Notion d'extension stable dans un SABP

Maintenant que nous avons déni la notion d'ensemble sans onit et elle d'ensemble sûr, nous allons

proposerunepremièresémantiqued'aeptabilitéenadaptantladénitiondelasémantiquestableproposée

par[Dun95℄.Nousutiliseronsbien-sûrlanotiond'attaque proposéeendénition23page29.

Dénition27 (Extension stable dans unSABP) Soit

S ⊆ A

^.

S

^{est une extension stable ssi}

S

^est

sans onit et

∀ A 6∈ S

^,

S

^attaque

A

^.

Reprenons l'exemple de la setion 6.2.1page i-ontre :

S 2

^{est une extensionstable (maisn'est}

passûr).

Nousavonsalorsquelquespropriétés:

Propriété 6 Soit

S ⊆ A

^{unensemble sûr.}

Si

S

^{eststable alors}

S

^{ontienttouslesargumentsqu'il appuie.}

Ondiraque

S

^{est fermé pourlarelation}

R ^app

^.

Propriété 7 Soit

S ⊆ A

^{unensemble fermépourla relation}

R app

^.

S

^attaque

A

^ssi

S

^{attaquediretement}

A

^.

Conséquene 1 Si

S

^{estunensemblesûretuneextensionstable,alors}

S

^{attaquediretementtout}

argu-mentqui n'appartientpasà

S

^.

Remarquonsque,dansl'exempledonné ensetion6.2.1pagepréédente,iln'y apasd'ensemble àlafois

sûret stable.

Propriété 8 Soit

S ⊆ A

^{sans-onit etfermépourla relation}

R app

^.

S

^{est sûr.}

Ononstatedonque:

sûret stable

⇒

^fermépour

R app

^,

fermépour

R app

^etsansonit

⇒

^sûr.

Reprenons enoreune foisl'exempledonné en setion 6.2.1page i-ontre et réapitulonsles

propriétésdesdiérentsensembles:

Propriétés

S 1 S 2 S 3 S 1 ^′ ⊆ S 1

sansonit X X X X

sûr X X

fermépour

R app

^{X X}

stable X

aveXsigniantpropriétépossédée,propriéténonpossédéeet :

S 1 = { A, B, C, F }

^,

S 2 = { A, B, E, F }

^,

S 3 = { D, E, F }

^,

S 1 ^′ = { A, B, C }

^.

Nousproposonsmaintenantune notiond'admissibilitédansleadred'unSABPenutilisantunenouvelle

notiondedéfenseolletivequiestdiretementissuedeelleproposéepar[Dun95℄maisutilisantlanotion

d'attaque proposéeendénition23page29:

Dénition28 (Défense par un ensemble dansun SABP) Soit

S ⊆ A

^.Soit

A ∈ A

^.

S

^défend

A

^ssi

∀ B ∈ A

^,si

B

^attaque

A

^alors

∃ C ∈ S

^telque

C

^attaque

B

^.

Nousavonsquelquespropriétésonernantettenotiondedéfenseolletive:

Propriété 9 Si

S

^{est un ensemble fermé pour}

R app

^etdéfend

A

^alors

∀ B ∈ A

^{, si}

B

^attaque

A

^alors

S

attaque diretement

B

^.

Cettepropriétéestuneonséquenedelapropriété7pagepréédente.

Propriété 10 Touteextensionstable défendses éléments.

Nousallonsdénirlanouvellenotiond'admissibilitéenombinantlesnotionsd'ensemble sansonit,de

fermeturepour

R app

^{et lanouvelledéfenseolletive.}

Dénition29 (Ensembleadmissible dans unSABP) Soit

S ⊆ A

^.

