Equations diff´ ´ erentielles

Sommaire

1. Introduction aux ´equations diff´erentielles lin´eaires 145

2. Fonction exponentielle complexe 146

3. Equations lin´´ eaires du premier ordre 148

3.1. D´efinition 148

3.2. R´esolution de l’´equation homog`ene associ´ee 148

3.3. Recherche d’une solution particuli`ere 149

3.4. R´esolution g´en´erale 151

3.5. Probl`eme de Cauchy pour l’ordre 1 151

4. Equations lin´´ eaires du second ordre 153

4.1. D´efinition 153

4.2. R´esolution de l’´equation homog`ene 153

4.3. Recherche d’une solution particuli`ere deE 155

4.4. R´esolution deE 156

5. Probl`eme de raccord pour l’ordre1(hors-programme) 159

6. Questionnaire 3 : ´Equations diff´erentielles 160

7. Feuille de TD 6 : ´Equations diff´erentielles 161

7.1. Equations diff´´ erentielles lin´eaires d’ordre un 161

7.2. Equations diff´´ erentielles lin´eaires d’ordre deux `a coefficients constants 161

7.3. Equations diff´´ erentielles d’un autre type 161

7.4. Equations fonctionnelles ou probl`´ emes se ramenant `a des ´equations diff´erentielles 162

Dans tout ce chapitre, Kd´esigneRouC. Tous les intervalles consid´er´es seront d’int´erieur non vide,

c’est-`

a-dire non vides et non r´eduits `a un point, etId´esignera un tel intervalle. Par d´efaut,K=R.

1. Introduction aux ´equations diff´erentielles lin´eaires

Une ´equation diff´erentielle est une ´equation fonctionnelleEd’inconnuef :I→K, reliantf`a une ou plusieurs de ses d´eriv´ees. SiE relie f `af⁰ (resp.f `af⁰ et/ouf⁰⁰), on dit queE est d’ordre 1 (resp. d’ordre 2).

Les ´equations diff´erentielles apparaissent dans la plupart des branches de la physique, en biologie, en ´ eco-nomie, etc. Ces ´equations sont en g´en´eral tr`es difficiles `a r´esoudre, et nous nous contenterons d’´etudier des cas simples.

En cours, nous ´etudierons surtout des ´equations diff´erentielles dites lin´eaires. Une particularit´e remar-quable de ces ´equations lin´eaires (et pas des autres), et que nous reverrons plus tard dans un cadre g´eom´ etrico-alg´ebrique, r´eside en la structure de l’ensemble de leurs solutions.

La structure alg´ebrique associ´ee `a la notion de lin´earit´e est celle d’espace vectoriel sur un corps K. Cette notion, compliqu´ee en apparence, nous occupera d’ailleurs une bonne partie de l’ann´ee. Plutˆot que d’en donner une d´efinition pr´ecise, je pr´ef`ere la pr´esenter de mani`ere informelle : un espace vectoriel sur un corpsKconsiste en la donn´ee d’un ensembleE, muni d’une loi d’addition lui conf´erant une structure de groupe ab´elien, et d’une loi externe de K×E dans E, dite de multiplication par un scalaire, v´erifiant en outre certaines conditions naturelles de compatibilit´e. Les ´el´ements deE sont appel´esvecteurs, ceux de Ksont appel´esscalaires.

Comme pour toute structure alg´ebrique, on dispose d’une notion de morphisme, respectant les lois de la structure (ici, l’addition et la multiplication par un scalaire) et les ´el´ements distingu´es (´el´ements neutres, ici le vecteur nul). Une application lin´eaire n’est rien d’autre qu’un morphisme d’espaces vectoriels.

145

2. FONCTION EXPONENTIELLE COMPLEXE CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

Par exemple, dans R², l’´echange (x, y)7→ (y, x) des composantes d’un vecteur est lin´eaire, mais pas la translation par un vecteur non nul. L’application partie r´eelle z 7→Re(z) est un endomorphisme du R-espace vectoriel C, mais pas du C-espace vectorielC. Les applications partie paire et partie impaire sont lin´eaires.

