Notion de propagateur

Nous expliquons ici le concept de propagateur. Cet outil, fondamental en theorie des champs, sera notamment applique dans dans l'analyse des propositions realisees dans ce memoire et dans l'etude de l'extraction d'un laser a atomes. En echo a l'epitaphe de ce chapitre, nous en proposons plusieurs denitions equivalentes, mais qui procedent de points de vue dierents.

1.2.3.1 Expression du propagateur comme correlation de deux champs quantiques. Il s'agit de la denition la plus courante du propagateur d'un champ quantique (tel que le champ atomique).Le propagateur du champ est identie a la fonction de coherence du premier ordre intro- duite precedemment, avec une operation d'ordonnancement temporel entre les arguments17 _:

K(r; t; r0_{; t) = h0jT (r; t)} y_(r0_{; t}0_{)j0i (1.32)}

1.2.3.2 Expression du propagateur a l'aide d'une fonction de Green.

Cette denition du propagateur, a partir de l'equation aux derivees partielles veriee par le champ quantique, est adaptee pour resoudre des problemes avec conditions aux limites. C'est notamment cette denition qui intervient dans la \regle magique" de Barton [45], utilisee dans le calcul de la

16. Soulignons cependant que le potentiel d'interaction est altere par la presence d'un champ electromagnetique exterieur. Cette dependance peut permettre de faire varier contin^ument (a l'aide d'un champ magnetique) la longueur de diusion du potentiel d'interaction associe a un champ fermionique et d'observer ainsi des resonances dite de Feshbach, activite tres populaire ces dernieres annees dans la communaute de la physique atomique.

17. L'operateur d'ordre temporel T place a droite le champ applique a l'instant le plus t^ot, voir annexe B. Cette denition du propagateur correspond a la prescription de Feynman. Il est important de mentionner que, dans cette denition, le champ evolue bien en representation de Heisenberg, l'etat du vide j0i etant donc laisse invariant.

fonction d'onde du laser a atomes extrait d'un condensat (chapitre 8).

Etant donne un champ (r; t) (classique ou quantique), deni sur le domaine spatio-temporel D  I, et satisfaisant une equation de propagation du type :

8(r; t) 2 D  I Lr;t[](r; t) = 0 (1.33)

avec l'operateur dierentiel Lr;t portant sur les coordonnees d'espace-temps (par exemple Lr;t =

 + m2_{), on denit le propagateur K(r; t; r}0_{; t}0_{) comme l'unique fonction veriant [45] :}

8(r; r0_{) 2 D}2 _{8(t; t}0_{) 2 I}2 _L

r;t[K](r; t; r0; t) = 0

8(r; r0_{) 2 D}2 _{8(t; t}0_{) 2 I}2 _L

r0_;t0[K](r; t; r0; t) = 0

8(r; r0_{) 2 D}2 _{8t 2 I K(r; t; r}0_{; t) = (r r}0_{) (1.34)}

Il y a en fait une relation simple entre le propagateur et la fonction de Green G associee a l'equation de propagation :

G(r; t; r0_{; t}0_{) = (t t}0_{) K(r; t; r}0_{; t) (1.35)}

La fonction  est la fonction creneau habituelle en physique ((x) = 1 si x  0, (x) = 0 si x < 0). 1.2.3.3 Expression du propagateur a l'aide de l'operateur d'evolution.

L'expression du propagateur a l'aide de l'operateur d'evolution est couramment utilisee en me- canique quantique. Elle permet de comprendre la propagation d'une fonction d'onde en premiere quantication. Cette denition sera utilisee au chapitre 3 pour relier les propagateurs atomiques en presence et en l'absence de lumiere.

Soit une fonction d'onde (r; t) obeissant a l'equation de Schrodinger :

i ~ @(r; t)_@t = H(t) (r; t) (1.36) et U(t; t0_{) l'operateur d'evolution associe au Hamiltonien H :}

U(t; t0) = T  exp  i ~ Z _t t0 dt 00_H(t00₎ _(1.37)

L'operateur T designe l'ordonnancement temporel, frequemment utilise en theorie des champs et ex- plique dans l'annexe B. On peut denir le propagateur comme les elements de matrice de l'operateur

d'evolution en representation position :

K(r; t; r0_{; t}0_{) = hr j U(t; t}0_{) jr}0_{i (1.38)}

1.2.3.4 Expression du propagateur par une integrale de chemin.

Cette formulation du propagateur en termes d'integrales de chemin permet notamment de com- prendre l'approximation des \chemins negliges", presentee au chapitre 8, dans le calcul d'extraction du laser a atomes18 _:

K(r; t; r0_{; t}0_{) =} Z _d[r(t)]ei

~S([r(t)]) (1.39)

