Une nouvelle loi de comportement est introduite dans le but d’avoir un modèle beaucoup plus réaliste sur le plan physiologique. Le caractère spécifique de la piézoélectricité au niveau macroscopique de l’os cortical pourrait se résumer comme suit :
- dans un os sain, il n’y a pas d’effet piézoélectrique
- dans un cas pathologique (comme celui du début d’un allongement osseux) les aspects piézoélectriques sont localement présents au niveau macroscopique puisqu’il n’y a que du collagène
Quelle est l’origine du problème?
Dans le développement de l’actuelle modélisation, les coefficients piézoélectriques a- pparaissent comme une moyenne où interviennent 3 parties :
- la valeur initiale
- la valeur initiale perturbée par le gradient de la fonction d’influence R
- un terme de couplage où apparaissent les constantes élastiques Cijmn et le gradient de la fonction d’influence Φ
7.2 NOUVELLE LOI DE COMPORTEMENT 149 Cette décomposition est résumée dans l’expression
gh
kij = < gkij(y) + gmij(y)
∂Rk(y) ∂ym + Cijmn(y) ∂Φk m(y) ∂yn >
et la fonction d’influence Φ apparait dans l’expression du terme correcteur de premier ordre du champ de déplacements.
u1k(x, y) = χmn
k (y)emnx(u) + Φmk(y) ∂ ϕ ∂xm
Analysons la composition des coefficients piézoélectriques homogénéisés. Ils sont le résultat de deux termes d’origine différente
- 1) le terme gkij(y) + gmij(y)
∂Rk(y) ∂ym
Il correspond à la partie purement piézoélectrique et il intervient dans le calcul de la moyenne, lors de la première homogénéisation, pour 40 % puisque le collagène occupe 40 % du volume osseux. Dans les autres homogénéisations, un terme équivalent apparaîtra systématiquement sur la période entière puisque les composants de base auront des propriétés homogénéisées piézoélectriques ! Il s’ensuit que ce terme piézoélectrique ne peut jamais disparaître.
- 2) le terme Cijmn(y) ∂Φk
m(y)
∂yn
Il correspond au couplage avec les phénomènes élastiques. Il peut même, si la fonction Φ n’est pas constante dans la partie de la période occupée par l’Hap ou le fluide, apporter une perturbation non négligeable.
En conséquence, il est vain, avec une telle modélisation de vouloir simuler à la fois les cas sains et les cas pathologiques. Il nous faut donc concevoir une nouvelle loi de comportement qui prenne mieux en compte le processus de minéralisation.
Pour une meilleure investigation de cet aspect, considérons maintenant le processus d’homogénéisation au niveau fibrilaire. Il y a trois phases dans la cellule de base: le collagène qui est un milieu piézoélectrique, les EVMC qui ont seulement des propriétés élastiques et diélectriques et le fluide entourant les deux composants précédents. Dans ce cadre ci, ce fluide est supposé être caractérisé par une pression constante et des propriétés diélectriques constantes dans la cellule de base. Les deux lois constitutives modelisant le phénomène piézoélectrique, à l’échelle des composants, sont les suivants:
σij = Cijkhcol · ecolkh + gcolkij· ∂ϕ ∂xk ! · χcol+CEV MC ijkh · eEV M Ckh · χEV M C+ p · Id · χf luid
Di = gikhcol · ecolkh − εcolik · ∂ϕ ∂xk ! · χcol− εEV M C ik · ∂ϕ ∂xk · χ EV M C− εf luid ik · ∂ϕ ∂xk · χ f luid (7.1)
où χ est la fonction caractéristique
χEV M C(M) =
1, si M appartient au domaine occupé par les EVMC 0, sinon
La technique d’homogénéisation donne des coefficients d’une loi de comportement homogénéisés piézoélectrique:
σij = Cijkhhom lam· ehom lamkh + gkijhom lam·
∂ϕ
∂xk
!
Di = ghom lamikh · ehom lamkh − εhom lamik ·
∂ϕ
∂xk
!
(7.2) ce qui signifie que cette loi piézoélectrique caractérise entièrement le comportement de la lamelle à l’échelle lamellaire. Regardons de plus proche les deux cas contraires suivants:
• le secteur lamellaire considéré n’est pas minéralisé: dans ce cas, χEV M C(M) = 0 et les lois constitutives deviennent:
σij = Cijkhcol · ecolkh + gcolkij· ∂ϕ
∂xk
!
· χcol+ p · Id · χf luid Di = gcolikh· ecolkh − εcolik ·
∂ϕ ∂xk ! · χcol− εf luid ik · ∂ϕ ∂xk · χ f luid (7.3) Le résultat de l’homogénéisation est une loi piézoélectrique. Ce point est absolument cohérent.