Exemple (Premiers exemples d’applications lin´eaires)

i

L’int´erˆet de la lin´earit´e apparaˆıt clairement dans la r´esolution d’´equations lin´eaires. SoitEetFdeux espaces vectoriels sur un corps K, b ∈ F, ϕ une application lin´eaire de E dans F. On cherche `a r´esoudre l’´equation lin´eaireE : ϕ(a) =bd’inconnuea∈E,i.e.on cherche `a d´ecrire l’ensemble des ant´ec´edents du second membre b par ϕ dans E (autrement dit, on veut expliciter ϕ⁻¹({b})). Supposons disposer d’une solution particuli`ere a<sub>0</sub>. Un ´el´ement adeE est alors solution de E si et seulement siϕ(a) =ϕ(a<sub>0</sub>), soit encore, par lin´earit´e deϕ: ϕ(a−a0) = 0<sub>F</sub>. Autrement dit, la solution g´en´erale deEs’´ecrita<sub>0</sub>+h, o`uhest la solution g´en´erale de l’´equation

H : ϕ(a) = 0F,

d’inconnue a∈E, appel´ee´equation homog`ene associ´ee (ousans second membre) `aE. SoitN un entier naturel non nul,α0, . . . , αN, β des fonctions continues deI dansK.

Une fonction f deI dansKest ditesolution de l’´equation diff´erentielle (d’ordre N si αN n’est pas identi-quement nulle)

E : αN(x)y^(N)+αN−1(x)y^(N−1)+· · ·+α1(x)y⁰+α0(x)y=β(x) sif est N fois d´erivable surI, et si

αN(x)f^(N)(x) +α_N−1(x)f^(N−1)(x) +· · ·+α1(x)f⁰(x) +α0(x)f(x) =β(x), pour tout pointxdeI.

La d´erivation est lin´eaire, de mˆeme que la multiplication par une fonction donn´ee, et que la somme d’ap-plications lin´eaires, de sorte que l’application

ϕ :f 7→αNf^(N)+αN−1f^(N−1)+· · ·+α1f⁰+α0f

est lin´eaire : l’´equation diff´erentielle E est donc ´egalement lin´eaire. Pour r´esoudre une telle ´equation, nous r´esoudrons l’´equation homog`ene associ´ee, et nous en chercherons une solution particuli`ere, obtenant ainsi sa solution g´en´erale.

Dans ce cours, nous nous contenterons d’une ´etude tr`es modeste : nous nous limiterons en effet aux ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre, et aux ´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre deux `a coefficients constants, et avec un second membre simple.

2. Fonction exponentielle complexe

I d´esigne un intervalle d’int´erieur non vide (i.e.comprenant au moins deux points),f et g sont des appli-cations deI dansC.

La fonctionpartie r´eelle (resp.partie imaginaire) def, not´ee Re(f) (resp. Im(f)), est l’application deI dansRvalant Re(f(x)) (resp. Im(f(x))) en toutx∈I.

D´efinition (Parties r´eelle et imaginaire d’une fonction `a valeurs complexes)

2.a

On dit quef estcontinue (resp.d´erivable) si les fonctions Re(f) et Im(f) le sont.

Si f est d´erivable, sa d´eriv´ee, not´eef⁰, est par d´efinition :f⁰ = Re(f)⁰+iIm(f)⁰. D´efinition (Continuit´e et d´erivabilit´e d’une fonction `a valeurs complexes)

2.b

146 St´ephane FLON

CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES 2. FONCTION EXPONENTIELLE COMPLEXE

On supposef d´erivable. On a Re(f)⁰ = Re(f⁰) et Im(f)⁰= Im(f⁰).

D´erivation et parties r´eelle et imaginaire

2.1

On supposef et gd´erivables sur I.

(1) f+g est d´erivable surI, de d´eriv´ee f⁰+g⁰ : (2) f g est d´erivable surI, de d´eriv´eef⁰g+f g⁰;

(3) Pour tout nombre complexeλ,λf est d´erivable surI, de d´eriv´ee λf⁰. Proposition (Op´erations sur les fonctions d´erivables `a valeurs complexes)

2.a

Notonsf_r etf_i (resp.g_r etg_i) les parties r´eelle et imaginaire def (resp. deg).