S

^{est admissible ssi}

S

^est

sans-onit, fermépour

R app

^{etdéfendtousses éléments.}

Dans l'exempledonné en setion6.2.1page 30 : auundesensembles

S 1

^,

S 2

^et

S 3

^nesont

admis-sibles (par exemple,pour

S 3

^{, ona}

A

^et

B

^attaquantsde

D

^{au même titre que}

C

^et

S 3

^nedéfend

D

ⁿⁱ

ontre

A

^niontre

B

^{).Par ontre,surl'exemplesuivant:}

F

A B C D

G H E

I

onal'ensemble

S 4 = { G, H, E, F, D }

^quiestadmissible.

Propriété 11 Toutensemble admissible estsûr.

C'est uneonséquenedelapropriété8pagepréédenteet deladénition 29.

Conséquene 2 Unensemblestable etfermépour

R app

^estadmissible.

Unensemblesûretstable estadmissible.

Laréiproqueestfausse(voirl'ensemble

S 4

^{del'exemplepréédent:}

S 4

^estadmissible,

I 6∈ S 4

^et

S

^n'attaque

pas

I

^).

Propriété 12 Soit

< A , R att , R app >

^unsystèmed'argumentationbipolaire.Ilexistetoujoursaumoinsun ensemble admissible.

Lapreuveestévidente :ilsutdeonstaterque

∅

estunensembleadmissible.

Remarques :

Sionrelâhedansladénition29,laontraintesurlafermeturepour

R ^app

^{,onperdlapropriétéd'avoir}

unensemblesûr.

Parmilesensemblesadmissibles,onauralesextensionsstables.

Bien-sûr,onpeutensuiteretrouverlanotiond'extensionpréférée ommedans[Dun95℄:

Dénition 30(Extension préférée dans un SABP) Un ensemble

E ⊆ A

^{est une extensionpréférée}

siet seulementsi

E

^{est maximalpourl'inlusionparmilesensembles} admissibles.

F

A B C D

G H E

I

K J

Seul l'ensemble

E 2 = { G, H, I, E, F, D, J }

^{estuneextensionpréféréeduSABP.}

Remarque: Lapropriététouteextensionstableestaussipréférée,quiestvraiedansleasdessystèmes

d'argumentationde[Dun95℄, nes'appliqueplusdansleasdesSABP(il sutdeonstatersurl'exemple

donnéen setion6.2.1page30que l'extensionstable

S 2

^{n'estpassûreet donqu'ellene pourra pasêtre}

unensembleadmissible).

6.5 Appliation aux exemples de la setion 3 page 7

Dansleasdel'exempled'orientationonobtient:

l'extension stableest

{ A 2 , A 4 , A 7 , A 5 , A 8 , A 9 , A 10 , A 11 , A 12 , A 13 , A 15 }

^{,maisellen'estpassûre;}

l'extension préféréeest

{ A 2 , A 4 , A 7 , A 5 , A 12 , A 15 }

^{etellen'estpasstable.}

Dansleasdel'exempledelaprothèseonobtient:

l'extensionstable est

{ A 2 , A 4 , A 3 , A 6 , A 7 , A 10 , A 8 }

^{,maisellen'estpassûre;}

l'extension préféréeest

{ A 2 , A 4 , A 3 , A 6 , A 10 }

^{etellen'estpasstable.}

Dansleasdel'exempledel'enquêtepoliièreonobtient:

l'extension stableest

{ A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 6 , A 2 ′ , A 5 , A 6 ′ , A 6 ′′ , A 8 , A 0 ′′ }

^{,maisellen'estpassûre;}

l'extension préféréeest

{ A 2 , A 3 , A 4 , A 6 , A 5 , A 6 ′ , A 6 ′′ , A 8 , A 0 ′′ }

^{etellen'estpasstable.}

Ononstateiique

A 0 ′′

^{appartientauxextensionse quin'estpasleasde}

A 0

^{,ni de}

A 0 ′

^.

Une évaluation graduelle loale dans un

SABP

Nousnousplaçons dondansleadred'un SABP

< A , R att , R app >

^{et nous}supposeronsquelesrelations

R att

^et

R app

^sontindépendantes.

Nous allons herher à généraliser l'approhe loale de l'évaluation graduelle des ontrariétés proposée

dans[CLS01℄pourunsystèmed'argumentation

< A , R att >

^{enrajoutantlarelationd'appui}

R app

^.

