ultérieurement mais indépendamment, par Keller [Ke77] et Bensoussan et al. [BLP78]. Les applications et les extensions de cette méthode générale dans la théorie de l’homogéné- isation ont été davantage développées et résumées dans Sanchez-Palencia [SP80] et Bakhvalov & Panasenko [BP84].
Jusqu’en 1975, des résultats d’homogénéisation avaient été donnés seulement pour des problèmes linéaires. Mais rapidement, De Giorgi et Franzoni [GF75] développaient la théorie de la Γ−convergence pour les fonctionnelles non-linéaires, en fournisant une méthode rigoureuse pour réaliser une homogénéisation dans ces problèmes nonlinéaires qui admettent une formulation variationnelle avec un fonctionnelle convexe (pas for- cément quadratique). Presque dans le même temps, Bakhvalov [Ba75] appliquait son idée originale de développement asymptotique multi-échelle à un cas général nonlinéaire. Cependant, il a seulement construit un développement asymptotique formel, mais sans établir un résultat de convergence.
Un autre pas majeur dans la théorie de l’homogénéisation a été franchi par Murat et Tartar [MT97], qui ont introduit la notion de H-convergence des opérateurs monotones et ont étudié les principales propriétés de celle-ci. Cette méthode permet en parti-culier d’homogénéiser des équations elliptiques linéaires dont les coefficients ne sont pas for- cément symétriques. Elle permet aussi de traiter un grand nombre de problèmes non linéaires qui n’admettent pas forcément une formulation variationnelle et donc ne sont plus couverts par la théorie de la Γ−convergence.
Une dizaine d’années après, une autre méthode a été dévéloppée: la méthode de con- vergence "à deux échelles". Cette technique a été introduite par le travail de Nguetseng [Ng89] et développée après par les travaux de Grégoire Allaire [All92] qui a montré de nombreuses applications de cette méthode. L’un des intérêts de celle-ci est la facilité de la comprehension des oscilations dans le cadre du processus d’homogénéisation, par l’introduction d’une notion de convergence des fonctions dépendantes d’une variable "mi- croscopique", qui s’ajoute à la variable "macroscopique". En ce sens, cette méthode est quelque part semblable à la méthode des dévéloppements asymptotiques à deux échelles. Le lemme de compacité à deux échelles a été un nouvel apport à cette méthode.
2.2 Milieux et fonctions périodiques
Dans Rn, n ≧ 2, muni du repère {O, e1, · · · , en} , on considère le pavé : Y = n i=1 ]−ai, ai[, de frontière ∂Y = n p=−n
fp où fp est une face de Y et f−p est la face opposée. Supposons :
1. Y est une partition de deux sous-ensembles tels que Y = 2
l=1
Yl, Y1∩ Y2 = S1
où S1 est une sous variété de dimension (n − 1) de classe C1, de mesure positive 2. Chaque Yl est localement situé du même coté de sa frontière
• Ylavec
•
Yl = S1∪ ∂Yl, où ∂Yl = Yl∩ ∂Y , l = 1, 2
3. Posons ∂Ylp = ∂Yl∩ fp alors, nous supposerons que ∀p ∈ {−n, · · · , −1, 1, · · · , n} , ∀l ∈ {1, 2} , ∂Ylp = ∅ et elle est de mesure positive
4. ∂Ylp et ∂Yl−p sont géométriquement superposables ; de plus :
(a) si n = 2 et α donné, ∂Yαp est connexe ∀p ∈ {1, · · · , n} ; dans ce cas Y1 est connexe, alors que Y2 est connexe par morceaux
(b) si n = 3, ∂Y1p, ∂Y2p sont connexes ∀p ∈ {1, · · · , n}, dans ce cas, Y1 et Y2 sont connexes Ainsi, soit Tk la translation de vecteur Tk = (tk 1, t k 2· · · t k n), avec t k i = 2kiai, k ∈ Zn, et posons Yk = Tk (Y ). Ω est alors défini par :
Ω =ε(Yk+ Y ), k ∈ Zn, ε = 1
N, N ∈ N ∗
; |k| < (2N + 1)n, |k| = |k1|+|k2|+· · ·+|kn| . Ω est alors la réunion de (2N + 1)n cellules identiques εY que l’on notera Yε. De la même façon, posons :
Ωεl = ε(Yk l + Yl), k ∈ Zn , l = 1, 2 on a alors Ω = 2 l=1 Ωε l, Γ ε 1 = Ω ε 1 Ωε2. Fonctions périodiques
On va introduire maintenant les espaces : E#(Rn) ou E#(Ω) des fonctions εY - périodiques.
