3.4 Dispositif optique
4.1.4 Ménisque latéral
4.1.4.1 Résultats expérimentaux
Afin de décrire le film dans la région latérale, plusieurs profils radiaux h(ρ, θ)sont repré- sentés en Fig.4.10pour différents angles polaires. Le profil h(ρ, π/2)est tracé en Fig.4.5pour différents nombres capillaires. A l’avant, pour |θ| < θmax= 6π/16 (voir Fig.4.2), l’épaisseur
du film h(ρ, θ)est décrite par une équation de type Bretherton (cf. (1.22)), comme cela a été discuté à la sous-section 4.1.2. Le domaine avant s’achève en θmax, sans transition nette. A
proximité des côtés de la goutte, pour |θ| > θmaxl’épaisseur décroît plus abruptement près du
ménisque : un pincement se développe (voir Fig. 4.10). On définit l’épaisseur au pincement hp(θ) comme la valeur minimale de h(ρ, θ) pour un θ donné dans la région latérale. Cette
fonction, tracée en Fig.4.11pour |θ| ∈[θmax; π − θmax], commence par décroître avec |θ|, at- teint une valeur minimale hmin pour un angle θmlégèrement plus grand que π/2 et puis croît
sous l’influence du ménisque arrière. Pour |θ| supérieur à un angle critique θb∈[θm; π − θmax],
une bosse précède le pincement (voir Fig.4.10.e et4.10.f) : θb et π − θmaxsont du même ordre
et le petit intervalle [θb; π − θmax]représente la transition entre la région latérale et la région
arrière.
Si l’on souhaite décrire formellement le ménisque latéral, il est clair qu’un modèle de Bretherton basé sur la vitesse de la paroi normale au contour de la goutte (cf. éq. (1.23)) n’est pas physique, puisqu’il conduirait à un film d’épaisseur nulle en θ = π/2. Comme discuté dans la sous-section1.4.2du chapitre1, le terme d’entraînement visqueux orthoradial, proportionnel à Udsin(θ), doit être considéré dans cette région.
4.1.4.2 Comparaison entre expérience et modèle
Afin de comparer l’approche théorique de Burgess & Foster avec nos résultats expérimen- taux dans la région latérale, l’équation de l’interface dans cette région (éq. (2.24)) est résolue numériquement pour −θ0 max ≤ θ 0 ≤ θ0max où θ 0 max =7.5 et −18 ≤ r 0 ≤ 26. En unités phy- siques, ceci correspond à la gamme de paramètre [θmax = 6π16, π − θmax = 10π16 ] et [ρmin =79
µm ; ρmax =90 µm]. Un profil h0(r0, −θmax0 )est choisi comme condition initiale et les profils
h0(r0, θ0) pour les angles plus grands sont obtenus par une méthode numérique de Crank- Nicolson. Les conditions aux limites consistent en un raccordement à un profil de courbure constante dans le ménisque statique, d2h/dr2(ρmax) = 1/H
o et un raccord à un film plat
d’épaisseur constante, h(ρmin, θ) =h(ρmin, θmax). Des simulations ont été effectuées en utili- sant soit (i) le profil numérique donné par l’équation (2.21) en θ0
= −θ0max comme condition
initiale, nommé hnum(ρ, θmax); (ii) le profil expérimental, nommé hexp(ρ, θmax). Les deux ré-
Radial coordinate (µm) 50 60 70 80 90 Film thickness (nm) 20 40 60 80 100 -6: /16 data2 data3 Radial coordinate(µm) 50 60 70 80 90 Film thickness(nm) 20 40 60 80 100 -7/16 Radial coordinate(µm) 50 60 70 80 90 Film thickness(nm) 20 40 60 80 100 -8/16 Radial coordinate(µm) 50 60 70 80 90 Film thickness(nm) 20 40 60 80 100 -9/16 Radial coordinate(µm) 50 60 70 80 90 Film thickness(nm) 20 40 60 80 100 -10/16 Radial coordinate(µm) 50 60 70 80 90 Film thickness(nm) 20 40 60 80 100 -11/16 Radial coordinate (µm) 50 60 70 80 90 Film thickness (nm) 20 40 60 80 100 -6/16 Radial coordinate(µm) 50 60 70 80 90 Film thickness(nm) 40 60 80 100 -7/16 -8/16 -9/16 -10/16 -11/16 a) b) c) d) e) f)
Figure 4.10: Profils radiaux pour (a) θ = −6π16, (b) θ = −7π16, (c) θ = −8π16 (d) θ = −9π16, (e) θ= −10π16 and (f) θ =−11π16 pour Ca= 7.2 × 10−4 . Ligne continue : solution de (2.24) en utilisant la solution de (1.22) en θ= θmax = π
2 − δ
0
θθ
0
max, hnum(ρ, θmax), comme condition
initiale pour le calcul numérique. Ligne en tirets : solution de (2.24) en utilisant le profil expérimental en θ=θmax, hexp(ρ, θmax), comme condition initiale
respectivement les solutions de l’équation (2.24) en prenant hnum(ρ, θmax) et hexp(ρ, θmax)
comme conditions initiales pour l’intégration numérique. Plusieurs caractéristiques sont qua- litativement reproduites par le modèle. Un pincement se développe à partir de la condition initiale, son épaisseur décroît lentement et croît soudainement à l’approche du ménisque ar- rière (voir Fig. 4.11). Sa largeur caractéristique dans la direction eρ est en bon accord avec
l’observation expérimentale (voir Fig. 4.10). L’angle θm, correspondant à l’épaisseur minimale
du pincement (Fig.4.10.d), ainsi que l’angle θbpour lequel la bosse apparaît (Fig.4.10.e), sont
prédits quantitativement. En revanche, on constate que quelle que soit la condition initiale hnum(ρ, θmax)ou hexp(ρ, θmax)retenue pour l’intégration de (2.24), l’épaisseur du pincement est sous-estimée par le modèle.
