Ce chapitre explore une nouvelle classe de problèmes d’appariement. Il a été inspiré par l’interdépendance qui peut exister entre l’allocation des enseignants aux écoles et celle des élèves aux écoles. Enseignants et élèves vont tout deux être affectés au même ensemble d’écoles. Pour qu’un enseignant puisse définir ses préférences sur les écoles, leurs caractéristiques comme la position géographique, leur budget ou leur infrastructures sont prises en compte mais ces préférences peuvent aussi être influencées par les types d’élèves qui seront affectés à ces écoles. L’idée inverse pour les étudiants est également vraie: ils peuvent également prendre en compte la qualité des enseignants affectés à leur école potentielle. En prenant une approche plus abstraite que la seule application des enseignants et élèves, on définit un modèle d’appariement où deux types d’individus doivent être affectés à un ensemble commun d’objets. Chaque individu d’un type a des préférences sur les paires d’objets et d’individus de l’autre type auxquelles il peut être affecté. Ce modèle est à l’intersection d’un modèle classique d’appariement avec deux types où deux ensembles d’agents, par exemple hommes et femmes, doivent être appariés ensemble; et un modèle d’allocation de logement où ces paires d’agents doivent également être affectées à des objets, par exemple des logements. Dans ce chapitre, nous utilisons les terminologies hommes, femmes et logements pour souligner cette intersection. En effet, dans leur article fondateur,Gale and Shapley (1962) utilisèrent la terminologie hommes et femmes pour les appariements avec deux types. Shapley and Scarf (1974) utilisèrent la terminologie logements pour les objets dans leur problème de réallocation de logements. Le problème est donc d’affecter au sein de chaque logement, un homme et une femme. Une application possible est l’affectation de managers et travailleurs à des projets au sein d’une organisation, une administration publique par exemple.
En suivant les questions traditionnelles de la littérature sur les problèmes d’appariement, on peut se demander si une généralisation du concept d’appariement stable existe dans ce contexte ? La stabilité requiert qu’une fois les couples d’hommes et de femmes sont affectés à leur logement, il n’existe aucun homme (resp. femme) qui préfèrerait inviter une autre femme (resp. homme) dans son logement actuel de façon à ce que les deux préfèrent strictement cette situation à leurs paires logement-partenaire qui leurs ont été affectées. Sans surprise, nous fournissons un contre exemple où un tel matching stable peut ne pas exister. Cependant, en réfléchissant au problème, la notion de stabilité mentionnée permet à n’importe quel agent de “prendre à son partenaire”le logement qui lui
est affecté tout en demandant à un autre partenaire de le rejoindre. Dans beaucoup d’applications, cela n’est pas toujours possible pour tout type d’agent. Dans le cas des managers, travailleurs et projets, il n’est pas possible pour un travailleur de renvoyer son manager, seul ce dernier peut le faire avec un travailleur. Il y a donc un sens dans lequel il existe une structure de propriété sur les projets. Dans notre cadre plus abstrait, nous nous referons aux projets en utilisant le terme “logements”. Nous introduisons donc une structure de propriété qui donne pour chaque affectation d’un homme et d’une femme à un logement, le “propriétaire”du logement. Nous pouvons ensuite définir une notion de stabilité par rapport à une structure de propriété qui impose que seuls les propriétaires peuvent demander à un autre agent de les rejoindre dans le logement qui leur est affecté. Pour une structure de propriété arbitraire, on peut facilement montrer qu’un appariement stable par rapport à cette structure peut ne pas exister. Cependant, nous montrons qu’ils peuvent exister pour des structures naturelles: celles qui donnent toujours la propriété d’un logement à un agent du même type, c.a.d. toujours une femme ou toujours un homme. Nous les appelons les structures de propriété pour un type49. La preuve se base sur l’existence d’appariements stables dans un contexte standard d’appariement avec deux types comme montré par Gale and Shapley (1962). Cependant, nous montrons que la structure de nos appariements stables diffère. En effet, on peut définir une notion de coeur par rapport à une structure de propriété: un groupe d’agents peut essayer de réallouer leurs affectations entre eux pour tous préférer cette réaffection mais ils doivent inclure les propriétaires des logements qu’ils utilisent pour cette réaffectation. Dans un cadre standard d’appariement avec deux types, les appariements stables sont équivalents aux appariements du coeur. Dans notre contexte avec des structures de propriété à un type, les appariements Pareto-efficaces et stables peuvent être disjoints, impliquant que le coeur peut être vide.