(1) On af+g= (f_r+g_r) +i(f_i+g_i), doncf+g est d´erivable sur I, et (f+g)⁰= (f_r+g_r)⁰+i(f_i+g_i)⁰ =f⁰+g⁰.

(2) En notant quef g= (frgr−figi) +i(frgi+figr), on constate quef g est d´erivable surI, et que

(f g)⁰ = (f_rg_r−f_ig_i)⁰+i(f_rg_i+f_ig_r)⁰

= (f_r⁰gr+frg_r⁰ −f_i⁰gi−fig_i⁰) +i(f_r⁰gi+frg⁰_i+f_i⁰gr+fig_i⁰)

= (f_r⁰gr−f_i⁰gi) +i(f_r⁰gi+f_i⁰gr) + (frg⁰_r−fig_i⁰) +i(frg_i⁰+fig⁰_r)

= f⁰g+f g⁰.

(3) On applique le r´esultat pr´ec´edent dans le cas o`ug est constante de valeur λ.

D´emonstration

On supposef d´erivable sur I. L’applicatione^f est alors d´erivable surI, et : e^f0

=f⁰e^f.

Proposition (D´erivation de l’exponentielle d’une fonction)

2.b

En notantfr (resp.fi) la partie r´eelle (resp. imaginaire) de f, on a : e^f =e^fre^ifi =e^fr(cos(fi) +isin(fi)).

D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent (sur le produit), on constate quee^f est d´erivable sur I, et que

(e^f)⁰ = f_r⁰e^fr(cos(fi) +isin(fi)) +f_i⁰e^fr(−sin(fi) +icos(fi))

= (f_r⁰ +if_i⁰)e^fr(cos(fi) +isin(fi)) =f⁰e^f. D´emonstration

147 St´ephane FLON

3. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU PREMIER ORDRE CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

3. Equations lin´´ eaires du premier ordre 3.1. D´efinition

On appelle´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1sur I une ´equation du type : E : α(x)y⁰+β(x)y =γ(x),

On appelle´equation diff´erentielle homog`ene (ou sans second membre) associ´ee `aE l’´equation

H : α(x)y⁰+β(x)y= 0 D´efinition ( ´Equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre un)

3.a

On se place dans cette section dans le cas particulier o`uαest la fonction constante ´egale `a 1. Noter que si αne s’annule pas surI, on peut toujours se ramener `a une ´equation de ce type en posanta=<sup>β</sup><sub>α</sub> etb= <sup>γ</sup><sub>α</sub>. Siα s’annule, l’´equation est bien plus compliqu´ee `a r´esoudre, et on dit qu’il y aprobl`eme de raccord, voir la partie 5 (cette partie est un compl´ement de cours, qui peut ˆetre oubli´e dans une premi`ere lecture).

Pour r´esoudreE : y⁰+a(t)y=b(t), on r´esout d’abord l’´equation homog`ene associ´eeH : y⁰+a(t)y= 0.

3.2. R´esolution de l’´equation homog`ene associ´ee

SoitA:I→Kune primitive de la fonctiona sur l’intervalleI. L’ensembleS_H des solutions de l’´equation homog`eneHest :

SH={t7→Ce^−A(t), C∈K}.

Proposition (´Equation diff´erentielle d’ordre un sans probl`eme de raccord)

3.a

On montre d’abord, par un calcul simple, que toute fonction de la formet7→Ce^−A(t), o`u C∈K, est solution deH, prouvant une premi`ere inclusion.

R´eciproquement, on montre que toute solutionϕdeHest de ce type, en introduisant la fonction auxiliaire :

Φ : I → K

t 7→ ϕ(t)e^A(t)

On v´erifie que Φ est d´erivable, de d´eriv´ee nulle sur l’intervalleI, et qu’elle est donc constante.

D´emonstration

L’id´ee derri`ere cette preuve et ce r´esultat est celle defacteur int´egrant : ´etant donn´e une fonctionf, il n’est pas facile de d´eterminer une primitive de f⁰−af. En revanche, en multipliant par le facteur e^−A, on obtient (f⁰−af)e^−A, qui admet f e^−A pour primitive. Ce facteur a permis d’int´egrer la relationf⁰−af = 0 (de plus, on a bien proc´ed´e par ´equivalence puisque ce facteur ne s’annule jamais).

