LE CORPS DES NOMBRES R ´ EELS CHAPITRE VIII. SUITES

Toute partie non vide minor´ee deRadmet une borne inf´erieure.

Corollaire (Propri´et´e de la borne inf´erieure)

1.a

SoitAune partie non vide et minor´ee deR, mettons para. L’ensemble−Aest non vide et major´e (par −a), donc admet une borne sup´erieure b. On v´erifie ais´ement que −b est un minorant de A, et que pour tout r´eel ε strictement positif, −b+ε n’est pas un minorant deA:Aadmet−bpour borne inf´erieure dansR.

D´emonstration

Restarchim´edien : soitx∈R,a∈R^∗+. Il existe un entier naturelntel que :na > x.

Proposition (Le corps des r´eels est archim´edien)

1.b

On raisonne par l’absurde, en supposant qu’il n’existe pas de tel entiern. L’ensemble A={na, n∈N}est non vide, major´e parx, et admet donc une borne sup´erieureb.

Commebest un majorant deA, pour tout entier natureln, on a : na6b

En particulier, pour tout entier natureln, (n+ 1)a6b b−aest donc un majorant de A, ce qui est absurde.

D´emonstration

Etant donn´´ es deux r´eelsaetx, aveca >1, il existe un entiern∈Ntel queaⁿ> x.

Corollaire (Puissances d’un nombre sup´erieur `a un)

1.c

Ecrivons´ a= 1 +h(h >0). D’apr`es la formule du binˆome de Newton^a, on a, pour tout entier natureln:

(1 +h)ⁿ>nh

CommeRest archim´edien, il existe un entierntel quenh > x, d’o`u le r´esultat.

a. Ou par r´ecurrence, entraˆınez-vous `a le montrer ainsi.

D´emonstration

Faire l’exercice 6 de TD.

Exercice (Borne sup´erieure)

1

180 St´ephane FLON

CHAPITRE VIII. SUITES 1. LE CORPS DES NOMBRES R ´EELS 1.2. Caract´erisation des intervalles

Une partieX de Rest diteconvexe si elle contient le segment joignant deux quel-conques de ses points.

D´efinition (Partie r´eelle convexe)

1.a

Les intervalles de Rsont les convexes deR. Proposition (Intervalles et convexes)

1.d

Tout intervalle deRest convexe : le montrer pour [a, b[.

R´eciproquement, soit I un convexe de R. Si I est de cardinal 0 ou 1, c’est un intervalle : supposons queIcomprenne au moins deux ´el´ements. SiIest born´e, soit a= infI et b = supI. On a a, b∈ R et a < b. On va montrer que ]a, b[⊂I. Soit c ∈]a, b[ : par d´efinition de a et de b, il existe deux ´el´ements x et y de I tels que x < c < y. Par convexit´e deI,c∈[x, y]⊂I. On a donc ]a, b[⊂I⊂[a, b] : dans les quatre cas possibles,I est bien un intervalle.

Si par exempleIest minor´e et non major´e, soita= infI. On montre que ]a,+∞[⊂I.

Soitc∈]a,+∞[ : il existe deux ´el´ementsxetydeItels quex < c < y. Par convexit´e deI,c∈I. D`es lors,Ivaut ]a,+∞[ ou [a,+∞[ : dans tous les cas, c’est un intervalle.

De mˆeme dans les autres cas.

D´emonstration

1.3. Valeurs approch´ees, densit´e des rationnels

Etant donn´´ esx∈R, a∈R^∗+, il existe un unique entier relatifntel que na6x <

(n+ 1)a.

Proposition (Partie enti`ere)

1.e

Existence : commeRest archim´edien, on peut trouver un entierk tel quex < ka.

L’ensemble Ω ={k⁰ ∈Z, k⁰a6x}est donc major´e park, et le caract`ere archim´edien deR montre encore qu’il est non vide. Son plus grand ´el´ement nest tel quena6 x <(n+ 1)a.

Unicit´e :

D´emonstration

On d´efinit larelation de congruence modulo asurRpar

∀(x, y)∈R²,(x≡y[a])⇔(∃n∈Z, y=x+na).

181 St´ephane FLON

1. LE CORPS DES NOMBRES R ´EELS CHAPITRE VIII. SUITES D’apr`es la proposition pr´ec´edente, pour tout r´eelx, il existe un uniquey∈[0, a[ tel quex≡y[a].

Si xest un r´eel, l’unique entier relatifn v´erifiant n6x < n+ 1 s’appelle lapartie enti`ere dex, et se noteE(x),[x], oubxc.

