NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES

CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES 2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE

2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES

Illustration

Rest aussi muni de la fonction valeur absolue (x7→max{x,−x}), prolongeant celle deQ, et v´erifiant : (1) ∀x∈R, |x|= 0⇔x= 0 (axiome de s´eparation) ;

(2) ∀x, y∈R, |xy|=|x||y|(homogénéité) ;

(3) ∀x, y∈R, ||x| − |y||6|x+y|6|x|+|y| (seconde et première inégalités triangulaires¹).

Cette fonction valeur absolue permet de d´efinir ladistancede deux nombres r´eelsxetypard(x, y) =|x−y|.

L’applicationd :R²→R⁺ vérifie, pour tous réels x,y et z: (1) d(x, y) = 0⇔x=y (axiome de séparation) ;

(2) d(x, y) =d(y, x) (sym´etrie) ;

(3) d(x, z)6d(x, y) +d(y, z) (in´egalit´e triangulaire).

Soitxun réel. On appelle partie positive dexet on note x⁺ le réel max(x,0). On appellepartie négative dexet on note x⁻ le réel min(x,0).

Définition (Parties positive et négative d’un nombre réel)

2.a

Soitx∈R. Exprimer |x|en fonction dex⁺ etx⁻, et r´eciproquement.

Exercice (Parties positive et n´egative et valeur absolue)

2.1.2. La droite numérique achevée. Intervalles. Le corps des réels vérifie la propriété fondamentale sui-vante : toute partie non vide et majorée deRadmet une borne supérieure (dansR)².

En vue d’unifier et simplifier certains résultats, sur les suites notamment³, on introduit la droite numérique achevée.

On introduit deux symboles +∞et−∞. On appelledroite num´erique achev´ee l’en-semble

R=R∪ {−∞,+∞}

On prolonge la relation d’ordre 6en posant

∀x∈R, x6+∞ et ∀x∈R, −∞6x Définition (Droite numérique achevée)

2.b

Si A⊂Rn’est pas major´ee (resp. minor´ee), on pose supA= +∞(resp. infA=−∞)⁴.

1. La seconde se d´eduit de la premi`ere.

2. De manière duale, toute partie non vide et minorée deRadmet une borne inférieure (dansR).

3. Par exemple : toute suite croissante tend vers sa borne sup´erieure.

4. On a simplement pris les bornes dansR. En fait, toute partie deRadmet une borne sup´erieure et une borne inf´erieure.

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CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES 2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE On prolonge partiellement `a Rles op´erations d’addition et de multiplication sur R, comme on s’y attend.

Par exemple, 3 + (+∞) = +∞, −2(−∞) = +∞, ou (−∞)(−∞) = +∞. On a cependant aussi des formes ind´etermin´ees, comme−∞+ (+∞), 0(+∞), 0(−∞).

Soita, b∈R, o`ua6b.

On d´efinit comme attendu les intervalles ]a, b[, [a, b[, ]a, b], [a, b]. Par exemple : [a, b[={x∈R, a6x < b}.

On d´efinit aussi [a,+∞[, ]a,+∞[, ]− ∞, a], ]− ∞, a[, et ]− ∞,+∞[. Les intervalles ]a, b[, ]a,+∞[, ]− ∞, a[ et ]− ∞,+∞[ sont ditsouverts. Les intervalles∅,R, [a, b], ]− ∞, a], [a,+∞[ sont ditsferm´es.

D´efinition (Intervalle)

2.c

Nous donnerons une définition plus générale et satisfaisante des notions d’ouverts et fermés lors du cours sur les fonctions. Observons ici que∅etRsont les seuls intervalles ouverts et fermés, et que des intervalles sont ni ouverts ni fermés, comme [0,1[ par exemple.

Lalongueur d’un intervalleI (non vide) est sup(I)−inf(I).

Unsegment est un intervalle du type [a, b].

D´efinition (Segment)

2.d

Un intervalle est un segment si et seulement si il est ferm´e, born´e, et non vide.

Soit (a, ε) ∈ R×R^∗+. Repr´esenter les ensembles {x ∈ R,|x−a| 6 ε} et {x ∈ R,|x−a|< ε}.

Exercice (Interprétation graphique d’inégalités)

2.2. Généralités sur les fonctions 2.2.1. Vocabulaire standard.

Nous ne ferons pas de distinction entre les notions de fonction et d’application. Tout au plus se permettra-t-on de parler d’une fonction sans préciser sa source, qui dans ce cas, doit être une partie de sonensemble de définition (i.e.l’ensemble des points où la fonction est définie).

Par exemple, l’ensemble de d´efinition de la fonction tangente est R\ {^π₂+kπ, k∈Z}.

Dans le cas d’une fonction f : I→R d’une variable réelle et à valeurs réelles, nous avons l’habitude de représenter son graphe (ou courbe représentative).

