σ∆(V)respecte le Théorème des pyramides. L'ensemble des séquences dentravaux compa-tible avecσ∆(V)représente l'ensemble dominantSdom. Une séquencesest dite compatible avec la séquence maître-pyramide σ∆(V) si l'ordre des travaux dans s ne contredit pas les ordres possibles dénis par σ∆(V). Ceci sera noté dans la suite pars ⋐σ∆(V).
Examinons à présent la complexité temporelle liée à la construction d'une séquence maître-pyramide. L'algorithme de détermination des sommets et des pyramides, nécessitant de comparer chaque paire de travaux, a une complexité en O(n2) (cf [Briand et al. 03b]). Une fois les sommets et les pyramides déterminés, la construction de la séquence maître-pyramide se ramène à un ensemble de tris (deux pour chaque maître-pyramide) de complexité
O(nlogn). La complexité au pire est donc enO(n2). Pour construire une séquence maître-pyramide, nous proposons l'algorithme décrit sur la Figure3.5. On suppose que les travaux deV ont été triés par ordre de date de disponibilité croissant et que l'ensemble∆des tra-vaux sommets est connu. Comme les tratra-vaux communs aux pyramides Pk etPk+1 peuvent être séquencés dans un ordre arbitraire (les permutations sont temporellement équiva-lentes), d'après la dénition de la séquence maître-pyramide, seuls les travaux appartenant àPi et pas àPi−1 gurent dansαi. Enn, J est l'ensemble des travaux qui sont déjà placés dans σ∆(V).
Proc CREATION-SIGMA-DELTA() 1. for each job i∈V
2. do σ∆(V)←σ∆(V)∪i 3. J ←J ∪i
4. if i∈∆ then
5. for each job j ∈J such thatdj ≥di
6. do σ∆(V)←σ∆(V)∪j (in increasing order of due dates) FinProc
Fig. 3.5: Algorithme de construction de σ∆(V)
Considérons à nouveau l'exemple de 6 travaux donné sur la Figure 3.3. Selon l'algo-rithme de construction décrit sur la Figure 3.5, la séquence maître-pyramide associée au problème est :
σ∆(V) = (4,5,3,1,3,4,5,6,2,5,6)
On peut vérier que toutes les séquences possibles de 6 travaux compatibles avec la séquence maître-pyramideσ∆(V), correspondent aux 24 séquences dominantes décrites sur la Figure 3.4 et déduites de l'application du Théorème des pyramides.
48 Structure d'intervalles et dominance
3.3.2 Relation entre ordre totaux et la séquence maître-pyramide
Dans les sections précédentes, nous avons d'une part rappelé que pour un problème V
de n travaux déni par un ordre total entre les ri et di des jobs i ∈ V, le Théorème des pyramides dénit une condition analytique de dominance permettant de caractériser un en-semble de séquences dominantes Sdom. D'autre part, en introduisant la notion de séquence maître-pyramide, nous avons montré que toutes les séquences dominantes caractérisées par le Théorème des pyramides, i.e. Sdom, sont compatibles avec la séquence maître-pyramide
σ∆(V). On peut ainsi dire que pour tout problèmeV dentravaux est associée une séquence maître-pyramide, elle même dénissant l'ensemble de séquences dominantes.
Dans cette section, nous montrons, étant donné une séquence maître-pyramide et son ensemble correspondantSdomde séquences dominantes, que plusieurs ordres totaux peuvent être dénis pour la même séquence maître-pyramide, et donc, le même ensemble Sdom de séquences dominantes. Autrement dit, des problèmes possédant des structures d'intervalles distinctes peuvent avoir un même ensemble de séquences dominantes.
3.3.2.1 Description et notation
Proposition 3.1. Si deux travauxietj sont tel que iprécède forcémentj dans la séquence maître-pyramide i.e. appartiennent à deux pyramides consécutives diérentes, alors l'ordre total entre les dates de début et de n des deux travaux est soit, ri < di ≤rj < dj ou bien,
ri < rj < di < dj.
Démonstration. Évidente du fait que sii≺j alors nécessairementri < dj tandis que l'ordre entre rj et di peut être quelconque avec ri < di et rj < dj. La cas où ri ≤ rj < di ≤ dj, n'est envisageable que si l'ensemble des travaux de la séquence maître sont constitués uniquement de sommets.