Notons pour la suite que la seule solution de Hs’annulant au moins une fois est la fonction identiquement nulle.

148 St´ephane FLON

CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES 3. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU PREMIER ORDRE

On v´erifie queS_H est un espace vectoriel surK. En fait, on peut ais´ement montrer que, pour toute solution non nulleϕ0deH, on a :

S_H=Kϕ₀(={λϕ₀, λ∈K}).

On dit queSHest unedroite vectorielle(ici, la droite vectorielle engendr´ee parϕ₀).

Ordre un homog`ene sans probl`eme de raccord

3.1

R´esoudre, sur l’intervalle pr´ecis´e : 1y⁰−_1+x^x2y= 0 sur R.

2y⁰+ycotan(x) = 0 sur ]0, π[.

Exercice ( ´Equations diff´erentielles d’ordre 1)

1

R´esoudre l’´equation fonctionnelle

E : ∀(u, t)∈R², f(t+u) =f(t)f(u) d’inconnuef :R→Cd´erivable.

Exercice (Une premi`ere ´equation fonctionnelle)

2

3.3. Recherche d’une solution particuli`ere

Comment faire pour trouver une solution particuli`ere, si on n’en trouve pas d’´evidente ?

Pour chercher une solution particuli`eref deE, connaissant une solution particuli`ere non nulleϕ0 deH, on la cherche sous la forme :

f :t7→C(t)ϕ₀(t),

o`uC est une fonction deI dansKque l’on d´etermine pour que f soit solution de E.

M´ethode (M´ethode de la variation de la constante)

3.2

(1) On trouveraCcomme primitive d’une certaine fonction. Il s’agit en l’occu-rence de la fonctiont7→ _ϕ^b(t)

0(t), mais, plutˆot que d’apprendre cette formule par cœur, il faut savoir la retrouver par un calcul imm´ediat.

(2) Le nom de cette m´ethode provient de ce que si C ´etait une constante,f serait solution deH: nous avons remplac´e la constanteCparam´etrant les solutions de H en une fonction. En retenant ce fait, on peut d´eterminer tr`es rapidement f<sup>0</sup>(t) +a(t)f(t), puisque les termes o`u nous ne d´erivons pasCvont n´ecessairement s’annuler.

(3) Si la r´esolution est trop difficile, on pourra toujours exprimer les solutions sous forme int´egrale.

(4) Certains oublient, lorsqu’ils donnent la solution trouv´ee, de multiplier C avecϕ0!

M´ethode de variation de la constante

3.3

149 St´ephane FLON

3. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU PREMIER ORDRE CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

1Trouver une solution particuli`ere dey⁰+ycotan(x) = sinxsur ]0, π[.

2Trouver les solutions de l’´equation diff´erentielle y⁰− x

1 +x²y= x

1 +x² + 3

√1 +x². Exercice (Ordre un avec second membre)

3

Si b₁ et b₂ sont des fonctions continues sur I telles que b =b₁+b₂, et si f₁ et f₂ sont respectivement solutions de

y⁰+a(x)y=b₁(x) ety⁰+a(x)y=b₂(x), alorsf1+f2est solution deE.

Proposition (Principe de superposition, ordre un)

3.b

La v´erification est facile, et provient de la lin´earit´e de l’´equation diff´erentielle consi-d´er´ee :

D´emonstration

Plus g´en´eralement, sib=Pn

i=1λibi, o`ub1, . . . , bnsont continues deIdansK, etλ1, . . . , λnsont des scalaires, et si pour tout i∈[[1, n]],fi est une solution dey⁰+a(x)y=bi, alorsf =Pn

i=1λifi est une solution deE.

Siaest une fonction `a valeurs r´eelles, et sif est une solution deE, alors Re(f) (resp.

Im(f)) est une solution dey⁰+a(x)y= Re(b)(x) (resp. dey⁰+a(x)y= Im(b)(x)).

Proposition (Passage d’une solution complexe `a une solution r´eelle, ordre un)

3.c

D´emonstration

150 St´ephane FLON

CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES 3. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU PREMIER ORDRE Cette m´ethode est surtout pratique lorsque figurent des termes trigonom´etriques dans le second membre.