Repr´esenter le graphe de la fonctionf :x7→ ^√_1+x^x . Exercice (Exemple de graphe)

On appellevaleur absolue def et on note|f|la fonctionx7→ |f(x)|.

D´efinition (Valeur absolue d’une fonction)

2.e

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2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES

On peut d´efinir les applicationsf⁺ :x7→max(f(x),0) et f⁻ :x7→min(f(x),0) d’une fonction.

1Exprimer|f|en fonction de f⁺et f⁻, et r´eciproquement.

2Tracer le graphe de sin⁺ sur [−3π,3π].

Exercice (Parties positive et n´egative d’une fonction)

Soit a ∈ R. En prenant un exemple précis (et intéressant) pour la fonction f et pour a, tracer sur un même dessin les graphes de f, x7→f(x) +a, x7→f(x+a), x7→f(a−x),x7→f(ax),x7→af(x).

On pourra par exemple prendref :x7→ ^x₂³ +x²+¹₂, eta= 2.

Exercice (Translation ou dilatation de l’argument ou de la valeur d’une fonction)

On peut résoudre graphiquementdes équations et inéquations du typef(x) =λet f(x)>λ.

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On peut aussi lire graphiquement sif est injective, surjective ou bijective :

Illustration

Pour deux fonctionsf etgdeIdansR, on peut d´efinir leur sommef+get leur produitf g(ouf×g) par :

On peut aussi dans certains cas d´efinir la compos´ee de deux fonctions (voir le cours sur les applications).

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CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES 2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE On définit sans difficulté la croissance, la décroissance, la monotonie, la stricte croissance, la stricte d´ ecrois-sance et la stricte monotonie def.

Par exemple,f est dite strictement d´ecroissante si :

On définit aussi aisément le fait quef soit majorée, minorée, ou bornée.

f est born´ee si et seulement si|f|est major´ee.

Fonction born´ee

2.1

SoitT ∈R^∗+. On dit qu’une fonctionf de domaine de définitionDestT-périodique (ou que T est une période de T) si D est invariant par translation par T (i.e.

{x+T, x∈ D}=D), et si, pour toutx∈R,f(x+T) =f(x).

Définition (Périodicité d’une fonction)

2.f

Les fonctions sinus, cosinus, tangente, sont p´eriodiques, ainsi que les fonctions constantes.

Exemple (Fonctions p´eriodiques)

2.2.2. Parité, imparité, parties paires et impaire. Ici,f désigne une fonction définie sur un domaine centré en 0.

On dit que f :I→R est paire (resp.impaire) si, pour tout x∈I, f(−x) =f(x) (resp.f(−x) =−f(x)).

Définition (Parité, imparité)

2.g

Illustration

La fonction cosinus est paire, sinus et tangente sont impaires.

Exemple (Fonctions paires ou impaires)

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2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES

On suppose I centré en 0. Soitf :I→Rune application. La fonctionf s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction pairefp et d’une fonction impairefi.

Proposition (Parties paire et impaire)

2.a

Dans ce contexte,f_p etf_i sont respectivement lesparties paire et impaire def. D´efinition (Parties paire et impaire)

2.h

D´emonstration

2.3. Dérivation, étude d’une fonction Nous recensons ici les propriétés fondamentales de la dérivation.

On considère deux fonctions dérivables⁵, deI dans R, ainsi qu’une fonction dérivableϕ d’un intervalle J surI.

On rappelle que si f est d´erivable ena∈I, alors la tangente au graphe def en son point d’abscisseaest de pentef⁰(a), et donc d’´equation

y=f⁰(a)(x−a) +f(a).

Illustration

5. Bien entendu, toutes les fonctions ne sont pas d´erivables !

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Soitα, β∈R.

(1) (linéarité de la dérivation)αf+βg est dérivable sur I, et (αf+βg)⁰=αf⁰+βg⁰.

(2) dérivée d’un produit f g est dérivable surI, et (f g)⁰ =f⁰g+f g⁰. (3) (dérivée d’une composée)f◦ϕest dérivable, et

(f ◦ϕ)⁰=ϕ⁰×(f⁰◦ϕ).

Théorème (Opérations algébriques et dérivation)

2.b

Il faut noter que la dérivabilité deαf+βg, def g et def ◦ϕne sont pas supposées par hypothèses, mais qu’elles font partie des conclusions.

(1) f est constante si et seulement sif⁰= 0

(2) f est croissante si et seulement sif⁰>0 (i.e.f⁰(x)>0 pour toutx∈I).

(3) f est strictement croissante si et seulement si (f⁰ > 0 et f⁰ n’est jamais identiquement nulle entre deux points d’annulation def⁰)

Théorème (Croissance et dérivée)

2.c

Par exemple la fonction f : R→R (que vous devez proposer) dérivable, et dont la dérivée s’annule une infinité de fois, est strictement croissante :

Illustration

Bien sˆur, on a des assertions analogues pour la (stricte) d´ecroissance.

