Dans la Section 3.3, la notion de séquence maître-pyramide a été introduite. Elle per-met d'extraire l'ensemble de séquences dominantes Sdom que le Théorème des pyramides caractérise. De plus, nous avons montré comment caractériser tous les problèmes (ordres totaux) pour lesquels la séquence maître-pyramide est la même. Dans cette section, nous nous proposons d'introduire une nouvelle condition de dominance permettant de restreindre davantage l'ensemble dominantSdomdéni par la séquence maître-pyramide en distinguant les cas de sommets avec ou sans bases communes.
3.4 Extensions du Théorème de dominance 51 - c(γ) : le makespan de l'ordonnancement γ, i.e. la date de n du dernier travail dans
γ;
- rγ (resp. dγ) : la date de début (resp. date de n) de la séquence γ, avec :
rγ = mink∈γrk etdγ = maxk∈γdk
On donne la dénition suivante :
Dénition 3.5. On dit que deux sommetsti ettj sont indépendants s'ils n'ont pas de base commune, i.e. si k ∈Pi ⇒k /∈Pj
Rappelons également la condition nécessaire et susante d'admissibilité établie par Erschler et al. dans [Erschler et al. 80] par le théorème suivant :
Théorème 3.2. Une séquence de travauxσ est admissible si et seulement si :
ri+pi+ X
i≺k≺j
pk+pj ≤dj ,∀(i, j)∈σ tel que i≺j (3.2)
3.4.1 Cas de sommets avec base commune
Proposition 3.3. Étant donnés deux sommets t1, t2 avec une base commune i et une séquence maître-pyramide σ∆ = (i, t1, i, t2, i), alors la séquence (t1, i, t2) est dominée par
(t1, t2, i) si rt1 +pt1 ≥ rt2 (1) est valide, ou bien par (i, t1, t2) si dt2 −pt2 ≤ dt1 (2) est valide.
Démonstration. Armer que la séquence(t1, i, t2)est admissible implique d'après la condi-tion 3.2 du Théorème 3.2 que les conditions suivantes sont valides : di−rt1 ≥pt1 +pi (3) ;
dt2 −rt1 ≥ pt1 +pi +pt2(4) et que dt2 −ri ≥ pi+pt2 (5). L'étude de l'admissibilité de la séquence(t1, t2, i)consiste à vérier la validité des inégalités suivantes :dt2−rt1 ≥pt1+pt2, vraie d'après la condition (4) ; di −rt1 ≥ pt1 +pt2 +pi, vraie d'après (4) et sachant que
di > dt2; et di −rt2 ≥ pt2 +pi aussi vraie d'après (1) et (4) qui permettent de déduire que dt2 − rt2 ≥ pi +pt2 avec di > dt2. De la même manière, montrer que la séquence
(i, t1, t2) est admissible consiste à vérier que : dt2 −rt1 ≥pt1 +pt2 vraie d'après (4) ; que
dt2−ri ≥pi+pt1+pt2, vraie aussi d'après (4) et sachant ri < rt1; et quedt1−ri ≥pi+pt1
vraie également d'après les conditions (2) et (4) permettant de déduire quedt1−rt1 ≥pi+pt1
sachantri < rt1.
3.4.2 Cas de sommets sans bases communes
Considérons à présent le cas de sommets sans base commune. Avant d'énoncer une nouvelle condition de dominance donnée par la Proposition 3.5, et dans un souci de clarté,
52 Structure d'intervalles et dominance examinons d'abord le cas simple d'un problème V de n travaux contenant uniquement deux sommets.
Proposition 3.4. Si pour une séquence maître-pyramide σ∆(V) = (αi, ti, βi, αj, tj, βj) à deux sommets ti et tj, on a rtj ≤ dti et s'il n'existe pas de bases communes aux deux sommets, alors la séquence σ = (ti, βi, αj, tj) compatible avec σ∆(V) est dominée par
(αi, ti, αj, tj) ou bien (αi, ti, tj, βj) ou bien (ti, βi, tj, βj), toutes les trois compatibles avec
σ∆(V).
Démonstration. On veut montrer que si σ = (ti, βi, αj, tj) est admissible alors nécessaire-ment, au moins une des trois séquences citées dans la Proposition 3.4 est aussi admissible. Par hypothèse, toute tâche appartient à une et une seule pyramide, i.e, elle ne peut être rangée qu'en deux positions possibles relativement à tous les sommets. Nous rappelons que si σ est admissible alors d'après le Théorème 3.2 la condition c(ti, βi)≤ dβi est vraie. Compte tenu des ordres dénis par les ri etdi des jobs deV, ainsi que la valeur dec(ti, βi), il est alors possible de distinguer 3 situations possibles (voir Figure 3.9) :
Fig. 3.9: Overlaps (ti, tj)
1- c(ti, βi)≤rtj : Par hypothèse, nous savons que rtj ≤dk ∀k ∈βi. On peut alors sup-poser que tous les travaux de(ti, βi)ont une date d'échéance égale àrtj. Ainsi, d'après le Théorème des pyramides les travaux de(ti, βi)peuvent être rangés par ordre crois-sant de leurs dates de début. Il résulte dans ce cas que (αi, ti) domine(ti, βi), et par conséquent, c(ti, βi)≤rtj < c(αi, ti). On conclut donc que (ti, βi, αj, tj) est dominée par (αi, ti, αj, tj).