On se place dans le cas particulier d’une ´equation diff´erentielle de la formey⁰−µy= P(x)e^λx, o`uµet λsont deux complexes, etP un polynˆome de degr´en.

(1) Si µ 6= λ, cette ´equation admet une unique solution de la forme x 7→

Q(x)e^λx, o`u Qest un polynˆome de degr´en.

(2) Siµ=λ, alors x7→Q(x)e^λx est une solution de cette ´equation, o`u Qest un polynˆome tel queQ⁰=P.

Proposition (Second membre en exponentielle-polynˆome, ordre un)

3.d

En pratique, pour le premier cas, on proc`ede paridentification.

Nous admettons (provisoirement) ce r´esultat, mais on peut observer que la seconde situation est un cas particulier de variation de la constante.

D´eterminer les solutions surRet `a valeurs r´eelles de : 1y⁰−2y= (x²+ 1)e^4x+ (x³−x²+x+ 1)e^2x. 2y⁰+y=xe^3xcos(x) + (x−1)e^−x.

Exercice (Ordre un et second membre en exponentielle-polynˆome)

4

3.4. R´esolution g´en´erale La r´esolution pratique d’une ´equation du type

E : y⁰+a(x)y=b(x) se d´eroule donc de la fa¸con suivante :

Etape 1 :´ r´esolution de l’´equation homog`ene asssoci´eeH; Etape 2 :´ recherche d’une solution particuli`ere :

Etape 2.1 :´ recherche d’une solution particuli`ere ´evidente ;

Etape 2.2 (si 2.1 ´´ echoue) :recherche d’une solution particuli`ere `a l’aide des m´ethodes expos´ees ci-dessus, la m´ethode de la variation de la constante ne venant en principe qu’en dernier recours ;

Etape 3 :´ solution g´en´erale deE, exprim´ee comme somme de la solution particuli`ere trouv´ee, et de la solution g´en´erale deH.

3.5. Probl`eme de Cauchy pour l’ordre 1

De mani`ere informelle, on appelleprobl`eme de Cauchy la donn´ee d’une ´equation diff´erentielle surI d’ordre n, et de valeurs impos´ees pour la fonction ainsi que ses d´eriv´ees jusqu’`a l’ordren−1 en un point donn´ex<sub>0</sub>de I. Dans les casfavorables, il y aura existence et unicit´e d’une solution `a un probl`eme de Cauchy.

Soit (x0, y0)∈I×K. On appellesolution au probl`eme de Cauchy associ´e `a l’´equation diff´erentielle

E : y⁰+a(t)y=b(t)

et la condition initialey(x0) =y0 toute solution f deE surItelle quef(x0) =y0. D´efinition (Probl`eme de Cauchy pour l’ordre un)

3.b

Soit (x0, y0)∈I×K. Il existe une unique solutionf deE surItelle quef(x0) =y0. Proposition (Probl`eme de Cauchy pour l’ordre un)

3.e

151 St´ephane FLON

3. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU PREMIER ORDRE CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

D´emonstration

Dans le cas o`u K=R, le graphe de toute solution de E est appel´ecourbe int´egrale. L’assertion pr´ec´edente montre que par un point quelconque deI×Rpasse une unique courbe int´egrale.

Illustration

152 St´ephane FLON

CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES 4. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU SECOND ORDRE

4. Equations lin´´ eaires du second ordre 4.1. D´efinition

On appelle´equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre une ´equation du type : E : α(x)y⁰⁰+β(x)y⁰+γ(x)y=δ(x),

o`uα,β,γ etδsont des fonctions continues surI, `a valeurs dansK.

δ (ouδ(x)) est appel´e second membre de E, et on dit que E est homog`ene si son second membre est nul.

Une fonctionf deIdansKest unesolution deE si : (1) f admet une d´eriv´ee seconde surI;

(2) ∀x∈I, α(x)f⁰⁰(x) +β(x)f⁰(x) +γ(x)f(x) =δ(x).

On appelle´equation diff´erentielle homog`ene (ou sans second membre) associ´ee `aE l’´equation

H : α(x)y⁰⁰+β(x)y⁰+γ(x)y= 0.