Afin d’explorer les liens de cette nouvelle classe de problèmes d’appariement avec la classe des problèmes d’allocation de logements définie auparavant, nous introduisons une affectation initiale des agents aux logements. On peut alors définir une notion de coeur dans ce contexte similaire à celle, déjà mentionnée ci-dessus, par Roth and Postlewaite (1977). La principale différence réside dans le fait que les groupes d’agents tentant de dévier ne peuvent pas échanger les logements qui leurs sont affectés mais uniquement utiliser leurs logements initiaux. Pour une allocation initiale qui affecte les logements aux agents du même type, c.a.d. toujours femmes ou toujours hommes, alors nous
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pouvons également montrer que cette notion de coeur peut être vide. Cependant, de façon similaire au résultat précédent, on peut montrer qu’on peut toujours trouver un appariement qui n’est pas bloqué par des groupes de deux agents, composés d’un homme et d’une femme. Contrairement à la notion de coeur précédente, on peut trouver un appariement Pareto-efficace qui ne peut pas être bloqué par une coalition formée d’un homme et d’une femme.
Ce qui ressort de cette analyse est que malgré de nombreux résultats d’impossibilité, les structures de propriétés pour un type semblent être celles qui permettent toujours l’existence minimale de l’absence de paires bloquantes, que cela soit dans un contexte similaire à l’appariement avec deux types, où dans un contexte plus proche du marché de logements avec une allocation initiale. Si l’absence de blocage par paires est la condition minimale pour un système pour perdurer, alors ce résultat peut justifier pourquoi, en pratique, nous observons principalement de telles structures de propriétés. Les notions de coeur, contrairement au cadre standard, peuvent être vides. Cependant, le contexte de marché de logement avec une allocation initiale permet, contrairement au premier contexte plus proche de l’appariement avec deux types, de concilier l’absence de bloquage par des paires d’agents avec la Pareto-efficacité.
General Introduction
Over the past 20 years, matching has been a growing field in economics, culminating with the award of the 2012 Nobel Memorial Prize in Economic Sciences to Alvin Roth and Lloyd Shapley. An important determinant of its success is the existence of a strong link between the theory and its applications, which led to the adoption of several successful policies. This thesis aims at following this tradition in motivating its market design analysis with the assignment of teachers to schools with an emphasis on the French system. In the first chapter, our goal is to develop a theoretical framework to study the class of problems related to reassignment, to which teacher assignment belongs. This framework allows us to identify an important class of mechanisms that can be used in such setting, and to make theoretical predictions and preliminary empirical assessments of their possible improvements. In the second chapter, we rely on the theoretical findings from the previous analysis to practically redesign the French assignment procedure,50taking into account its specificities such as the problem of regional inequality and its established policy objectives. We provide a set of possible designs depending on different policy goals, and we validate them through the simulation of counterfactual scenarios. Finally, given the interdependence between the problem of teachers’ and students’ assignment to schools, in the last chapter we theoretically explore a new hybrid matching model where two sets of agents have to be matched to a common set of objects.
In this introduction, we start with a review of the matching literature where we focus on the two types of matching models that are relevant for this thesis, and we illustrate them with some policy designs that have been practically implemented over the years. Finally, we introduce the analysis done in the three chapters of this thesis while highlighting its connections to the literature.
Matching: an overview
Why do we need matching ?
There are many different definitions of what economics is about. The French economist Edmond Malinvaud gave the following one:51
50
In what follows, we will indifferently use mechanisn, procedure or algorithm.
