Les recherches visant la mise en évidence de conditions de dominance prennent classi-quement en compte la nature particulière du problème étudié an de déduire des propriétés. Ces conditions permettent de réduire l'espace de recherche, et conduisent ainsi à la concep-tion de méthodes de résoluconcep-tion, elles mêmes très ecaces.
3.2 Une condition analytique de dominance
3.2.1 Problème considéré et condition de dominance
Dans les années quatre-vingt, considérant le problème d'ordonnancement à une ma-chine avec fenêtres d'exécution, Erschler et al. [Erschler et al. 83] mettent en évidence une nouvelle condition de dominance pour la recherche de solutions admissibles. Un problème
V, constitué d'un ensemble T = {1, . . . , n} de travaux à ordonnancer sur une machine, disponible en un seul exemplaire, est considéré. Chaque travail j de V est caractérisé par une date de disponibilité rj, une date échue dj et une durée opératoire pj. Un ordonnan-cement est dit admissible si la machine n'exécute jamais plus de deux travaux au même instant, et si les travaux nissent à l'heure, i.e., si la condition (3.1) est satisfaite. Trouver une solution admissible pour ce problème est NP-dicile [Lenstra et al. 77].
∀j ∈V, sj ≥rj et sj +pj ≤dj. (3.1) Les dates de début et de n des travaux, sj et fj, étant entièrement déterminées par la connaissance de la séquence des travaux sur la machine, il y a au plus n! séquences à examiner pour trouver une solution admissible. La condition de dominance proposée dans [Erschler et al. 83] permet heureusement de limiter l'étude de l'admissibilité à un sous-ensemble de séquences beaucoup plus restreint.
La donnée considérée par les auteurs pour l'étude de la dominance est l'ordre relatif des dates de début au plus tôt rj et de n au plus tard dj de l'ensemble T des n travaux. Les durées opératoirespj ainsi que les valeurs explicites desrj etdj de chaque travailj ∈T ne sont donc pas considérées. La condition de dominance reste donc valide quelles que soient les durées opératoires et quelles que soient les valeurs de rj etdj dans le respect de l'ordre relatif retenu dans le corps d'hypothèses.
Dans [Erschler et al. 85] et [Briand et al. 03b], il est aussi montré que le sous-ensemble de séquences caractérisé par la condition de dominance, est également dominant vis-à-vis des critères réguliers d'optimisation, Tmax, plus grand retard vrai et, Lmax, plus grand retard algébrique.
44 Structure d'intervalles et dominance
3.2.2 Théorème des pyramides
Les notions de structure d'intervalles, de sommet et de t-pyramide dénies dans la partie 3.1.1 sont utilisées. La structure d'intervalles considérée est < I, C > où un inter-valle ij ∈ I, caractérisé par une date de début xj = rj et une date de n yj = dj (i.e.,
ij = [rj, dj]), est associé à chaque travail j ∈T du problème.
Les sommets sont supposés indicés dans l'ordre croissant de leurs rj, ou en cas d'éga-lité, dans l'ordre croissant de leursdj. Ceci est équivalent à armer que,tu ettv étant deux sommets de la structure d'intervalles, alors u < v si et seulement si rtu ≤rtv et dtu ≤dtv. Si deux sommets possèdent des dates de début au plus tôt et de n au plus tard iden-tiques, alors ils peuvent être indicés de façon quelconque. La t-pyramide notée Pu désigne la pyramide caractérisée par le sommet tu. Aussi, u(j), v(j) désignent respectivement les indices de la première et de la dernière t-pyramide à laquelle peut être aecté le travail j. Un ordre partiel dominant peut alors être caractérisé grâce au théorème suivant.
Théorème 3.1. Un ensemble dominant de séquences peut être constitué par les séquences telles que :
1. les sommets sont ordonnés dans l'ordre de leur, indice, ;
2. avant le premier sommet, seuls sont placés des travaux appartenant à la première t-pyramide, rangés dans l'ordre croissant de leurs rj ou, en cas d'égalité, dans un ordre arbitraire ;
3. après le dernier sommet, seuls sont placés des travaux appartenant à la dernière s-pyramide, rangés dans l'ordre croissant de leurs dj ou, en cas d'égalité, dans un ordre arbitraire ;
4. entre deux sommets tk et tk+1, sont placés en premier des travaux appartenant à la t-pyramide Pk et n'appartenant pas à Pk+1 dans l'ordre croissant de leurs dj (dans un ordre arbitraire en cas d'égalité), puis des travaux communs aux deux pyramides
Pk et Pk+1 dans un ordre arbitraire, et enn des travaux appartenant à la pyramide
Pk+1 et n'appartenant pas à Pk dans l'ordre croissant de leurs rj (dans un ordre arbitraire en cas d'égalité).
