estimation en boucle fermée. La structure de la gure 3.2 est alors dénie.

On retrouve :

- un estimateur fonctionnant en boucle ouverte et qui est caractérisé par la même dynamique que celle du système à observer,

- une boucle de retour qui permet à l'estimateur de fonctionner en boucle fer- mée. L'erreur d'observation "y = Y ^Y, multipliée par une matrice de gain L est envoyée à l'entrée de l'estimateur pour inuencer sur les états estimés et les corri- ger. Un choix judicieux de la matrice de gain L permet de modier la dynamique de l'observateur et de faire évoluer la vitesse de convergence de l'erreur vers zéro. L'observateur est alors régi par le système d'équations diérentielles suivant :

d ^X

dt = (A LC) ^X + BU + LY (3.11)

^Y = C ^X (3.12)

Utiliser l'observation déterministe pour la reconstruction du ux rotorique de la machine asynchrone suppose que les modes électriques et mécaniques de la machine

soient séparés, c'est à dire que les modes mécaniques soient beaucoup plus lent que les modes électriques (au moins dans un rapport de dix). Cela suppose ainsi que la vitesse est une variable lente et est considérée comme un paramètre. En eet, la modélisation classique de la machine asynchrone ne tient compte que des modes électriques et conduit à un système d'ordre 4. Dans le repère tournant dq, la matrice dynamique A dépend de la vitesse du référentiel dans lequel la modélisation a été eectuée et de la vitesse électrique du rotor par rapport au stator [dWA00b]. Si cette dernière n'est pas considérée comme une variable lente, la matrice n'est pas quasi-stationnaire et l'hypothèse de linéarité n'est plus valable. Il faut alors tenir compte des modes mécaniques dans la modélisation de la machine ce qui conduit à un système d'ordre 6 non linéaire. Par conséquent, il est indispensable d'utiliser un observateur non linéaire pour reconstruire le ux.

En supposant la séparation des modes électriques et mécaniques, il existe plu- sieurs représentations d'état de la machine et donc plusieurs observateurs. Elles se diérencient entre elles par le mode d'alimentation de la machine, par le choix du référentiel dans lequel la modélisation a été faite et par le choix de la dimension du vecteur d'état. D'ailleurs, en fonction de cette dimension, les observateurs de ux sont classés en deux familles : les observateurs d'ordre complet et les observateurs d'ordre réduit. Dans ce qui suit, une présentation de ces deux familles est eectuée. Indépendamment du choix du vecteur d'état, du vecteur de commande et du vecteur d'observation, l'observation déterministe ne peut être mise en place que si une mesure d'au moins 2 des 3 courants de phase, d'au moins 2 des 3 tensions de phases et de la vitesse de la machine est eectuée.

 Les observateurs déterministes d'ordre complet

Les observateurs déterministes d'ordre complet donnent des informations sur les quatre variables d'état de la machine. Ces variables sont dénies dans le repère tournant dq quelconque, soit comme quatre composantes du ux statorique et rotorique (X = [sd sq rd rq]T), soit comme deux composantes du courant statorique et deux composantes du ux rotorique (X = [isd isq rd rq]T). Dans le premier cas, la matrice de sortie C n'est pas aux gains constants, ce qui pose des problèmes en cas de variations des paramètres inductifs. L'équivalence obtenue en sortie ne signie donc pas l'équivalence de états.

Dans les deux cas, les variables de commande sont les tensions statoriques (U = [vsd vsq]T) et les variables de sorties sont les courants statoriques (Y = [isd isq]T). La matrice A est fonction des diérentes vitesses mises en jeu par la modélisation. Ces vitesses sont fonction du référentiel choisi, c'est à dire du choix de lier le repère d'axe dq soit au stator de la machine, soit au rotor ou bien à un champ tournant de la machine [dWA00b].

Les équations de l'observateur sont celles données dans la description du prin- cipe d'un observateur déterministe (équations 3.11 et 3.12). Le principal incon- vénient des ces structures concerne la dépendance de la matrice A vis à vis des vitesses mises en jeu dans la modélisation. Une réactualisation de cette matrice est nécessaire. Étant de dimension 4, cette réactualisation ainsi que le calcul de son exponentielle (discrétisation) conduit à un temps de calcul élevé.

An de réduire ces temps de calcul, [Bou95] propose une variante. Le modèle d'état utilisé ici est obtenu en liant le repère tournant dq au stator de la machine (comme pour l'estimateur de ux statorique, les indices d et q sont remplacés res- pectivement par  et  dans les équations). Les variables d'état retenues sont les quatres ux (X = [s r s r]T), les variables de sorties sont les cou- rants statoriques (Y = [is is]T) et les variables de commande sont les tensions statoriques (U = [vs vs]T).