D´efinition ( ´Equation diff´erentielle lin´eaire du second ordre `a coefficients constants)

4.a

Ces ´equations sont en g´en´eral trop difficiles `a r´esoudre. On se contentera d’´etudier le cas o`u α, β, γ sont des fonctions constantes (´egales respectivement `aa,b,c, o`ua6= 0). De mˆeme, on ne r´esoudraE que dans le cas de seconds membres d’un type particuler.

Dans toute la suite, on s’int´eresse aux ´equations

E : ay⁰⁰+by⁰+cy=δ(x) et

H : ay⁰⁰+by⁰+cy= 0.

4.2. R´esolution de l’´equation homog`ene

L’´equationaz²+bz+c= 0 (d’inconnue complexe z) est appel´ee ´equation caract´ e-ristique de H (etE), et sera not´eeC dans la suite. Le polynˆomeaX²+bX+c est appel´epolynˆome caract´eristique deE.

D´efinition ( ´Equation caract´eristique)

4.b

Pourquoi introduire cette ´equation caract´eristique ? On montre ais´ement que pour toutr∈C, l’application t7→e^{r t} est solution deHsi et seulement sir est solution deC.

La r´esolution diff`ere selon que K=RouK=C.

(1) siC admet deux solutions distinctes r1 et r2, l’ensemble SH des solutions deHest :

S_H={t7→C1e^r1t+C2e^r2t,(C1, C2)∈C²}

(2) siC admet une solution doubler, l’ensembleSH des solutions deHest : S_H={t7→(λt+µ)e^rt,(λ, µ)∈C²}

Proposition (R´esolution de l’´equation homog`ene pour l’ordre 2, cas complexe)

4.a

153 St´ephane FLON

4. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU SECOND ORDRE CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

Soitrune solution deC. On cherche les solutions deHsous la formef :t7→C(t)e^rt, o`u C est une fonction deux fois d´erivable sur R (toute solution peut bien s’´ecrire sous cette forme, cart7→e^rt est deux fois d´erivable et ne s’annule pas).

La fonctionf est deux fois d´erivable, et, pour tout r´eel t: f⁰(t) = (C⁰(t) +rC(t))e^rt,

f⁰⁰(t) = (C⁰⁰(t) + 2rC⁰(t) +r²C(t))e^rt, de sorte que

af⁰⁰(t) +bf⁰(t) +cf(t) = (aC⁰⁰(t) + (2ra+b)C⁰(t) + (ar²+br+c)C(t))e^rt

= (aC⁰⁰(t) + (2ra+b)C⁰(t))e^rt. Ainsi,f est solution deHsi et seulement siC⁰ est solution de :

ay⁰+ (2ra+b)y= 0.

(1) Supposons queCadmette deux solutions distinctesr=r1 etr2 (telles que r1+r2=−b/a),i.e.2ra+b6= 0.

f est solution de H si et seulement si il existe un complexe A tel que, pour tout r´eel t : C⁰(t) = Aexp (−(2ra+b)t/a), ce qui revient, en int´egrant, `a l’existence de complexesA⁰ et B⁰ tels que :

C(t) =A⁰exp (−(2r+b/a)t) +B⁰, pour certains complexesA⁰ etB⁰.

Finalement, la solution g´en´erale deHest bien

t7→(A⁰exp (−(2r+b/a)t) +B⁰)e^rt=A⁰e^r2t+B⁰e^r1t, o`uA⁰ etB⁰ d´ecriventC.

(2) Supposons queCadmette une unique solutionr: la condition surCsignifie queCest affine, et on trouve donc bien la solution g´en´erale voulue.

D´emonstration

En pratique, le discriminant ∆ de l’´equation caract´eristique permet de d´eterminer le type de l’ensemble des solutions. Le premier cas se produit lorsque ∆6= 0, le second lorsque ∆ = 0.

On peut retenir dans cette d´emonstration l’id´ee de faire, `a nouveau, varier la constante, ce qui a eu effet debaisserl’ordre de l’´equation diff´erentielle (On cherche Ccomme primitive d’une solution d’une ´equation diff´erentielle d’ordre 1).