D´efinition (Partie enti`ere)

1.b

Soitxun r´eel, etnun entier naturel. Il existe un unique entier relatifmn tel que m_n10⁻ⁿ 6x <(m_n+ 1)10⁻ⁿ

Le r´eelα_n=m_n10⁻ⁿ (resp.β_n= (m_n+ 1)10⁻ⁿ) est appel´eapproximation d´ecimale dex`a 10<sup>−n</sup> pr`es pard´efaut (resp. parexc`es).

D´efinition (Approximations d´ecimales)

1.c

La fonction n7→α_n (resp.n7→β_n) est croissante (resp. d´ecroissante) :

Nous verrons plus tard que ces deux suites sont adjacentes, et que leur limite commune estx.

Soit A une partie de R. On dit A dense dans R si A rencontre tout intervalle de longueur non nulle.

D´efinition (Partie dense de r´eels)

1.d

A est dense dansRsi et seulement si pour tout (a, b)∈R², o`ua < b, A∩]a, b[6=∅, ou encore : entre deux r´eels quelconques, on peut trouver un ´el´ement deA.

Illustration

Qest dense dansR.

Proposition (Densit´e des rationnels dans les r´eels)

1.f

Soita, b∈R, o`ua < b.

Soitnun entier naturel tel que 10⁻ⁿ< b−a, etmn l’entier tel que : mn10⁻ⁿ6a <(mn+ 1)10⁻ⁿ

On aa <(mn+ 1)10⁻ⁿ6a+ 10⁻ⁿ < b.

D´emonstration

182 St´ephane FLON

CHAPITRE VIII. SUITES 2. SUITES DE NOMBRES R ´EELS : PREMI `ERES D ´EFINITIONS

L’ensembleR\Qdes nombres irrationnels est dense dansR. Proposition (Densit´e des irrationnels dans les r´eels)

1.g

Soita, b∈R, o`ua < b. Il existe un nombre rationnelrdans l’intervalle ]a−√ 2, b−

√2[. Le nombre irrationnel r+√

2 appartient `a ]a, b[.

D´emonstration

Faire l’exercice 3 de TD.

Exercice (Sous-groupes additifs r´eels)

2

2. Suites de nombres r´eels : premi`eres d´efinitions

On appellesuite de nombres r´eelstoute famille d’´el´ements deRindex´ee parN. Leur ensemble est not´eR^N. Une suite sera le plus souvent not´ee sous forme indic´ee, i.e.

on ´ecrirau= (un)_n∈N.

un est appel´e le terme derang (ou d’indice)ndeu, outerme g´en´eral.

u0est appel´eterme initial.

D´efinition (Suite de nombres r´eels)

2.a

Une suiteu= (un)_n∈N de nombres r´eels est ditconstante si

∀n∈N, un+1=un.

La suiteuest ditestationnaire si elle est constante `a partir d’un certain rang,i.e.

∃n₀∈N, ∀n>n₀, u_n+1=u_n. D´efinition (Suite stationnaire)

2.b

Notre ´etude portant principalement sur le comportement `a l’infini, nous ne faisons pas de grande diff´erence entre une suite constante et une suite stationnaire. Plus g´en´eralement, il faut bien comprendre que le comporte-ment `a l’infini d’une suite n’a aucun lien avec son comportement en un nombre fini d’indices fix´es. En particulier, le comportement `a l’infini d’une suite n’est pas modifi´e si on en change ou mˆeme supprime un nombre fini de termes.

Siuetv sont deux suites de nombres r´eels, lasomme u+vde ces suites est la suite de terme g´en´eralun+vn. On d´efinit ainsi une loi de composition interne d’addition surR^N.

Soitu= (un)_n∈Nune suite r´eelle, et soitλ∈R. On d´efinit la suiteλu, suite dont le terme g´en´eral estλun. Cela d´efinit une loi de multiplication scalaireR×R^N→R^N.

D´efinition (Op´erations sur les suites)

2.c

Si λ, µ∈R, etu, v∈R^N, alorsλu+µv∈R^N,i.e.R^Nest stable par combinaison lin´eaire.

183 St´ephane FLON

2. SUITES DE NOMBRES R ´EELS : PREMI `ERES D ´EFINITIONS CHAPITRE VIII. SUITES

L’ensembleR^N, muni de la loi de composition interne d’addition et de la loi externe de multiplication scalaire est un espace vectoriel r´eel : pour toutes suites r´eelles u et v, tous r´eelsλetµ, on a :

(1) (R^N,+) est un groupe commutatif ; (2) λ(µu) = (λµ)u;

(3) 1.u=u;

(4) (λ+µ)u=λu+µu; (5) λ(u+v) =λu+λv.

Th´eor`eme (Structure d’espace vectoriel sur les suites)

2.a

Soituetvdeux suites r´eelles. Leproduit uvdeuet dev est la suite r´eelle de terme g´en´eralunvn.

D´efinition (Produit de suites)

2.d

(R^N,+,×) est un anneau commutatif.