51
“L’économie est la science qui étudie comment des ressources rares sont employées pour la satisfaction des
besoins des hommes vivant en société. Elle s’intéresse d’une part aux opérations essentielles que sont la production, la distribution et la consommation des biens, d’autre part aux institutions et aux activités ayant pour objet de faciliter ces opérations.”(Leçons de théorie microéconomique, Dunod, 4th edition, 1982)
Economics is the science that studies how scarce resources are employed to satisfy th e need s of human beings living in society. It is interested, on the one hand, in the essential operations, which are production, distribution and consumption of goods and, on the other hand, in the institutions and activities, which goal it is to facilitate such operations.
This definition highlights two crucial points. First, that an important part of economics is interested in the distribution of scarce resources. The question is to decide how to allocate a good when there are several agents who want it, knowing that in the end only one of them will be able to use it. Economics thus studies the way to solve such conflict of preferences and the congestion that arises from them. The second point is the focus on the institutions that are in charge of the distribution of resources. In the course of History, an important one emerged: the market. The latter allows individuals to exchange goods and services to match their needs. Markets can take many forms. For instance, people can exchange their scarce resources through barter. However, most markets extensively studied by economists take the form of exchanges of goods against money through a system of prices. To solve the congestion problem, prices adjust: if there are more agents demanding a good than copies available, then the price increases and vice versa. Economists started to focus on markets regulated by prices, and evaluated their properties. Malinvaud, wrote in the same text: 52
In its double explanatory and normative research, our science attributed a central role to prices that govern exchanges of goods between agents. Such prices reflect for individuals, more or less precisely, the social scarcity of the goods that one buys or sells.
Economists have thus identified the central role of prices in governing exchanges, but it is important to recall that there are other ways to regulate markets. Let us take a step back and ask for some specific kind of resources: can we and do we want to use prices as a mean to allocate them? For example, many patients with a kidney disease need a transplant and there are more patients than available kidneys. This is a typical congestion problem, raising the question of how to allocate a limited amount of resources, here kidneys, to agents who need it, knowing that there are more agents than available kidneys. One possible answer is to define a price for kidneys. This is what Iran chose
52
“Dans sa double recherche explicative et normative, notre science a été amenée à attribuer un rôle central aux
prix qui président aux échanges de biens entre agents. Ces prix reflètent pour les individus, de manière plus ou moins exacte, la rareté sociale des produits qu’il achète et qu’il vend.”, (Leçons de théorie microéconomique, Dunod, 4th
in 1988, by having donors paid to give their kidneys. This possibility was also discussed for the US context byBecker and Elias (2007) ), who estimated a potential equilibrium price for kidneys taking into account the statistical value of life, the risk of death, the quality of life and the value of time.53 Most countries however prohibit the use of monetary transfers to allocate organs. As mentioned in
Roth (2007), Article 21 of the Council of Europe’s (2002) Additional Protocol to the Convention on Human Rights and Biomedicine, on Transplantation of Organs and Tissues of Human Origin states:
The human body and its parts shall not, as such, give rise to financial gain
In the U.S, the National Organ Transplant Act of 1984 contains a similar statement. There is a widespread feeling that money is not appropriate to deal with the exchange of organs. Roth(2007) called this feeling repugnance. The concept of repugnance is, of course, different across regions and across time. It can be influenced by many factors such as culture, psychology, religion and so on. For instance, black market aside, countries differ in their legislation over drug consumption or prostitution. Another example presented by Roth(2007) is the one of horsemeat consumption, which is forbidden in California but is commercialized without concerns in many other places. Over time, transactions that used to be considered repugnant might also cease to be seen as such. Roth
(2007), p.3, mentioned the following well known example:
Lending money for interest was once widely repugnant, and no longer is, (with the important exception that Islamic law is commonly interpreted as prohibiting it).
