1.4 Propriétés du film de lubrification d’une goutte non mouillante en géométrie
1.4.3 Objectifs de la thèse
La dynamique de goutte et de bulle en environnement confiné est un sujet étudié depuis les années 1950 [4]. Pourtant, la compréhension de cette dynamique est restée jusqu’à ce jour limitée puisque, même dans le cas simple d’une bulle en géométrie de Hele-Shaw, le modèle de référence de Taylor & Saffman ne permet pas de reproduire la vitesse expérimentale de cette
dernière [9][24]. Il est probable que cet écart entre théorie et expériences soit dû à l’omission par Taylor & Saffman de la friction visqueuse, apparaissant dans les ménisques et le film de lubrification [2], lorsqu’une bulle/goutte non mouillante et confinée se déplace dans un canal. Pour modéliser la dynamique d’une bulle/goutte, il est donc nécessaire au préalable de comprendre la nature et la topographie de l’interface dans le film de lubrification.
Le regain d’intérêt pour cette question s’explique par le développement récent de la micro- fluidique digitale. Par rapport aux études passées, on dispose à présent de l’outil microfluidique qui permet de générer des trains de gouttes identiques et de taille contrôlée à des nombres capillaires très faibles (10−6 ≤ Ca ≤ 10−3). D’autre part, l’usage de la microscopie interfé-
rentielle permet aujourd’hui de sonder en détail le film de lubrification et de reconstruire le profile 3D de l’interface d’une goutte se déplaçant dans un canal [23] (voir Fig. 1.14.c). A partir de la double mesure de la mobilité Ud/Uf et de la topographie en fonction du nombre
capillaire, on dispose alors de plus d’informations pour comprendre les mécanismes régissant la dynamique de tels objets.
Le but de ce travail de thèse est de prédire la vitesse d’une goutte poussée par un fluide externe en géométrie de Hele-Shaw, en se basant sur une description expérimentale de la topographie du film de lubrification, en lien avec des développements théoriques. On pourra alors connaître la vitesse d’une goutte en fonction de son rayon, du rapport de viscosité, de la tension de surface et de la vitesse de la phase externe. Par souci de simplicité, nous avons mené cette étude dans deux cas limites en terme de rapport de viscosité λ < 1 et λ' 1000. Comme on le verra au chapitre2, consacré à la modélisation du film se développant sous une goutte, ceci permet en particulier de simplifier la détermination théorique du profil 3D de l’interface. Au chapitre 3, le dispositif expérimental permettant de sonder le film par microscopie interférentielle est présenté. Celui-ci est similaire au dispositif utilisé par Huerre et al. [23] pour obtenir la topographie expérimentale pour des gouttes visqueuses de rapport de viscosité λ=25. Dans la présente étude cependant, nous nous intéressons aussi à des gouttes très peu visqueuses adoptant des vitesses plus importantes (le cm/s plutôt que le mm/s) que pour λ = 25. Dans ce cas, il sera montré au chapitre 3, qu’il est nécessaire d’apporter des modifications au dispositif expérimental décrit en [23], si l’on veut obtenir des images nettes avec suffisamment de signal. Au chapitre 4, les topographies de films de lubrification de goutte pancake très peu visqueuses λ < 1 et très visqeuses λ ' 1000 sont mesurées puis analysées dans leur ensemble en les comparant aux modèles développés au chapitre 2. La compréhension de la topographie du film dans ces deux cas extrêmes en terme de rapport de viscosité, sera mise à profit dans l’élaboration d’un modèle visant à prévoir la mobilité d’une goutte au chapitre 5. Dans ce chapitre, nous commencerons par décrire expérimentalement la mobilité d’une goutte en fonction du rapport de viscosité, de son rayon, et du nombre capillaire. Puis, dans un second temps, le modèle établi pour la mobilité sera confronté aux données expérimentales.
Synthèse - Chapitre 1
• Etude de la dynamique de goutte/bulle en environnement confiné
1. Intérêt fondamental car ce système mélange hydrodynamique et physico- chimie des interfaces.
2. Intérêt pratique en microfluidique digitale et dans l’industrie (i.e. extraction d’hydrocarbure).
• La dynamique de goutte en géométrie de Hele-Shaw reste incomprise
1. Le modèle de référence de Taylor & Saffman surestime la vitesse de goutte et de bulle.
2. La friction supplémentaire provient des ménisques (cf. Bretherton [2]). 3. La friction est liée à la topographie de l’interface. Pour évaluer la dynamique
de la goutte il faut dans un premier lieu connaître la topographie du film de lubrification.