Proposition (Structure d’anneau sur les suites)

2.b

En outre, pour tout r´eel λ, toutes suites r´eellesuetv, on a : (λu)v=λ(uv).

On dit alors que R^N est une R-alg`ebre (c’est une sorte de super-structure combinant espaces vectoriels et anneaux).

Soitu, v∈R^N. On ´ecritu6vlorsque u_n6v_n, pour toutn∈N. D´efinition (Ordre sur les suites)

2.e

Selon nos conventions, u < vsignifieu6v et u6=v. En particulier, 0< u(ouu >0) signifie que la suite est `a termes positifs ou nuls, non tous nuls : elle n’est pas forc´ement `a termes tous strictement positifs.

Cet ordre n’est pas total :

On d´efinit comme on l’a fait plus g´en´eralement dans le chapitre sur les relations d’ordre les notions de suites major´ees, minor´ees, born´ees, de suites monotones, strictement monotones. Au passage, on peut noter qu’une suiteuest born´ee si et seulement si|u|est major´ee.

Pour la croissance d’une suite u, la d´efinition est

∀m, n∈N, (m6n)⇒(um6un).

On lui pr´ef`ere souvent l’assertion ´equivalente suivante :

∀n∈N, u_n 6u_n+1.

184 St´ephane FLON

CHAPITRE VIII. SUITES 3. LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES R ´EELS

D´eterminer si les sous-ensembles suivants de suites r´eels sont des sous-espaces vec-toriels (parties non vides stables par combinaisons lin´eaires) ou des sous-anneaux (parties comprenant l’´el´ement unit´e, stables par diff´erence et par produit) deR^N:

(1) L’ensembleB(R^N) des suites r´eelles born´ees.

(2) L’ensemble des suites r´eelles major´ees.

(3) L’ensemble des suites r´eelles major´ees ou minor´ees.

(4) L’ensemble des suites r´eelles croissantes.

(5) L’ensemble des suites r´eelles monotones.

(6) L’ensemble des suites r´eelles sommes d’une suite croissante et d’une suite d´ecroissante.

Exercice (Stabilit´e de sous-ensembles de suites)

3

3. Limite d’une suite de nombres r´eels

On dit que la suiteu= (un)_n∈Nconverge (outend) vers un r´eell∈Rlorsque

∀ε∈R^∗+,∃N ∈N,∀n∈N, (n>N)⇒(|un−l|6ε).

S’il existe un r´eel l tel que la suite converge vers l, on dit que la suite est conver-gente, ou encore qu’elleadmet une limite finie. Une suite non convergente est dite divergente.

D´efinition (Limite d’une suite de nombres r´eels)

3.a

Proposer des r´e´ecritures vari´ees du fait qu’une suite r´eelle uconverge vers le r´eell.

Exercice (Convergence d’une suite r´eelle)

4

Illustration

Ecrire dans le registre formel le fait qu’une suite r´´ eelleudiverge.

Exercice (Divergence d’une suite r´eelle)

5

Changer la valeur de la suite u en un nombre fini d’indices ne change rien `a son ´eventuelle convergence.

Cette d´efinition traduit donc bien le caract`ere asymptotique de cette notion.

185 St´ephane FLON

3. LIMITE D’UNE SUITE DE NOMBRES R ´EELS CHAPITRE VIII. SUITES

On dit que la suite (un)_n∈Ndiverge (outend) vers +∞(resp.−∞) si :

∀M ∈R,∃N ∈N,∀n>N, un>M (resp. ∀M ∈R,∃N ∈N,∀n>N, un 6M) D´efinition (Divergence d’une suite r´eelle vers plus ou moins l’infini)

3.b

Dans le

cas o`u la suite u tend vers une limitel ∈ R¯, on note indiff´eremment lim

n∞u_n = l,u_n →n∞ l, u→l, ou encore limu=l.

Proposer des r´e´ecritures vari´ees du fait qu’une suite r´eelle udiverge vers +∞.

Exercice (Divergence d’une suite r´eelle vers l’infini)

6

Une suite admet au plus une limite.

Proposition (Unicit´e de la limite)

3.a

D´emonstration

Ne pas oublier qu’en g´en´eral, une suite r´eelle n’admet pas de limite (finie ou non). La notation lim

n un

ne peut ˆetre employ´ee que si on a ´etabli (ou suppos´e) l’existence de cette limite. Pour bien distinguer le type de divergence, on dit parfois qu’une suite r´eelle divergeant vers +∞ou−∞estdivergente de premi`ere esp`ece, et que les suites n’admettant pas de limite sont divergentes de seconde esp`ece.

186 St´ephane FLON

Dans le document Cours de math´ematiques de MPSI (2013-2014) St´ephane Flon (Page 180-187)