Soit E(Y ) = {v : y = (y1, · · · , yn) ∈ Y −→ v (y) ∈ Rn} un espace de fonctions et posons x = εy, alors la fonction vε(x) = vx
ε
∈ E (εY ). Notons de plus vε, la fonction vε prolongée par périodicité à Rn.
Nous écrirons :
2.2 MILIEUX ET FONCTIONS PÉRIODIQUES 23 E#(Ω) est la restriction de E#(Rn) à Ω.
On remarque que si v ∈ E#(Y ) où E#(Y ) = {v ∈ E (Y ) : tr (v)|∂Yp = tr (v)|∂Y−p}1,
alors l’espace : E#(Rn) des fonctions εY -périodiques est :
E#(Rn) = {vε ∈ Eloc(Rn) : tr (vε)|∂Yεp = tr (vε)|∂Yε−p} .
De même, on définit les espaces de fonctions périodiques :
Lp#(Rn) n= {vε∈ [Lploc(Rn)]n, vε(x) εY -périodique} , 1 ≤ p ≤ ∞ W#1,∞(Ω) =v∈ W1,∞(Ω) : vε εY -périodique, H#m(Rn) = {v ∈Hlocm (R n ) : v|∂Yεp = v|∂Yε−p} , m = 1, 2 . . . C#0 1(Ω) =v∈ C0 1(Ω) : v| ∂Yεp = v|∂Yε−p , W#(Y ) = v∈H1(Y ) n : v|∂Yp = v|∂Y−p , W#(Rn) = v∈Hloc1 (Rn) n: v| ∂Yεp = v|∂Yε−p .
Condition de périodicité pour les solutions d’un problème local (cellulaire) Dans la suite, nous aurons à exprimer les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un problème aux limites du type:
−div (A) v = f dans Y , v Y -périodique ait une solution v, Y -périodique.
Soit D#(Y ) l’ensemble des fonctions Y -périodiques définies sur Y . Multiplions la première équation par une fonction quelconque v ∈ D#(Y ) et intégrons ce produit sur
Y . On obtient: Y A · grad(v)dy − ∂Y A.−→n vds = Y fvdy.
Y
y nr x nr x nr − y nr Y ∂1tr est l’application trace linéaire continue de W1,m(Ω) sur W1−1
m,m(∂Ω) ∀ m, 1 < m < ∞, unique
Or pour la période Y, les arêtes sont deux à deux paralléles et donc la normale sortante −
→n étant de signe contraire sur deux arêtes opposées, puisque A est Y -périodique, il vient : ∂Y A · −→n vds = 0 et par conséquent : Y A · grad(v)dy = Y fvdy.
De plus, parmi l’ensemble des fonctions v ∈ D#(Y ) on peut choisir v = 1 ⇒ grad(v) = 0, ∀y ∈ Y ; la relation précédente étant vraie ∀v ∈ D#(Y ), nous en déduisons la condition nécessaire et suffisante de périodicité d’une solution du problème considéré :
Y
fdy = 0.
Autrement dit, la moyenne de la fonction f sur la période Y doit être nulle.
2.3 Méthodes d’homogénéisation
On présente ici les techniques les plus connues de la théorie mathématique de l’homogéné- isation. Cette présentation est très brêve et pas complète, et on peut la considérer comme une courte introduction au vaste domaine de l’homogénéisation. Pour une présentation plus vaste, on peut consulter par exemple [BP84], [BLP78], [SP80], [Mas93] ou [JKO94].
Γ−convergence
La Γ−convergence est une notion abstraite de convergence fonctionnelle qui a été introduite par De Giorgi. Ce n’est pas une notion restreinte à l’homogénéisation et elle a plusieurs applications dans le domaine du calcul variationnel. Une présentation détaillée de la Γ−convergence et quelques applications peuvent être trouvées dans le livre de [Mas93]. Le principe de la Γ−convergence sur l’homogénéisation est donné dans l’exemple ci-dessous.
Considérons un processus de diffusion linéaire dans un domaine pé-riodique Ω de période ε.
Supposons que le tenseur de diffusion soit A(x/ε), où A(y) est une matrice symétrique, cœrcive et bornée, Y -périodique. Pour un terme source f(x) ∈ L2(Ω) ce problème de diffusion est une edp linéaire
−∇ · (A(x ε)∇u ε) = f dans Ω uε= 0 sur ∂Ω (2.1)
Il est bien connu que lorsque la matrice A est symétrique, l’équation (2.1) est é- quivalente à la formulation variationnelle suivante:
2.3 MÉTHODES D’HOMOGÉNÉISATION 25