A partir de ce modèle, deux sous-systèmes d'état sont dénis selon les axes  et , couplés par une matrice contenant la vitesse de rotation électrique ! :

- sous-système d'état déni suivant l'axe , dX

dt = AX+ Bvs+ [K] X (3.13)

is = CX (3.14)

- sous-système d'état déni suivant l'axe , dX

dt = AX+ Bvs+ [K] X (3.15)

is = CX (3.16)

Le système d'ordre 4, non stationnaire, est ainsi réduit à un double système d'ordre 2 linéaire, mais à couplage non stationnaire [Bou95].

L'observateur est alors déni selon les équations suivantes : - observateur suivant l'axe ,

d ^X dt = AX^+ Bvs+ [K] ^X+ L  is ^is  (3.17) ^is = CX^ (3.18)

- observateur suivant l'axe , d ^X dt = AX^+ Bv+ [K] ^X+ L  is ^is  (3.19) ^is = CX (3.20)

L'observateur ainsi dénit est appelé observateur déterministe cartésien [Bou95]. Les matrices dynamiques sont indépendantes de la vitesse ce qui implique qu'elles n'ont pas besoin d'être réactualisées comme pour les observateurs d'ordre complet "classiques". De plus, cet observateur est insensible vis à vis des variations du couple de charge et insensible aux variations de la résistance rotorique. Par contre, la résistance statorique inuence fortement le comportement de l'observa- teur surtout aux basses vitesses et il présente une certaine erreur d'observation en régime permanent (en particulier aux basses vitesses) pour une variation de la mutuelle inductance Msr.

Ce type d'observateur est obtenu en séparant les modes électriques en deux sous-systèmes de constantes de temps diérentes en utilisant la méthode dite des "perturbations singulières". Cette méthode consiste à considérer les courants comme inniment rapides par rapport au ux, pour étudier les composantes lentes de ces derniers. Mais les conditions requises pour l'application de cette méthode ne sont pas toujours remplies sur toute la gamme de vitesse et cela amène quelques erreurs sur les grandeurs observées, principalement dans le domaine des hautes vi- tesses. Tout en gardant le système d'ordre complet, on peut aussi se ramener à un observateur d'ordre réduit en ne considérant que les relations relatives aux modes non mesurables (composantes de ux uniquement). Le fait de réduire l'ordre du vecteur d'état entraîne une réduction de dimension de la matrice A et par consé- quent une réduction du calcul en temps réel de son exponentielle. Cependant, le vecteur de sortie ^Y est beaucoup plus dépendant des paramètres de la machine et donc la robustesse de l'observateur est beaucoup moins bonne.

Plusieurs observateurs d'état d'ordre réduit existent [RHdFA92], [Our93]. An d'appuyer leur présentation, un bref exposé de celui développé par [RHdFA92] est eectué. Dans cette étude, le cas d'un variateur alimenté par un onduleur de tension régulé en courant est considéré. Le système d'axe tournant dq est lié au courant statorique (isq = 0). Tenant compte de ces conditions, il est alors possible d'écrire les équations suivantes :

drd dt = Rr Lrrd+ !rrq+ Msr Lr Rrisd (3.21) drq dt = !rrd Rr Lrrq (3.22) vsd Lsdi_dtsd Rsrisd = M_Lsr r  Rr Lrrd !rq  (3.23) vsq Ls!sisd = M_Lsr r  Rr Lrrq+ !rd  (3.24) avec : Rsr = Rs+  Msr Lr 2 Rr (3.25)

Le fait de négliger la dérivée du courant dans l'équation 3.23 (elle n'a d'inuence que lors de la mise sous tension du variateur) permet de poser :

zd = vsd Rsrisd (3.26)

zq = vsq Ls!sisd (3.27)

Les équations 3.21, 3.22, 3.23 et 3.24 peuvent alors se mettre sous la forme standard d'un modèle d'état :

dX

dt = AX + BU (3.28)

avec X = [rd rq]T, U = [isd 0]T et Z = [zd zq]T et : A =  _Rr Lr !r !r R_Lrr  (3.30) C = Msr Lr  _Rr Lr ! ! Rr Lr  (3.31) B =  _MsrRr Lr 0  (3.32)

L'observateur est déni de la manière suivante : d ^X

dt = (A LC) ^X + BU + LZ (3.33)

^

Z = C ^X (3.34)