7.1 Les prinipes à respeter

Soit

v

^{uneévaluationgraduelle loaledans unsystème}d'argumentationbipolaire,

v

^{devrait respeterles}

prinipessuivants:

P1 L'évaluation d'unargumentest fontiondel'évaluation detoussesattaquantsdirets(la ontrariété

direte)et detoussesappuisdirets.

P2 Si laqualité del'appuiaugmentealorslavaleurdel'argumentainsiappuyéaugmenteet silaqualité

del'attaqueaugmentealorslavaleurdel'argumentainsiattaquédiminue.

P3 Sionajoutedesappuisalorslaqualitédel'appuiaugmenteetsionajoutedesattaquesalorslaqualité

del'attaqueaugmente.

7.2 Dénition d'une évaluation graduelle loale dans un SABP

Soitlesystèmed'argumentationbipolaire

< A , R att , R app >

^.

Ondisposed'unensemble

V

^{totalementordonnéadmettantunpluspetitélément(}

V

Min

)etunplusgrand

élément(

V

Max ).

Dénition 31 Soit

A ∈ A

^ave

R att − (A) = { B 1 , . . . , B n }

^et

R app − (A) = { C 1 , . . . , C p }

^{. Une évaluation}

est uneappliation

v : A → V

^telleque

v(A) = g(h app (v(C 1 ), . . . , v(C p )), h att (v(B 1 ), . . . , v(B n )))

ave:

la fontion

h att

^:

V ^∗ → H att

⁽

V ^∗

^{dénote l'ensemble des suites nies d'éléments de}

V

^et

H att

^{est un}

ensembleordonné) évaluantla qualitéde l'attaque sur

A

^{etvériantles ontraintessuivantes:}

pourtoutepermutation

(x i 1 , . . . , x i n )

^de

(x 1 , . . . , x n )

^,

h att (x i 1 , . . . , x i n ) = h att (x 1 , . . . , x n )

^,

si

x i ≥ x ^′ _i

^alors

h att (x 1 , . . . , x i . . . , x n ) ≥ h att (x 1 , . . . , x ^′ _i . . . , x n )

^,

h att (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) ≥ h att (x 1 , . . . , x n )

^,

h att () = α ≤ h att (x 1 , . . . , x n )

^,pourtous

x 1 , . . . , x n

^(don

α

représenteralavaleurminimaled'une attaque'est-à-dire quandiln'yapasd'attaque!),

h att (x 1 , . . . , x n ) ≤ β

^,pourtous

x 1 , . . . , x n

^(don

β

représenteralavaleurmaximale d'uneattaque parexemple,quandil yaune innitéd'attaques

1

).

1

Untelargumentn'existepasforément!

la fontion

h app

^:

V ^∗ → H app

⁽

V ^∗

^{dénote l'ensemble des suites nies d'éléments de}

V

^et

H app

^{est un}

ensembleordonné) évaluantla qualitéde l'appuisur

A

^{etvériantlesontraintessuivantes:}

pourtoutepermutation

(x i 1 , . . . , x i n )

^de

(x 1 , . . . , x n )

^,

h app (x i 1 , . . . , x i n ) = h app (x 1 , . . . , x n )

^,

si

x i ≥ x ^′ _i

^alors

h app (x 1 , . . . , x i . . . , x n ) ≥ h app (x 1 , . . . , x ^′ _i . . . , x n )

^,

h app (x 1 , . . . , x n , x n+1 ) ≥ h app (x 1 , . . . , x n )

^,

h app () = α ≤ h app (x 1 , . . . , x n )

^{, pour tous}

x 1 , . . . , x n

^(don

α

représentera la valeur minimale d'unappui'est-à-direquandil n'yapasd'appui!),

h app (x 1 , . . . , x n ) ≤ β

^{,pour tous}

x 1 , . . . , x n

^(don

β

représenterala valeur maximale d'un appui parexemple,quandil yaune innitéd'appuis

2

).

la fontion

g

^:

H app × H att → V

^{vériantla ontrainte suivante:}

g(x, y)

^{est roissante en}

x

^etdéroissante en

y

^.