• le secteur lamellaire considéré est surminéralisé
Avant de présenter une formulation mathématique, il est nécessaire de décrire le pro- cessus physique. L’ensemble de cristaux d’Hap fonctionne comme une matrice entourant les bâtonnets de collagène. A cause de la grande disproportion existant entre les propriétés élastiques du collagène et de l’Hap, quand un chargement est appliqué, les contraintes les plus élevées sont situées dans l’Hap et les valeurs survenant dans le collagène sont très faibles. Ainsi, l’effet piézoélectrique induit par ces contraintes est lui aussi très faible. Donc le champ électrique induit à une valeur faible et seulement un effet local, dans le collagène lui même ou son voisinage immédiat. En effet, les coefficients diélectriques a- ssociées aux EVMC sont devenus plus faibles car la plupart des ions qui étaient à l’origine de ces coefficients ont disparu pour donner naissance à des cristaux d’ Hap et ceux qui n’ont pas été utilisés sont "emprisonnés" dans la structure cristalline. Ne pouvant ainsi plus circuler, il n’engendrent plus le potentiel électrique qu’ils génèraient auparavant.
7.2 NOUVELLE LOI DE COMPORTEMENT 151 En résumé, si une telle structure est observée "de l’extérieur", c’est-à-dire à une échelle macroscopique, l’effet piézoélectrique ne peut pas être "vu" ou ne peut pas être détecté. La structure d’Hap, avec son architecture spécifique, a donc le même effet que celui d’une "boite électriquement isolante."
Avant d’introduire la nouvelle loi, nous présentons deux notations: md la minéralisation courante
mds
la valeur du seuil de la minéralisation à partir de laquelle l’imperméabilité électrique est efficace
puis nous introduisons la fonction définie par: µ = (mds − md)+
mds
où (mds− md)+ est la " partie positive" de la fonction mds− md.
Maintenant, au lieu de considérer la loi homogénéisée obtenue auparavant :
σij = Cijkhhom lam· ehom lamkh + gkijhom lam·
∂ϕ
∂xk
!
Di = gikhhom lam· ehom lamkh − εhom lamik ·
∂ϕ
∂xk
! on considère la nouvelle formulation:
σij = Cijkhhom lam· ehom lamkh + µ · gkijhom lam·
∂ϕ
∂xk
Di = µ · gikhhom lam· ehom lamkh − εhom lamik · ∂ϕ
∂xk
!
(7.4) Il est facile de voir que:
- s’il y a aucune minéralisation, alors md= 0 et µ = 1 et la première loi homogénéisée (7.2) est obtenue
- si la minéralisation courante est plus grande ou égale à la valeur seuil, alors µ = 0 et la loi homogénéisée est une loi élastique classique
σij = Cijkhhom lam· ehom lamkh
En conclusion, cette nouvelle loi de comportement change de nature physique avec un seuil sur l’état de minéralisation. D’une manière plus générale, nous pourrions dire que, lorsqu’on étudie, à une échelle donnée, une structure composite ayant des composants possédant des propriétés piézoélectriques, l’effet piézoélectrique ne peut être considéré à l’échelle supérieure que si le milieu entourant cette structure n’est pas trop rigide.
Il est naturel de se demander si le choix d’un critère établi sur une valeur seuil de la minéralisation est judicieux car il est évident qu’il est difficile, voire impossible d’obtenir des informations sur cette entité au niveau expérimental.
D’après la description physique que nous avons faite, il serait plus raisonnable d’intro- duire des rapports de contraintes (ou des rapports de déformations) comme valeur seuil. C’est cette direction qui a d’abord retenu notre attention. Mais nous avons vite constaté d’une part, que les quelques rapports que nous avons testés étaient liés à une valeur de minéralisation et d’autre part, que les valeurs de ces rapports dépendaient de l’échelle à laquelle on étudiait le phénomène.
Après réflexion, il semble qu’il faille étudier le champ électrique existant dans la structure des EVMC pour savoir à partir de quel degré de minéralisation, l’effet de milieu électriquement isolant apparaît. Ce point est d’autant plus intéressant qu’il est indépendant de l’échelle à laquelle on se place mais, faute de temps, nous n’avons pas pu développer cette voie.
Pour les simulations numériques que nous avons réalisées et en l’absence de tout résultat obtenu à partir de critères mécaniques, nous avons choisi arbitrairement une valeur seuil qui correspond, dans nos simulations, à la valeur minimale que nous prenons pour le système interstitiel.
Enfin, une dernière difficulté doit être signalée : le retour au niveau microscopique ne peut plus être obtenu comme précédemment et il nous faut développer un autre processus : nous utiliserons des technique issues du calcul de structure ou des formulations de problèmes inverses.
La conséquence principale d’une telle loi de modélisation est que la structure ostéonale, dans l’os sain, sera toujours un milieu élastique étant donné que la minéralisation dans le système interstitiel est égale ou plus grande que la valeur seuil.