• Topographie du film de lubrification d’une bulle/goutte confinée
1. Modèle de la forme de l’interface d’une bulle en géométrie axisymétrique dû à Bretherton [2]
2. Effet de la viscosité interne d’une goutte sur la forme de l’interface en géo- métrie axisymétrique dû à Hodges [1]
3. Modèle de la forme de l’interface d’une bulle en géométrie de Hele-Shaw dû à Burgess & Foster [3]
4. Nécéssité d’établir un modèle de la topographie du film pour des gouttes visqueuses en géométrie de Hele-Shaw
5. Peu de données expérimentales sur la topographie : Denkov et al. [19] en géométrie axisymétrique et Huerre et al. [23] en géométrie de Hele-Shaw 6. Nécessité de caractériser expérimentalement la topographie du film de lubri-
fication pour différents rapports de viscosités et de la comparer quantitati- vement aux modèles
C
h
a
p
it
r
e
2
Topographie de l'interface d'une goutte
visqueuse en géométrie de Hele-Shaw -
aspects théoriques
Ce chapitre a pour but d’établir un modèle théorique de la topographie du film de lubri- fication se développant sous une goutte pancake non mouillante lorsqu’elle se déplace dans une cellule de Hele-Shaw.
Dans une première section, l’analyse de Hodges et al. dans le cas axisymétrique est dé- taillée. Dans cette approche, l’équation de l’interface est écrite de façon générale en faisant intervenir la vitesse interfaciale comme un paramètre. Cette vitesse interfaciale inconnue peut être déterminée par des arguments en loi d’échelle dans certain cas extrêmes en fonction du rapport de viscosité λ (λ Ca−1/3 et λ Ca−1/3) ou par une méthode numérique dans le
cas intermédiaire λ ∼ Ca−1/3. Une fois la vitesse interfaciale connue, elle est remplacée par
son expression dans l’équation du film qui peut alors être résolue numériquement. Dans la présente étude, l’équation du film sera résolue dans deux cas limites sur λ : λ Ca−1/3 et
λ Ca−1/3. Pour fixer les idées sur ce que représentent ces deux cas limites, on peut estimer la valeur typique de Ca−1/3 en microfluidique ; pour Ca=10−4, Ca−1/3 =21.
Dans une seconde section, les approches de Burgess & Foster et Hodges et al. seront couplées pour établir l’équation générale du film de lubrification pour une goutte en géométrie de Hele-Shaw. Comme dans le cas axisymétrique, la vitesse interfaciale intervient comme un paramètre dans cette équation. Par une approche en lois d’échelle, similaire à celle du cas axisymétrique, l’expression de la vitesse interfaciale sera déterminée dans deux cas limites sur le rapport de viscosité. L’équation du film sera alors résolue dans ces deux cas en remplaçant la vitesse interfaciale par les deux expressions trouvées.
2.1
Goutte dans un capillaire-développement de l’approche
de Hodges et al. [1]
2.1.1 Équation générale de l’interface
Pour déterminer l’équation générale du film on se place dans le référentiel de la goutte. La paroi a alors une vitesse −Ud(Fig.2.1). Le problème est décrit dans le plan(xz). L’expression
du champ des vitesses u = ux(x, z)ex dans les régions I0 et III0 est obtenue en écrivant
l’équation de Stokes dans l’approximation de lubrification avec les conditions aux limites : u(z = 0) = −Udex, u(z = h) = UIII = UIIIex dans la région III et u(z = h∞) =
UI = UIex dans la région I. UI et UIII sont les vitesses interfaciales respectivement dans
les régions I et III. UIII tend vers UI dans le film plat. En notant A = ηo1 ∂po∂x où ηo et po
sont respectivement la viscosité et la pression dans la phase externe, il vient :
ux(x, z) =
A(x)
2 z(z− h(x)) + z
h(x)[UIII+Ud]− Ud (2.1) Le flux de la vitesse à travers l’épaisseur du film Q=R0hu dz s’écrit alors :
Q= −12Ah3+ [UIII− Ud] h 2 ex
En considérant ensuite la conservation du flux div(Q) = ∂Q
∂x = 0, on obtient l’équation
générale du film d’une goutte visqueuse en géométrie axisymétrique :
−16∂(Ah 3) ∂x + ∂h ∂x[UIII− Ud] +h ∂UIII ∂x =0 (2.2)
On peut exprimer A en fonction du gradient de courbure de l’interface dans le plan(xz),
A =−ηoγ ∂3h
∂x3. L’intégration de l’éq. (2.2) entre un point du ménisque dynamique et un point
du film plat permet de retrouver l’éq. (3.7) de l’article de Hodges et al. [1] : γ
6ηo
h3∂
3h
∂x3 + (Ud− UI)(h∞− h) +h(UIII− UI) =0 (2.3) On voit que les vitesses interfaciales UI et UIII interviennent comme paramètres dans
l’éq. (2.3). Nous allons voir dans la sous-section suivante, qu’en utilisant des raisonnements en lois d’échelle pour décrire les écoulements dans les différentes zones de la goutte I, II et III, il est possible de déterminer analytiquement les expressions de ces vitesses dans deux cas limites (λ Ca−1/3 et λ Ca−1/3) et de résoudre alors l’équation du film.