1.2.3.5 Integrale de propagation.

Nous etablissons a present l'equivalence des denitions precedentes du propagateur en montrant qu'elles sont toutes compatibles avec une relation fondamentale19 _{: l'integrale de propagation. Cette}

relation integrale permet, a partir de la fonction d'onde  a un instant donne t0, de determiner celle-ci

a tout instant ulterieur. Elle justie ainsi la denomination de \propagateur" : (r; t) =

Z

d3_r0_{K(r; t; r}0_{; t}

0) (r0; t0) (1.40)

Commencons par examiner le propagateur deni a l'aide de l'operateur d'evolution dans (1.38). Notons j (t)i le ket representant l'etat quantique a une particule. La fonction d'onde  est donnee a tout instant t par (r; t) = hrj (t)i. En exprimant l'etat quantique a l'instant t a l'aide de l'etat initial et de l'operateur d'evolution j (t)i = U(t; t0)j (t0)i ; et en inserant la relation de fermeture sur les po-

sitions r0 _{entre le ket initial et l'operateur U, on obtient directement l'integrale de propagation (1.40).}

Examinons a present le propagateur K(r; t; r0_{; t}

0) deni a partir d'une fonction de Green, c'est-a-

dire veriant le jeu d'equations (1.34). La fonction f(r; t) denie par : f(r; t) =

Z

d3_r0_{K(r; t; r}0_{; t}

0) (r; t0) (1.41)

18. La formulation de la physique quantique en termes d'integrales de chemin a revolutionne l'approche theorique de nombreux phenomenes physiques. Une denition heuristique de l'integrale de chemin est donnee dans la reference [42]. 19. La relation de propagation, vraie pour toute fonction  et pour tout couple d'instant (t0; t) tel que t0 t, denit eectivement une fonction unique K. Elle implique en eet l'equation au derivees partielles sur K : Lr;t[K](r; t; r0; t0) = 0. Par ailleurs en appliquant cette relation aux instants t = t0on obtient la condition initiale K(r; t; r0; t) = (r r0). Le theoreme de Cauchy donne alors l'unicite d'une telle fonction K.

verie alors les conditions :

8(r; t) 2 D  I Lr;t[f] = 0 (1.42)

8r 2 D f(r; t0) = (r0; t0) (1.43)

Par unicite de la solution a une equation aux derivees partielles avec des conditions initiales donnees (theoreme de Cauchy), on obtient l'egalite f = , ce qui prouve la relation (1.40).

Nous ne montrons pas que le propagateur deni en termes d'integrale de chemins verie la relation de propagation. Cette preuve gure dans de nombreux ouvrages de reference tels que [42].

1.2.3.6 Propagation d'etats a une particule.

Lorsque le propagateur est deni a partir de la correlation de champs en dierents points d'espace- temps (1.32), l'integrale de propagation peut ^etre obtenue en considerant les etats a une particule.

Ces etats permettent de relier explicitement la theorie quantique des champs au formalisme usuel de fonction d'onde en premiere quantication. Si l'on impliquait un nuage de fermions froids au lieu d'un nuage de bosons, il faudrait considerer une distribution d'etats a une particule (au lieu d'un mode macroscopiquement peuple) pour decrire nos experiences.20_.

Nous nous placons en representation de Heisenberg : l'evolution laisse l'etat du vide invariant mais modie, en revanche, les operateurs champ. Un etat a une particule, localise en r a l'instant t, est deni par :

j1; r; ti = y_{(r; t) j0i (1.44)}

L'etat a une particule de fonction d'onde (r) a l'instant t s'ecrit a partir d'une superposition des etats precedents :

j1; ; ti = Z

d3_{r (r)} y_{(r; t) j0i}

Considerons un etat a une particule dont la fonction d'onde est donnee a l'instant t0 par (r; t0).

La fonction d'onde au point r et a l'instant t est donnee par le produit scalaire avec un etat a une particule localise au point r a l'instant t :

(r; t) = h1; r; t j 1; (r; t0); t0i

En representation de Heisenberg, cet etat n'evolue pas. Il se decompose a l'instant t sur les etats a une particule : h1; r; t j 1; (r; t0); t0i = h 0 j (r; t) Z d3_{r (r; t} 0) y(r; t0) j 0 i

Cette relation peut ^etre ecrite en faisant appara^tre explicitement la correlation des champs quan- tiques :

h1; r; t j 1; (r; t0); t0i =

Z

d3_{r (r; t}

0)h 0 j (r; t) y(r; t0) j 0 i

Comme t > t0, l'ordre des champs est bien respecte dans la correlation denie en (1.32). On reconna^t

alors l'integrale de propagation (1.40).