Ainsi, l’´etude du signe de f⁰ nous informe sur les variations def, informations que l’on peut synth´etiser et enrichir sur untableau de variations.

De telles études, que l’on peut parfois réduire par des arguments de symétrie ou de périodicité, permettent d’étudier les extremums de fonctions, ou de montrer des inégalités :

Montrer que pour toutx∈R+ : sin(x)6x.

Exercice (Inégalité par étude de variations)

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2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES Dans le cas où f est bijective de I sur son image, on peut s’intéresser à la dérivabilité de sa bijection réciproque f⁻¹:

Soitfune fonction deIdansR. On supposefcontinue surI, strictement monotone.

La fonctionf admet alors des limitesmetM aux bornes deI, l’imageJ =f(I) de f est un intervalle d’extr´emit´esmetM.

De plus, f^|J est bijective, et sa bijection réciproque, notée abusivement f⁻¹, est continue, strictement monotone, de même monotonie quef.

Th´eor`eme de la bijection continue

2.d

Soit f une application continue de I dans R, strictement monotone. On notef⁻¹ sa bijection réciproque (avec un léger abus). Soita∈I,b =f(a)∈J =f(I). Sif est dérivable ena, et sif⁰(a)6= 0, alorsf⁻¹est dérivable enb, et :

(f⁻¹)⁰(b) = 1

f⁰(f⁻¹(b))= 1 f⁰(a).

Théorème de dérivabilité de la réciproque (fonctions usuelles)

2.e

La conditionf⁰(a)6= 0 permet d’´eviter une tangente verticale pour le graphe def⁻¹en son point d’abscisse b. Cette formule seretrouve facilement graphiquement :

Illustration

Sif est une application dérivable deIdansRdont la dérivée ne s’annule pas, alors sa bijection réciproque est dérivable en tout point, et

(f⁻¹)⁰= 1/(f⁰◦f⁻¹).

Si f est en outre ind´efiniment d´erivable, alorsf⁻¹ l’est aussi.

Dérivabilité globale de la réciproque

2.2

Enfin, sif⁰ est elle-même dérivable, on peut définir la dérivée secondef⁰⁰ def, et on peut parfois dériver f de nombreuses fois (on note f^(k) la dérivée k-ième de f, de sorte que f⁽⁰⁾ =f, f⁽¹⁾ =f⁰, et, si elle existe, f⁽²⁾ =f⁰⁰ sif est deux fois dérivable.

2.4. Primitives, formules d’intégration Nous supposons connu le symbole intégral, bien que la présentation f désigne ici une fonction continue deI dansR.

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CHAPITRE IV. TECHNIQUES FONDAMENTALES 2. NOTIONS FONDAMENTALES D’ANALYSE

On appelle primitive de f sur I toute fonction de I dans R, dérivable sur I, de dérivée égale àf.

D´efinition (Primitive)

2.i

Si F est une primitive de f ∈ C(I,R), alors les primitives def sont lesF+λ,λ∈R. Le fait d’ˆetre sur un intervalle est primordial.

En particulier, si deux primitives d’une mˆeme fonction continuef sur Ico¨ıncident en un point, alors elles sont ´egales.

Par exemple, sia∈I, il existe au plus une primitive def s’annulant ena.

Soita∈I. La fonctionF_a d´efinie par :

∀x∈I, Fa(x) = Z x

f(t)dt est l’unique primitive def surI s’annulant ena.

Théorème (Expression intégrale de la primitive s’annulant ena)

2.f

On en déduit plusieurs corollaires, le premier sera qualifié de théorème étant donné son importance :

Soitf ∈ C(I,K),aet bdeux points deI. SiF est une primitive def surI, on a : Z

[a,b]

f =F(b)−F(a) Théorème (Primitives et intégrale)

2.g

Soitα, βd´erivables sur un intervalleJ `a valeurs dansI. Montrer que la fonction

ϕ : J → K

x 7→ Rβ(x) α(x)f(t)dt

est dérivable surJ et exprimer sa dérivée en fonction def,αet β.

Exercice (Dérivation d’une fonction définie par une intégrale à bornes variables)

On suppose queI=R.

1On supposef impaire. Que dire des primitives def?

2On supposef paire. Combienf admet-elle de primitives impaires ?

3On supposef T-périodique. À quelle condition nécessaire et suffisantefadmet-elle (au moins) une primitiveT-périodique ?

Exercice (Primitives des fonctions paires, impaires, p´eriodiques)

Ecritures´ Rb

af(t)dt= [F(t)]^b_a= [F(t)]^t=b_t=a. La notationR

f, ouR

f(x)dx, d´esigne (abusivement) une primitive def (cf. Maple). On ´ecrira par exemple Z

cos(x)dx= sin(x) +C (C∈R)

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Dans le document Cours de math´ematiques de MPSI (2013-2014) St´ephane Flon (Page 92-100)