Tous les travaux pr´ec´edemment cit´es utilisent directement la fonction f – le nombre de conflits, voir ´Equation (1.1), p. 17 – comme fonction d’´evaluation. Comme f compte seule- ment le nombre de conflits, elle a un inconv´enient inh´erent : elle ne fait aucune distinction entre toutes les configurations avec le mˆeme nombre de conflits. En effet, ces configurations sont ´equivalentes pour f mˆeme si elles peuvent avoir un potentiel diff´erent pour conduire le processus de recherche vers une am´elioration. En termes de paysage de recherche, f peut produire de grands plateaux de colorations compl`etement ´equivalentes [Hertz et al., 1994].
Pour surmonter cette difficult´e, nous proposons d’enrichir f avec plus d’informations qui peuvent distinguer des configurations ´equivalentes en termes de nombre de conflits. Nous introduisons une fonction heuristique h : Ω → [0, 1), qui est combin´ee avec f dans la forme lin´eaire suivante, menant `a une nouvelle fonction d’´evaluation ef :
e
f (C) = f (C) − h (C) (2.1)
Consid´erons deux configurations C1 et C2 telles que f (C1) = f (C2) 6= 0. Id´ealement, nous devrions avoir ef (C1) < ef (C2) si la probabilit´e d’atteindre une solution est plus grande quand la recherche part de C1 que lorsqu’elle part de C2. Malheureusement, en raison de la complexit´e du paysage de recherche, cette probabilit´e est inconnue, et le calcul d’une estimation robuste est tr`es difficile. Pour cette raison, il faut se limiter `a des informations locales, faciles `a calculer et interpr´eter. Nous proposons deux heuristiques diff´erentes.
La premi`ere d´epend seulement des informations structurelles du graphe : la distribution des degr´es de conflit des sommets en conflit (voir ci-dessous). La seconde s’appuie sur un m´ecanisme d’apprentissage simple utilisant une m´emoire `a long terme : elle d´epend des fr´equences de changement de couleur sur l’ensemble des sommets pendant une premi`ere phase de la recherche.
2.3.1 Fonction d’´evaluation bas´ee sur le degr´e
En compl´ement des d´efinitions de la Section 1.2.2, nous pr´esentons de nouvelles d´efi- nitions utilis´ees uniquement dans cette section.
Definition 2.1. (Degr´e de conflit des sommets) Soit i un sommet, δi son degr´e, et C une coloration. Nous d´efinissons CVi = {j ∈ V |{i, j} ∈ CE(C)} et nous appelons
|CVi| δi le degr´e de conflit du sommet i pour la configuration C.
Il est facile de voir que 0 ≤ |CVi| ≤ δi∀i ∈ V ; la valeur minimum |CVi| = 0 est atteinte pour des sommets sans conflit, et la valeur maximum |CVi| = δi indique que le sommet i est en conflit avec tous ses voisins. D’ailleurs, la relation suivante est valide pour toute coloration : 2|CE| =P
i∈V |CVi| (voir aussi D´efinition 1.4, Section 1.2.2).
Pour motiver l’introduction de cette fonction, nous consid´erons l’exemple de la Figure 2.1 qui montre deux 3-colorations C1 et C2 pour un graphe tr`es simple. Les arˆetes en
2.3 Nouvelles fonctions d’´evaluation “bien inform´ees”
Figure 2.1 – Deux 3-colorations C1 et C2 avec un conflit. Le conflit est indiqu´e avec une ligne plus ´epaisse dans les deux cas ; il est plus facile de r´esoudre le conflit gris (C1, `a gauche) que de r´esoudre le noir (C2, `a droite) alors que f (C1) = f (C2) = 1.
conflit sont {a, b} pour C1 et, respectivement, {a, c} pour C2. Par cons´equent, |CE (C1) | = |CE (C2) | = 1 et les deux configurations sont ainsi ´equivalentes pour f . Cependant, C1 est pr´ef´erable `a C2.
En effet, comme le degr´e de b est petit, on peut assigner `a b une couleur non utilis´ee par ses voisins (i.e. noir ou blanc) pour r´esoudre le conflit {a, b} sur C1. Cela peut ˆetre accompli dans une seule ´etape sans g´en´erer d’autres conflits. Mais il est plus difficile de r´esoudre le conflit {a, c} de C2 car n’importe quel changement de couleur sur le sommet a ou c peut perturber ses nombreux voisins. Intuitivement, plus un sommet a des voisins, plus il est difficile de changer sa couleur sans perturber le reste de la configuration.
