0,009 % pour C11 et C22 et 0,052 % pour C12 )
Cette modélisation présente encore un autre intérêt : elle permet de poser clairement le problème de la nature piézoélectrique de l’os. Dans l’état actuel de nos connaissances au niveau biomécanique et des possibilités de notre modélisation, nous devons admettre trois faits :
- le collagène est un matériau piézoélectrique
- l’os cortical (au niveau macroscopique) n’a aucune propriété piézoélectrique
- notre modélisation montre que théoriquement les coefficients piézoélectriques sont non nuls au niveau macroscopique, bien qu’ils soient assez faibles
Il nous faut concilier ces trois faits qui, à priori, sont antagonistes. A ce stade de la réflexion, on mesure toute l’importance de la notion d’échelle. Certains processus physiques sont vrais à une échelle donnée et leur contribution doit être exploitée à cette seule échelle.
1.4 Conclusions
La taille des cristaux d’ Hap étant trop petite en comparaison avec la taille des bâtonnets de collagène, une nouvelle entité (le Volume Elémentaire de Contenu Minéral) est suggérée à l’échelle nanoscopique. Cependant, nous ne disposons pas encore d’outils permettant de déterminer les propriétés physiques de cette entité. Notre modèle permet d’essayer toutes les configurations structurales possibles et il semble prouver que l’anisotropie de l’os ne soit pas induite par la seule structure haversienne mais plutôt, et de manière très importante, par les propriétés des cristaux d’Hap et par leur organisation spaciale.
Il s’ensuit que l’ensemble de la modélisation de l’os cortical doit être reconsidéré dans ses moindres détails. Les développements présentés dans les chapitres 2 à 6 nous conduiront à construire une nouvelle modélisation.
Chapter 2
Chapitre 2
Homogénéisation en milieu
périodique
Dans le cadre de la théorie de l’homogénéisation, la mise en œuvre de la méthode des développements asymptotiques nécessite la résolution d’équations aux dérivées partielles sur des géométries plus ou moins compliquées via des méthodes classiques de discréti- sation (éléments finis, volumes finis, etc. . . .). Or, au niveau fibrillaire, les deux com- posantes en présence ont des dimensions très différentes : le bâtonnet de collagène est un cylindre ayant un diamètre de 100 nm et une longueur de 300 nm alors que le cristal d’hydroxyapatite (Hap) est un petit parallélépipède (10 x 3 x 20 nm).
Par ailleurs, ces cristaux ne sont pas homogènes mais formés d’une partie solide entourée d’un gel (dit eau liée) et l’arrangement des cristaux entre eux peut laisser a- pparaître des canaux dans lesquels va s’écouler le fluide, recréant ainsi un milieu poreux dans lequel il n’y a pas à priori de périodicité.
Il est clair qu’une technique d’homogénéisation doit être utilisée, cependant la mé- thode des développements asymptotiques utilisée à ce jour n’est peut être pas la plus performante.
L’objectif de ce chapitre est d’analyser les méthodes existantes afin de faire le choix le plus judicieux.
2.1 Historique
Dans ce paragraphe nous présentons un court historique de la théorie mathématique de l’homogénéisation. Nous ne visons pas à mentionner toutes les références existantes, et notre tâche ici n’est pas de produire une revue compréhensive du sujet, qui est ex- trêmement vaste. La littérature mentionnée ici se réfère plutôt aux papiers qui ont été la source de notre propre compréhension de l’homogénéisation et qui, directement ou indirectement, ont influencé les résultats présentés dans ce mémoire.
Mis à part les méthodes dites “de centrage” ou “de moyennage”, utilisées pour l’étude des équations différentielles ordinaires, qui sont plus anciennes mais qui relèvent aussi de l’homogénéisation, les idées qui ont fondé la théorie mathématique de l’homogénéisation, ont vu le jour progressivement depuis bientôt trente ans. Il semble que ces idées soient nées presque simultanément, d’une part en Mécanique Théorique, avec l’emploi de mé- thodes fondées sur les développements asymptotiques et d’autre part en Mathématiques Appliquées, avec des théories relatives à la convergence de fonctionnelles associées à des problèmes aux limites.
Mais le concept ou plus exactement le terme “homogénéisation” au sens strict a été probablement pour la première fois employé par E. Sanchez-Palencia dans une note aux Comptes Rendus de l’Académie des Sciences de Paris en 1971 [SP71]. Dans cette note, il a montré, en utilisant des développements asymptotiques, que la loi dite “de Darcy”, pour les milieux poreux était une version homogénéisée des équations de Stokes régissant le mouvement lent d’un fluide visqueux à travers une matrice rigide.
On pourrait chercher aussi son origine dans le travail éffectué par De Giorgi et Spa- gnolo [GS73], où les auteurs prouvaient le premier théorème sur le passage à la limite dans les edp linéaires avec coefficients périodiques rapidement oscillants, quand le paramètre de taille associé à la cellule unité tend vers zéro. Leur preuve était assez compliquée et était basée sur des résultats de Spagnolo [Sp67], [Sp68], qui avait introduit la notion de G-convergence associée à des séquences des edp symétriques et linéaires et avait étudié leur propriétés.
Ensuite Tartar [Ta74] suggérait une preuve directe du théorème d’homogénéisation en utilisant la méthode dite d’énergie ou la théorie de compacité. Son approche était basée sur l’utilisation, au cours du passage à la limite, d’un choix spécial de fonctions test dans la formulation variationelle de l’équation, en combinaison avec le maintenant classique lemme de compacité.
A peu près dans le même temps, Sanchez-Palencia [SP74] et Bakhvalov [Ba74], [Ba75] employaient la méthode des développements asyptotiques multi-échelle pour la construc- tion de l’équation homogénéisée. Sanchez-Palencia faisait seulement du développement formel asymptotique, mais Bakhvalov avait aussi prouvé que la solution de l’équation homogénéisée est la limite des solutions des problèmes originaux hétérogènes quand le petit paramètre tend vers zéro, et il fournit l’erreur estimée correspondante. Le concept de la méthode des développements asymptotiques (puissant d’un point de vue rigoureux mais aussi heuristique) est due en fait à Krylov & Bogoliubov [KB47] et à Bogoliubov & Mitropolsky [BM61] et a été employée avec succès pour l’étude de plusieurs problèmes concernant les échelles multiples depuis ce moment là. L’idée maintenant déjà classique consiste à chercher un développement asymptotique de la solution d’un problème donné, avec des coefficients qui "séparent" l’échelle fortement oscillante de celle "lente".
2.2 MILIEUX ET FONCTIONS PÉRIODIQUES 21