Contrairement au cas |θ| < θmax, où l’équation exacte de l’interface (éq. (2.20)) est ap-
prochée par l’éq. (2.21) en négligeant le terme d’entraînement visqueux orthoradial, dans le cas |θ| > θmax, on considère tous les termes de l’éq. (2.20) et cette dernière est alors bien
approchée par l’éq. (2.24) à proximité de θ =π/2. Si dans le cas |θ| < θmax (i.e. |y| < ymax),
la sous-estimation du profil expérimental par le profil théorique hBF ,c(cf. éq (1.23)) (voir Fig.
4.5) sur les cotés de la goutte pouvait être attribuée à l’approximation opérée sur l’éq. (2.20), dans le cas |θ| > θmax, le fait d’avoir un tel écart entre le pofil expérimental et la solution
de l’éq. (2.24) avec hexp(ρ, θ
|3|(rad) 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Film thickness (nm) 0 20 40 60 80
Figure 4.11: Epaisseur minimale au pincement hp(θ)en fonction de θ pour |θ| ∈ [θmax; π −
θmax](i.e région latérale). Le point d’inflexion se trouve en θi =1.47 rad et l’épaisseur mini-
male, hmin, est atteinte en θm =1.72 rad. Ligne continue : solution de (2.24) en utilisant la
solution de (1.22) en θ = θmax = π2 − δθ0θ
0
max, hnum(ρ, θmax), comme condition initiale pour
le calcul numérique. Ligne en tirets : solution de (2.24) en utilisant le profil expérimental en θ=θmax, hexp(ρ, θmax), comme condition initiale
manque dans le modèle purement hydrodynamique de Burgess & Foster. Qualitativement, le pincement du film par succion capillaire, induite par le ménisque latéral, est susceptible d’être limité par une rigidification de l’interface semblable à ce qu’on observe à l’arrière de la goutte. Ainsi, les effets Marangoni sont probablement à l’origine de l’épaisseur expérimentale importante du film au niveau du pincement.
Pour finir, l’extension angulaire du ménisque dynamique latéral a été quantifiée au sein de la courbe hp(θ)en Fig.4.11, par ∆θ=θm− θi, où θiest l’angle pour lequel a lieu l’inversion de
courbure de l’interface (voir Fig.4.11et4.12.a). Les valeurs expérimentales et numériques de ∆θ sont tracées en Fig.4.12.b en fonction du nombre capillaire. Le même ordre de grandeur est retrouvé, mais aucune conclusion ne peut être apportée quant à l’évolution avec Ca. L’épaisseur minimale du film dans la région latérale, hmin, ne semble pas varier selon la loi en
Ca4/5 du modèle (voir Fig. 4.12.c) et le modèle sous-estime les données expérimentales sur toute la gamme de nombres capillaires soulignant probablement la présence d’un mécanisme physique additionnel non pris en compte dans le modèle.
En résumé, le modèle purement hydrodynamique de Burgess & Foster parvient à re- produire qualitativement les principales caractéristiques de la topographie expérimentale : épaississement du film de lubrification et développement de creux sur les côtés de la goutte,
Ca 10-3 0 0.5 1 1.5 2 2.5 (°) 0 5 10 15 20 num exp Ca 10-4 10-3 h min (nm) 101 102 exp num a) b) c)
Figure 4.12: (a) Topographie expérimentale pour Ca=7.2 × 10−4; (b) Extension angulaire du ménisque latéral en fonction de Ca. La ligne en tirets est ∆θ donné par le calcul numérique ; (c) Epaisseur minimale du film dans la région latérale hmin en fonction de Ca. La ligne en
pointillés est hmin donné par le calcul numérique
à mesure que la vitesse augmente, et la présence de l’oscillation de l’interface à l’arrière de la goutte. Le modèle 2D de Bretherton reproduit le profil expérimental de l’interface le long de l’axe central de déplacement (axe x) de la goutte dans le ménisque avant et la ré- gion centrale. Ceci est cohérent avec une condition aux limites de type stress-free dans ces régions. En revanche, cette condition aux limites ne permet pas de retrouver l’importante bosse expérimentale à l’arrière de la goutte. En introduisant une vitesse interfaciale en tant que paramètre dans l’équation de l’interface, on peut déterminer sa variation dans la zone d’épaississement à l’aide du profil expérimental de l’interface. Cet accroissement de la vitesse interfaciale à mesure que l’on se dirige vers l’arrière de la goutte est en lien avec l’accumulation des tensioactifs qui diminue le tension de surface dans cette zone. L’utilisation de la valeur expérimentale de la vitesse interfaciale maximale au sommet de la bosse nous permet ensuite de reproduire l’oscillation arrière à l’aide d’un modèle d’interface incompressible. Concernant la région latérale de la goutte, la résolution de l’équation de l’interface dans l’approximation
de lubrification (éq. (2.20)), montre que le profil théorique sous-estime le profil expérimental dans cette région. Ceci montre qu’un ingrédient physique manque dans la modélisation pu- rement hydrodynamique du film de lubrification de Burgess & Foster. De façon similaire au comportement observé à l’arrière de la goutte, l’épaississement latéral est susceptible d’être dû à une rigidification de l’interface par effet Marangoni.