Aveettedénition,nousavonslespropriétéssuivantes:

Propriété 13

∀ x, y

^,

g(x, α) ≥ g(α, y)

^.

g(β, α) = V

^{Max et}

g(α, β) = V

^Min.

Si

R att − (A) = R app − (A) = ∅

alors

v(A) = g(α, α)

^.

Si

R att − (A) 6 = ∅

et

R app − (A) = ∅

alors

v(A) = g(α, y) ≤ g(α, α)

^pour

y ≥ α

^.

Si

R att − (A) = ∅

et

R app − (A) 6 = ∅

alors

v(A) = g(x, α) ≥ g(α, α)

^pour

x ≥ α

^.

Celanousonduitdonàl'éhellesuivante :

V

^Min

≤ g(α, y) ≤ g(α, α) ≤ g(x, α) ≤ V

^Max

(pour

y ≥ α

^{) (pour}

x ≥ α

⁾

Propriété 14 Soit

v

^{une évaluation ausens de la dénition 31 page préédente,}

v

^{respete lesprinipes}

P1 àP3.

Dénition32 Soit

A

^et

B

^{deuxarguments. Si}

v(A) < v(B)

^alors

A ≺ B

^.

7.3 Trois instanes d'évaluation graduelle loale dans un SABP

7.3.1 Première instane

Posons

V = { m, I, M }

^ave

V

^Min

= m

^et

V

^Max

= M

^{.Onvadonavoirunmodèle}d'évaluationà3valeurs.

Posons aussi que les éhelles de valeur sont les mêmes pour toutes les fontions

h app

^,

h att

^et

v

^(don

H att = H app = V

^).

Onpeutdonposerque

m = α

^,

M = β

^{etonenonlutque}

I = g(m, m)

^etquel'ona

m < I = g(m, m) <

M

^.

D'aprèslesontraintessur

g

^{vuesensetion7.2pagepréédente,ona:}

g(M, m) = M

^{(appuimaximaletpas}d'attaque),

g(m, M ) = m

^{(pasd'appuietattaquemaximale).}

Don:

m = g(m, M ) ≤ g(m, I) ≤ g(m, m) = I ≤ g(I, m) ≤ g(M, m) = M

maisaussi(puisque

m < I < M

^etque

g(x, y)

^{estroissante en}

x

^etdéroissanteen

y

^):

m = g(m, M ) ≤ g(I, M ) ≤ g(M, M ) ≤ g(M, I) ≤ g(M, m) = M

Àe stade,onadivershoix.Si onimpose aussique

g(M, M ) = I

^etque

g(I, I ) = I

^{.Onobtientalorsles}

ontraintessupplémentairessuivantespourlafontion

g

^:

g(m, I) ∈ { m, I } g(I, m) ∈ { I, M } g(I, M ) ∈ { m, I } g(M, I) ∈ { I, M }

2

Mêmeremarquequepourl'attaque.

Etdonlatable suivantepourlafontion

g

^:

Si onapplique etteévaluationsurquelquesassimples,onobtient:

A2 A3 A4 A5 A6

B19 B20 B21 B22 B23 B24 B25 B26 B27 B28 B29

C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16

Enétudiantpluspréisémentlesexemplesproposés,ononstatequel'onpeutidentieraumoins7lasses

diérentesd'argumentsquel'onpeutlasserd'aprèsl'ordreidéal 3

attendusurlesvaleursdansletableau

suivant(delaplusmauvaisevaleuràlameilleure):

de la plusmauvaisevaleur argumentsrainesquedeséquenesd'attaque

vers arguments raines

la meilleure valeur argumentsrainesquedeséquenesd'appui

3

Cetordrepeutnepasêtrerespetésurertainsaspartiuliers,maisilreprésente latendaneverslaquellelesprinipes

hoisisensetion7.1page35nousamènent!