Le Théorème des pyramides dénit un ordre partiel dominant dans la mesure où il im-pose des relations de précédence entre les sommets d'une part, puisquetk ≺tk+1, et entre les travaux non-sommets et les sommets d'autre part, puisque tu(j)−1 ≺ j ≺ tv(j)+1. Ce-pendant, nous remarquons que le théorème, en imposant par ailleurs de classer les travaux aectés devant un sommet par ordre croissant des rj, et ceux aectés derrière par ordre croissant des dj, exclut aussi certains ordres totaux. Ainsi, si deux travaux non-sommets i
et j, tels que ri < rj, appartenant à une seule pyramide de sommet t, sont tous deux séquencés avant t alors i≺j, et l'ordre total j ≺i≺t est interdit. Ce théorème introduit donc, outre un ordre partiel dominant, des relations de dominance conditionnelles, liées à
3.2 Une condition analytique de dominance 45 la position des travaux relativement aux sommets, et à l'ordre relatif des dates de début au plus tôt et de n au plus tard.
Une propriété intéressante du Théorème des pyramides est qu'il permet d'évaluer la cardinalité de l'ensemble de séquences dominantesSdom qu'il caractérise grâce à la formule suivante : card(Sdom) = QN
q=1(q+ 1)nq où nq désigne le nombre d'intervalles appartenant exactement à q pyramides etN le nombre total de pyramides.
L'ordre des travaux placés entre les sommets étant imposé par la considération des dates de début au plus tôt et de n au plus tard (ordre croissant), la formule citée ci-dessus dénombre les aectations diérentes des travaux selon qu'ils sont placés avant ou après un sommet sk, tel queu(j)≤k ≤v(j).
3.2.3 Exemple illustratif
Pour illustrer le Théorème des pyramides, considérons un problème d'ordonnancement à 6 travaux dont l'ordre relatif entre les ri et les di est tel que : r4 < r5 < r3 < r1 < d1 < d3 < r6 < d4 < r2 < d2 < d5 < d6. La structure d'intervalles associée à cet exemple est présentée sur la Figure 3.3. On distingue deux sommets t1 = 1 et t2 = 2 caractérisant les deux pyramides : P1 ={3,4,5}, et P2 ={5,6}. Remarquons que, compte tenu de la dé-nition d'une s-pyramide, les sommets n'appartiennent pas à la pyramide qu'ils caractérisent.
Fig. 3.3: Diagramme des intervalles, sommets et pyramides
L'application du théorème des pyramides à cette structure d'intervalles permet de ca-ractériser un ensemble dominant Sdom de cardinalité card(Sdom) = (1 + 1)3.(2 + 1)1 = 24
(sur 6 !=720 cas possibles) constitué des séquences données sur la Figure 3.4.
Remarquons que cette formule ne prend pas en compte les possibilités de permutation des travaux placés entre deux sommets tk et tk+1 et appartenant en même temps aux t-pyramidesPketPk+1. Par exemple, considérons le cas de deux travauxu, v et deux sommets
46 Structure d'intervalles et dominance
Fig. 3.4: Ensemble dominant de séquences du problème de la Figure 3.3
Les deux travaux i et j appartiennent donc aux deux pyramides Pt et Pt′ et peuvent être placés dans n'importe quel ordre entre les deux sommets. Considérons la séquence dominante t ≺ u ≺ v ≺ t′. Si cette séquence est comptabilisée dans Sdom, la séquence
t ≺ v ≺ u ≺ t′, bien qu'elle respecte le Théorème des pyramides, ne le sera pas. La va-leur calculée par la formule card(Sdom) est donc une borne inférieure du nombre réel de séquences de l'ensemble dominant.
Enn, il est proposé et démontré dans [La 04] une extension permettant de restreindre davantage la borne inférieureSdom caractérisée grâce au Théorème des pyramides. Elle est donnée comme suit :
Extension 3.1. Si un travail j appartient à deux pyramides P1 et P2 dont les sommets t1
et t2 possèdent des dates de début ou des dates de n égales, alors toute séquence plaçant
j entre t1 et t2 est dominée par au moins une autre séquence de l'ensemble dominant. 3.3 Notion de séquence maître-pyramide
3.3.1 dénition
Dans cette partie, et pour éviter d'énumérer toutes les séquences dominantesSdomque le Théorème des pyramides caractérise, nous nous proposons de montrer qu'il est possible de dénir une séquence particulière, que nous nommons séquence maître-pyramide et notons
σ∆(V) dans la suite du texte. Cette séquence est de la forme :
σ∆(V) = (α1, t1, β1, . . . , αk, tk, βk, . . . , αm, tm, βm) où : - m est le nombre total de sommets ;
- αi est l'ensemble des travaux appartenant à la pyramide Pi de sommetti et n'appar-tenant pas à la pyramidePi−1classés par ordre croissant de leur date de disponibilité ; - βi est l'ensemble des travaux appartenant à la pyramidePi classés par ordre croissant
3.3 Notion de séquence maître-pyramide 47