Donner les solutions complexes de :y⁰⁰−6y⁰+ 25y= 0 Exercice (Ordre deux homog`ene, cas complexe)

5

(1) si C admet deux solutions r´eelles distinctes r₁ et r₂, l’ensemble S_H des solutions deHest :

S_H={t7→C₁e^r1t+C₂e^r2t,(C₁, C₂)∈R²}

(2) siC admet une solution doubler, l’ensembleS_H des solutions deHest : SH={t7→(λt+µ)e^rt,(λ, µ)∈R²}

(3) siCadmet deux solutions complexes non r´eelles et conjugu´eesret ¯r(´ ecri-vonsr=γ+iω sous sa forme alg´ebrique), l’ensemble S_Hdes solutions de Hest :

SH={t7→e^γt(λcos(ωt) +µsin(ωt)), λ, µ∈R}

Proposition (R´esolution de l’´equation homog`ene pour l’ordre 2, cas r´eel)

4.b

154 St´ephane FLON

CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES 4. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU SECOND ORDRE

Montrons seulement le dernier cas, qui est le plus compliqu´e. Tout d’abord, on constate que toute fonction de cet ensemble est bien solution de H, d’apr`es le cas complexe et la formule d’Euler, et `a valeurs r´eelles.

R´eciproquement, soitf une solution deH`a valeurs r´eelles. D’apr`es le cas complexe, il existe des nombres r´eelsA, B, C, Dtels que, pour toutt∈R:

f(t) = (A+iB)(cos(ωt) +isin(ωt))e^γt+ (C+iD)(cos(ωt)−isin(ωt))e^γt La fonctionf ´etant `a valeurs r´eelles, f = Re(f), et il vient alors

f(t) = ((A+C) cos(ωt) + (−B+D) sin(ωt))e^γt. La fonctionf s’´ecrit donc bien sous la forme souhait´ee.

D´emonstration

Encore une fois, le discriminant ∆ de l’´equation caract´eristique permet de d´eterminer dans quelle situation on se trouve. Le premier cas se produit lorsque ∆>0, le deuxi`eme lorsque ∆ = 0, le dernier lorsque ∆<0.

Dans le troisi`eme cas, la solution g´en´erale deHpeut ´egalement s’´ecrire t7→Acos(ω(t−t0))e^γt,

o`uAet t0 d´ecriventR.

Donner les solutions r´eelles de :y⁰⁰−6y⁰+ 25y= 0.

Exercice (Ordre deux homog`ene, cas r´eel)

6

Soitω∈R^∗+. R´esoudrey⁰⁰+ω²y= 0 ety⁰⁰−ω²y= 0.

Exercice ( ´Equations diff´erentielles physiques)

7

Dans tous les cas, une solution g´en´erale deHs’´ecrit donc t7→C₁h₁(t) +C₂h₂(t),

o`uh<sub>1</sub>eth<sub>2</sub>sont deux solutions particuli`eres non proportionnelles deH, etC₁etC₂ sont des scalaires quelconques.

On dit que toute solution est combinaison lin´eaire des deux fonctionsh₁ et h₂, et queS_H est unplan vectoriel de base (h₁, h₂).

Ensemble des solutions et plan vectoriel

4.1

4.3. Recherche d’une solution particuli`ere deE

Comme dans le cas d’une ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre, une solution g´en´erale deEs’´ecrira comme la somme d’une solution particuli`ere de E, et d’une solution g´en´erale de l’´equation homog`ene associ´ee H. Comment faire pour trouver une solution particuli`ere, si on n’en trouve pas d’´evidente ?

Si δ₁ et δ₂ sont des fonctions continues surI telles queδ =δ₁+δ₂, et sif₁ et f₂ sont respectivement solutions de

ay⁰⁰+by⁰+cy=δ1(x) et ay⁰⁰+by⁰+cy=δ2(x), o`uδ1et δ2 sont des fonctions continues, alorsf1+f2est solution deE.