2- c(ti, βi)> dti : Par hypothèse, nous savons que dti > rk ∀k ∈αi. Il est alors possible de supposer que tous les travaux de (αj, tj) ont une date de disponibilité date égale à dti. Ainsi, d'après le Théorème des pyramides, les travaux de (αj, tj) peuvent être rangés par ordre croissant de leur dates de n, d'où(αj, tj)dominée par(tj, βj). D'où
(ti, βi, αj, tj) dominée par (ti, βi, tj, βj).
3- rtj ≤c(ti, βi) ≤dti : D'une part et comme au premier point, sachant c(ti, βi) ≤dti
on peut supposer que tous les travaux dans (ti, βi) ont une date d'échéance égale à dti et qu'elles peuvent ainsi être rangées dans l'ordre croissant de leur date de
3.4 Extensions du Théorème de dominance 53 début. D'autre part, puisque c(ti, βi) ≥ rtj, on peut supposer comme au second point, que tous les travaux dansαj ont une date de disponibilité égale àrtj et qu'elles peuvent ainsi être rangées dans l'ordre croissant de leur date de n. Il en découle que
(ti, βi, αj, tj)est dominée par (αi, ti, αj, tj)ainsi que par(ti, βi, tj, βj), toutes les deux dominées par (αi, ti, tj, βj).
Signalons qu'à travers la Proposition3.4, nous avons voulu montrer que, toute séquence qui placerait des travaux appartenant à deux pyramides diérentes entre leurs sommets est dominée par une autre séquence qui placerait au plus des travaux appartenant uniquement à une et une seule pyramide entre les deux sommets.
Proposition 3.5. Étant donnés un ensemble V de n travaux, {t1..tm} sommets et une séquence maître-pyramideσ∆(V). Si La conditionrtm < dt1 (Les intervalles des sommets se chevauchent) est vérié et s'il n'existe pas de bases communes pour tout couple de sommets de V alors, toute séquence dominante σ ⋐ σ∆(V) qui placerait des travaux appartenant à deux pyramides diérentes entre leurs sommets, est dominée par une autre séquence
σ′ ⋐ σ∆(V) tel que les travaux appartenant à seulement une et une seule pyramide sont placés entre les deux sommets.
Démonstration. Considérons par σ = (α′
1, t1, ..., tk, β′
k, α′
k+1, tk+1, ...β′
m) une séquence do-minante extraite de σ∆(V)tels que {βk′} 6=∅et{α′k+1} 6=∅. Sachant qu'entre les sommets
tk et tk+1 des travaux appartenant à deux pyramides diérentes y sont rangés, nous foca-lisons alors notre intérêt sur la sous-séquence (α′
1, t1, ..., tk, β′
k)et à la valeur de sa date de n d'exécution relativement à dtk(cf. Figure 3.10). On distingue alors deux cas :
Fig. 3.10: Structure pyramidale de m sommets sans bases communes et rtm < dt1
1- c(α′
1, t1, ..., tk, β′
k)≤ dtk) : Dans ce cas, sachant dj < dtk ∀j ∈β′
k, on peut alors sup-poser que tous les travaux dans β′
k ont une date d'échéance égale à dtk. D'après le Théorème des pyramides, les jobs dans β′
k peuvent être rangés avant le som-met tk dans l'ordre croissant de leur date de disponibilité. D'où, la séquence σ = (α′
1, t1...tk, β′
k, α′
k+1, tk+1...β′
m)dominée par la séquenceσ′ = (α′
1, t1...αk, tk, α′
k+1, tk+1...β′
54 Structure d'intervalles et dominance avecσ′ ⋐σ∆(V);
2- c(α′
1, t1, ..., tk, β′
k) > dtk) : Par hypothèse nous avons ri < dt1 ∀i ∈ V et d1 < dtk, i.e. ri < dtk ∀i ∈ V. Nous pouvons alors supposer que le reste des travaux dans σ, i.e. (α′
k+1, tk+1, ...β′
m), ont une date de disponibilité égale à dtk. D'après le Théorème des pyramides, les jobs dans(α′
k+1, tk+1, ...β′
m)peuvent être rangés dans l'ordre crois-sant de leur date d'échéance. D'où, la séquence σ = (α′
1, t1, ..., tk, β′ k, α′ k+1, tk+1...β′ m) dominée parσ′ = (α′ 1, t1...tk, β′ k, tk+1, β′ k...β′ m) avec σ′ ⋐σ∆(V).
3.5 Nouvelles conditions numériques de dominance