Plus g´en´eralement, pour chaque sommet en conflit, nous pouvons utiliser son degr´e pour d´efinir un terme de p´enalit´e : les arˆetes en conflits doivent peser plus lourdement dans la fonction d’´evaluation si les deux sommets de l’arˆete ont un degr´e plus ´elev´e. Afin de prendre en consid´eration tous les sommets en conflit, nous d´efinissons l’heuristique suivante h1 pour associer une p´enalit´e `a chaque k-coloration C :
h1(C) = 1 2|E| X i∈CV |CVi| δi (2.2)
Dans ce contexte, nous voyons que h1(C) indique la somme des degr´es de conflits de tous les sommets de C. Notre premi`ere fonction d’´evaluation bas´ee sur les degr´es peut maintenant ˆetre d´efinie comme suit :
e
f1(C) = f (C) − h1(C) (2.3)
Le seul rˆole du coefficient 2|E|1 dans l’´equation (2.2) ci-dessus est de maintenir la valeur de h1dans l’intervalle [0, 1). Grˆace `a cette normalisation, ef1conserve l’ordre impos´e par f , i.e. si f (C) < f (C0), alors ef1(C) < ef1(C0). L’objectif de la nouvelle fonction d’´evaluation est d’aider le processus de recherche `a choisir parmi les voisins avec le mˆeme nombre de conflits, et non pas d’introduire des p´enalit´es/poids plus importants que le nombre de conflits.
Certains d´etails d’impl´ementation pourraient ˆetre utiles ici. `A chaque it´eration, la re- cherche Tabou de base doit choisir al´eatoirement un voisin qui minimise le nombre de conflits. L’impl´ementation de ce choix al´eatoire n’est pas trivial, parce qu’il est assez inefficace de simplement collectionner et enregistrer tous les voisins pour en choisir un finalement. Nous proposons de tirer une valeur al´eatoire rC0 dans l’intervalle [0, 1] et de l’affecter au voisin C0 d`es que C0 est d´ecouvert ; `a la fin, le C0 avec la plus grande valeur rC0 est s´electionn´e. Cette proc´edure n’enregistre pas tous les voisins et le choix al´eatoire r´esultant n’est pas biais´e. Vers la fin de la th`ese, nous avons r´ealis´e que de meilleurs r´esul- tats exp´erimentaux peuvent ˆetre obtenus en couplant les nouvelles fonctions d’´evaluation dans ce proc´ed´e. Soit hmin et hmax la valeur minimum et maximum atteinte par la fonc- tion h. De meilleurs r´esultats peuvent ˆetre r´ealis´es si on tire la valeur rC0 dans l’intervalle h
0,h(Chmax0)−hmin−h min i
.
2.3.2 Des informations dynamiques pour d´efinir d’autres fonctions d’´evaluation
Dans cette section, nous proposons une deuxi`eme heuristique h2qui prend en consid´era- tion des informations acquises au cours du processus de recherche. L’information consid´er´ee est le nombre de changements de couleur par sommet. En principe, si un sommet particu- lier change sa couleur tr`es fr´equemment, le processus de recherche doit se concentrer sur lui en priorit´e pour lui fixer une couleur appropri´ee. Plus pr´ecis´ement, nous consid´erons une premi`ere phase de la recherche avec la fonction d’´evaluation de base f . Pour chaque sommet i, nous calculons un coefficient de fr´equence f req(i) : le nombre de changements de couleur appliqu´es sur i pendant cette premi`ere phase est uniform´ement normalis´e dans un intervalle fixe (“uniform scaling”). L’heuristique h2 et la deuxi`eme nouvelle fonction d’´evaluation sont d´efinies comme suit :
e f2(C) = f (C) − h2(C) = f (C) − X i∈CV |CVi| · 1 f req(i) (2.4)
En principe, le degr´e δi (de ef1) est remplac´e par un coefficient de fr´equence dans cette fonction. En cons´equent, ´etant donn´ees deux colorations avec le mˆeme nombre de conflits,
e
f2 pr´ef`ere celle o`u les sommets en conflit ont de plus petites fr´equences de changement de couleur – cela implique qu’elle pr´ef´ere r´esoudre en priorit´e les sommets de plus haute fr´equence de changement. La nouvelle fonction encourage le processus de recherche `a r´e- soudre prioritairement les conflits de ces sommets, avant ceux avec de petites fr´equences de changement de couleur. En pratique, on peut dire que les sommets avec des hautes fr´equences de changement de couleur sont consid´er´es plus critiques. Nous avons observ´e que ef2 conduit `a des changements des couleurs plus fr´equents sur les sommets qui ´etaient “moins modifi´es” pendant la premi`ere ´etape ; elle a un effet implicite de diversification.
2.3.3 Id´ees similaires dans la litt´erature et remarques sur la complexit´e
Dans la litt´erature sur la coloration, il y a quelques ´etudes utilisant des id´ees simi- laires. Par exemple, [Glover et al., 1996] propose de retarder la coloration des “sommets