Nous introduisons à présent la notion d'ensemble d'ordres totaux que nous notons EOT, modélisé par un graphe particulier à partir duquel il est possible de dériver tous les ordres totaux relatifs à une séquence maître-pyramide donnée. EOT est un graphe constitué de n÷uds et d'arcs. Chaque n÷ud correspond à une date de début ou une date de n d'un travail donné, et un arc relie deux n÷uds ni et nj si ni ≤ nj. La Figure 3.6 schématise le graphe EOT relatif à deux travaux i et j d'une séquence maître pyramide σ∆(V) = (i, j) i
et j étant deux sommets, respectant la Proposition 3.1. Le graphe EOT représente l'ordre partiel de σ∆(V).
Tout ordre total est une extension linéaire de l'ordre partiel dénit par le graphe EOT. Si on considère l'exemple de la Figure 3.6, les ordres totaux ri < rj < di < dj et ri < di ≤
3.3 Notion de séquence maître-pyramide 49
Fig. 3.6: Graphe EOT relatif à deux jobs i≺j
Proposition 3.2. Étant donnée une séquence maître pyramide à structure pyramidale unique (une seule pyramide) alors l'ordre total lui correspondant est unique.
Démonstration. Évidente.
Lemme 3.1. Étant donnée une séquence maître pyramide à plusieurs structures pyra-midales alors il existe plusieurs ordres totaux (problèmes) pour la même séquence maître pyramide.
Démonstration. Évidente d'après la Proposition ??. 3.3.2.2 Exemple illustratif
Considérons à nouveau l'exemple de la Section 3.2.3 et sa séquence maître-pyramide correspondante σ∆(V) = (4,5,3,1,3,4,5,6,2,5,6). Le graphe EOT correspondant est re-présenté sur la Figure 3.7 suivante :
Fig. 3.7:EOT correspondant à σ∆(V) de l'exemple de la Section 3.2.3
Étant donnée la séquence maître-pyramideσ∆(V) = (4,5,3,1,3,4,5,6,2,5,6), on peut remarquer que les relations de précédence sont strictes entre les couples de travaux (1,6), (3,6), (4,6), (1,2), (3,2) et (4,2). La Proposition3.1 leur est ainsi appliquée ceci d'une part. D'autre part, sachant la structure pyramidale est à deux sommets, P{1} etP{2}, avec les travaux 3 et 4 appartenant uniquement à la première pyramide, le travail 6 appartenant uniquement à la seconde pyramide, alors que le travail 5 appartient aux deux pyramides, les sous-ordres totaux suivants sont alors imposés :r4 < r5 < r3 < r1 < d1 < d3 < d4 < d5 < d6
et r4 < r5 < r3 < r1 < r6 < r2 < d2 < d5 < d6. Nous déduisons ainsi le graphe EOT donné sur la Figure 3.7 décrivant l'ordre partiel des travaux de l'exemple. Si on se focalise sur le travail 6, on remarque que le n÷ud r6 peut être placé soit avant d1, entre d1 et d3, ou
50 Structure d'intervalles et dominance entred3 etd4, ou bien aprèsd4. Sa position est aussi conditionnée par celle du n÷ud r2 qui comme le n÷ud r6, peut être placé soit avant d1, entre d1 et d3, ou entre d3 etd4 ou bien après d4. Ainsi, il est possible de déduire tous les ordres totaux, en énumérant les ordres topologiques compatibles avec l'ordre partiel donné par EOT. On peut alors compter un ensemble de 10 ordres totaux avec des inégalité strictes, i.e. 10 problèmes diérents (cf. Figure 3.8), dénissant le même ensemble de séquences dominantes que celui donné sur la Figure 3.4.
Fig. 3.8: Ensemble des ordre totaux correspondant aux extensions linéaires de l'ordre partiel donné sur la gure3.7
Remarquons que l'ordre total donné en souligné dans la Figure3.8, est l'ordre total cor-respondant à l'exemple de la Figure 3.3 à partir duquel nous avons déduit tous les ordres totaux ayant la même séquence maître pyramideσ∆(V) = (4,5,3,1,3,4,5,6,2,5,6).
Nous avons dans cette section, sachant que le Théorème des pyramides caractérise pour tout problème déni par une structure d'intervalles donnée (i.e. un ordre total donné) un ensemble de séquences dominantes, montré qu'il peut exister plusieurs problèmes (ordres totaux) dont l'ensemble de séquences dominantes est le même.