devraient être meilleurs que eux possédantau moins une attaque ou une défense. D'autre part, la

dé-roissanede

g(x, y)

^sur

y

représentantlesattaquesimpliquelapriseenomptedelanotiondedéfenseet induitque lesargumentspossédantdesdéfensessontmeilleurs queeuxpossédantdesattaques.Ilexiste

parontredesasoùl'onnepeuttranher;parexemple,ilestimpossibleapriori dediresiunargument

possédant des attaques et des appuis est meilleur qu'un autre argument possédant des défenses et des

appuis.

En utilisantetteidée,onpartitionne lesarguments

A i

^{del'exempledonné}préédemment:

A 1

^,

A 6

^,

A 8

Puis,onompareavel'ordreobtenuentreles

A i

^:

A 1 , A 6 , A 8 , A 13 , A 14 , A 15 ≺ A 2 , A 5 , A 9 , A 11 , A 17 ≺ A 3 , A 4 , A 7 , A 10 , A 12 , A 16

Onpeutonstaterque:

lesargumentsuniquementrainesdeséquenesd'attaquesontmoinsbonsqueeuxquisontuniquement

rainesdeséquenesd'appui;

lesargumentsuniquementrainesdeséquenesdedéfensesontmoinsbonsqueeuxquisontrainesde

séquenesd'appuietdeséquenesdedéfense;

par ontre, il arrive que ertains arguments raines à la fois de séquenes d'attaque et de séquenes

d'appuisoientmeilleursquedesargumentsuniquementrainesdeséquenesd'appui(voir

A 5

^et

A 12

^);

onpeutaussionstaterquelesappuis peuventêtreaaiblis(voirparexemplel'appuide

B 5

^sur

A 5

^qui

est aaibliparl'attaquesur

B 5

^:lavaleurde

A 5

^{estmoins bonnequeellede}

A 3

^!).

Un autre exemple Appliquonsetteévaluation àl'exemplesuivant:

B2

A2 A3 A4 A5 A6

B19 B20 B21 B22 B23 B24 B25 B26 B27 B28 B29

C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16

Celadonnel'ordresuivantentrelesarguments

A i

^:

A 6 , A 15 ≺ A 1 , A 8 , A 14 ≺ A 13 , A 2 ≺ A 9 , A 11 , A 17 ≺ A 5 , A 10 , A 12 ≺ A 3 , A 7 , A 16 ≺ A 4

Remarquons que l'ordreobtenu raneen général l'ordreproposé en setion 7.3.1 page36 exepté pour

A 13

^parrapportà

A 2

^(idementre

A 5

^et

A 10

^{): danslasetion7.3.1page 36,ona}

A 13 < A 2

^{, alorsqu'ii}

A 13

^et

A 2

^{ontlamêmevaleur.}

Puis,enutilisantlapartitiondesarguments

A i

^{(voirsetion7.3.1page36),onretrouvelesmêmesremarques}

queellesdonnéesensetion 7.3.1page36:

les argumentsuniquement raines de séquenesd'attaque (

A 1

^,

A 6

^,

A 8

^{)sont moins bons que euxqui}

sontuniquementrainesdeséquenesd'appui(

A 3

^,

A 4

^,

A 5

^,

A 7

^);

lesargumentsuniquementrainesdeséquenesdedéfense(

A 2

^{)sontmoinsbonsqueeuxquisontraines}

deséquenesd'appuietdeséquenesdedéfense(

A 10

^,

A 16

^);

il arrivequeertainsargumentsraines àlafois deséquenes d'attaqueet deséquenesd'appui soient

aussibonsquedesargumentsuniquementrainesdeséquenesd'appui(iiaussi,voir

A 5

^et

A 12

^).