Proposition (Principe de superposition, ordre deux )

4.c

155 St´ephane FLON

4. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU SECOND ORDRE CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

D´emonstration

Sia, b, csont r´eels, et sifest solution deE, alors Re(f) et Im(f) sont respectivement solutions de

ay⁰⁰+by⁰+cy= Re(δ(x)) et ay⁰⁰+by⁰+cy= Im(δ(x)) Proposition (Passage d’une solution complexe `a une solution r´eelle)

4.d

Si on emploie cette m´ethode, bien penser `a pr´eciser que les coefficientsa,b etc sont r´eels.

On admet¹le r´esultat suivant, souvent utile :

On se place dans le cas o`uδest de la formet7→P(t)e^αt, pour un certain polynˆome P de degr´en, et un certain nombre complexeα.

(1) siαn’est pas solution de l’´equation caract´eristique, E admet une unique solution de la formet7→Q(t)e^αt, o`uQest de degr´en;

(2) siαest l’une des deux solutions de l’´equation caract´eristique,Eadmet une unique solution de la forme f : t 7→tQ(t)e^αt, o`u Qest un polynˆome de degr´en;

(3) siαest l’unique solution de l’´equation caract´eristique, alorsf :t7→Q(t)e^αt tel queaQ⁰⁰=P est solution deE,

M´ethode (Second membre en exponentielle-polynˆome, ordre deux)

4.2

Combin´e au principe de superposition et au passage d’une solution complexe `a une solution r´eelle, cette m´ e-thode permet de r´esoudre une ´equation o`u le second membre est du typeδ:t7→e^νt(P1(t) sin(ωt) +P2(t) cos(ωt)).

4.4. R´esolution de E

Soitφune solution particuli`ere deE, et soith1 et h2 deux solutions non multiples deH. L’ensembleSE des solutions deE surI est :

SE ={t7→φ(t) +C1h1(t) +C2h2(t), C1, C2∈K}.

Proposition (R´esolution pour l’ordre deux)

4.e

1. on peut cependant ais´ement montrer `a la main la derni`ere affirmation

156 St´ephane FLON

CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES 4. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU SECOND ORDRE

D´emonstration

Nous admettons le r´esultat suivant d’alg`ebre lin´eaire :

Sia, b, c, dsont quatre scalaires v´erifiantad−bc6= 0, alors, pour tout choix pr´ealable de scalairesαetβ, le syst`eme lin´eaire

ax+by = α cx+dy = β admet un unique couple solution deK².

Lemme Syst`eme de Cramer d’ordre deux

4.f

Soit (x₀, y₀, y₀⁰)∈R×K×K. Il existe une unique solutionf deEtelle quef(x₀) =y₀ et f⁰(x₀) =y⁰₀.

Proposition (Probl`eme de Cauchy pour l’ordre 2)

4.g

On admet cette proposition. Pour ceux qui le souhaitent, voici une esquisse de d´emonstration, `a compl´eter.

157 St´ephane FLON

4. ´EQUATIONS LIN ´EAIRES DU SECOND ORDRE CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES

Traiter d’abord le cas complexe, en prenanth1 eth2comme dans 4.a page 153 :

Expliquer pourquoi le cas complexe permet de traiter le cas r´eel : D´emonstration

Pour toute donn´ee d’un point (x₀, y₀) du plan et d’un r´eel m, il passe une unique courbe int´egrale passant en (x₀, y₀) avec une pentem.

Illustration Probl`eme de Cauchy pour l’ordre 2, cas r´eel

4.3

R´esoudre surR

1y⁰⁰+ 2y⁰+ 5y= cos²t.

2y⁰⁰−4y⁰+ 4y= (t²+tcos(2t) + 1)e^2t.

Exercice ( ´Equations d’ordre deux, second membre en exponentielle-polynˆome)

8

158 St´ephane FLON

CHAPITRE VI. ´EQUATIONS DIFF ´ERENTIELLES 5. PROBL `EME DE RACCORD Nous avons donc un plan de r´esolution des ´equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre `a coefficients constants, analogue `a celui donn´e plus haut dans le cas de l’ordre un.

5. Probl`eme de raccord pour l’ordre 1 (hors-programme) On revient ici au cas d’une ´equation lin´eaire d’ordre 1 :

5. Probl`eme de raccord pour l’ordre 1 (hors-programme) On revient ici au cas d’une ´equation lin´eaire d’ordre 1 :

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