The use of prices to solve congestion problems may also be directly at odds with the policy objective that drives the allocation motive. For example, free public education is considered in many countries as a fundamental right and an important policy objective, given the externalities it can bring. Therefore, in a case where many applicants would like to be assigned to a popular school, increasing tuition fees is rarely considered as a potential policy tool to solve the congestion, since it would exclude applicants from lower income families who cannot afford to pay more. Another common example is the one of social housing. Since the goal of social housing is to allow poorer families to live in places where the market price de facto excludes them, an adjustment through prices would be directly in contradiction with the policy objective. The motivation behind such goal is that social
53Earlier papers discussed this possibility for organs from cadavers, the interested reader may refer to the cited
diversity creates positive externalities that benefit the society as a whole, and should therefore be encouraged. 54
It is important to debate whether some transactions should or not be considered as repugnant. For instance, Leider and Roth (2010) ) surveyed a representative sample of Americans to identify opinions about the potential introduction of a market with prices for kidneys. In our teacher assignment application, as we describe later, deciding whether to use wages to solve for congestion in the regional assignment is an important policy debate. However, as mentioned inRoth (2007), some economists have taken the repugnance of monetary transactions in some markets as a given constraint, abstracting from the reasons motivating it. Once one accepts the existence of such constraint, one has to find alternative means of solving the congestion problem i.e. to design the market. This fundamental consideration constitutes the main motivation of matching economists: developing theories and practical solutions to solve congestion problems and to achieve policy goals for markets where the use of monetary transfers is not allowed. The theories and solutions developed are intrinsically linked to the specific markets they aim to design. However, the practical problems encountered in several markets can belong to the same class, and thus the solutions developed for this class can all be applied. The goal of allocating students to schools is fundamentally different from the one of assigning kidneys to patients, which is in turn different from assigning social housing. All of these problems have therefore seen their own solutions emerge. As this thesis will show, the problem of (re)assigning teachers to schools is conceptually different from the one of assigning students to schools. It will share similarities between the latter problem and the one of reassigning social housing between tenants. In the following section, we review important results in the literature focusing on the two classes of the assignment of students and the one of social housing.55
Two-sided matching markets
The problem of assigning students to colleges, known as the college adminission problem, has been introduced by the seminal article of Gale and Shapley(1962). The problem is simple: students
54
It is important to highlight that some economic schools of thought, in the tradition of the Chicago School, would argue that the distortion or the no-use of prices would be a mistake that would distort economic efficiency. According to this thinking, a more relevant policy would be to allocate grants to the families. As we will mention, we will put aside and not enter into this debate on the use or not of price adjustments.
55
Because of this thesis focus, we voluntarily omit an important literature concerning kidney exchange problems that has important policy implications. A key difference is that incentives are relatively less of a concern concerning reports of patient characteristics. The interested reader can easily find references. An excellent handbook overview is
have to be assigned to colleges, each college having a limited number of seats. Each student has a preference order over the colleges and each college has a preference order over the students. The authors assume that the preferences are strict so that a student (resp. a college) cannot be indifferent between two colleges (resp. students). Let us look at the abstract class of problems we are facing: there are two sides, students and colleges, which have preferences over each other. They start unassigned and would like to be matched together. For a policy maker, the question is to decide how to use the information contained in the preferences of each side to decide an appropriate matching. To do so, one has to establish what desirable properties a matching should have. A first very intuitive requirement, that economists refer to as individual rationality or participation constraint, is that if a student (resp. a college) prefers to stay unmatched than being matched to a certain college (resp. student), then one should not match them together. Among economists, another widely used requirement is the one of Pareto- optimality. A matching is Pareto-optimal (or Pareto-efficient, or sometimes efficient for short) if one cannot reassign students to colleges such that all students and colleges are at least indifferent and some of them strictly prefer their new assignment.56 While Pareto-efficiency is an appealing requirement, there exist many different matchings that are Pareto-efficient and some of them might not be very desirable. Given the latter, Gale and Shapley proposed an additional requirement, which they called stability. A matching is