Un autre exemple Appliquonsetteévaluation àl'exemplesuivant:

B2

Posonsque:

B19 B20 B21 B22 B23 B24 B25 B26 B27 B28 B29

C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15 C16

Celadonnel'ordresuivantentrelesarguments

A i

^:

A 8 , A 15 ≺ A 6 ≺ A 1 , A 14 ≺ A 2 ≺ A 13 ≺ A 9 , A 17 ≺ A 11 ≺ A 12 ≺ A 10 ≺ A 16 ≺ A 5 ≺ A 3 ≺ A 7 ≺ A 4

Remarquonsque l'ordreobtenu raneen générall'ordreproposéen setion 7.3.1page36 (exepté pour

A 5

^-

A 12

^et

A 2

^-

A 13

^{) tout en étant légèrement diérent de elui proposé en setion 7.3.2 page 38 (voir}

l'emplaementde

A 5

^).

Puis,enutilisantlapartitiondesarguments

A i

^{(voirsetion7.3.1page36),onretrouvepresquelesmêmes}

remarquesqueellesdonnéesensetion7.3.1page36etensetion7.3.2page38:

les argumentsuniquement raines de séquenesd'attaque (

A 1

^,

A 6

^,

A 8

^{)sont moins bons que euxqui}

sontuniquementrainesdeséquenesd'appui(

A 3

^,

A 4

^,

A 5

^,

A 7

^);

lesargumentsuniquementrainesdeséquenesdedéfense(

A 2

^{)sontmoinsbonsqueeuxquisontraines}

deséquenesd'appuietdeséquenesdedéfense(

A 10

^,

A 16

^).

Un autre exemple Appliquonsetteévaluation àl'exemplesuivant:

B2

Ce travailaétéréaliséenollaborationaveDominiqueGay,lorsdesonstagedeDEA(voir[Gay04℄).

Ils'agitd'analyserleomportementdesdiérentesinstanesd'évaluationloalebipolaireproposéesii.

Cetteanalysevasefairesuivantplusieursaxes:

d'abordsurdesongurationsdebase(nousenavonsidentié7voirsetion7.3.4.1),

puissurdesongurationsdesaturationenappuiouenattaque(voirsetion7.3.4.2pagesuivante),

et enn sur des as d'équilibre, 'est-à-dire qu'on va reherher les ongurations dans lesquelles la

valeur de l'argument se trouve exatement à l'équilibre entre les attaques et les appuis (voir

se-tion7.3.4.3page44).Un aspartiulierseraalorslareherhedesméanismespermettantàunevaleur

debasuler autourdeepointd'équilibre.

7.3.4.1 Les ongurations de base

Nous avons identié 7 ongurations de base notées

C 0

^à

C 6

^qui représentent les as les plus simples d'interation(depuiseluioùiln'yapasd'interation,àeuxoùl'onadeuxinterationsonséutives):

C 1

^:

attaqueappuyée(renforée) attaque (simple) attaqueattaquée(aaiblie)

C 0

^:

A0

appuiattaqué(aaibli) appui(simple) appuiappuyé(renforé)

Remarquonsque

C 3

^{orrespondàlanotiondedéfense.}

Remarquonsaussique,d'aprèslesprinipesdonnésensetion7.1page35,ondoitavoir:

C 1 ≤ C 2 ≤ C 3 ≤ C 0 ≤ C 4 ≤ C 5 ≤ C 6

('est-à-direquelavaleurde

A 0

^dans

C 1

^{doitêtreplusfaiblequeellede}

A 0

^dans

C 2

^{...quidoitêtreplus}

faible queelle de

A 0

^dans

C 6

⁾

Ondonnedanslestableauxsuivantslavaleurobtenuepar

A 0

^{danshaunedes7}ongurationsdebase.

Résultatsave l'instane1 :

D'autrepart,lesrésultatspermettentd'identieruneertainesymétrieentrelesongurationsquenous

exploiteronslorsque que nousherheronslesongurationsd'équilibre(

C 1

^symétrique

4

ave

C 6

^{, idem}

entre

C 2

^et

C 5

^{et entre}

C 3

^et

C 4

^).

7.3.4.2 Les ongurations de saturation

Ii,onvaétudierl'eetd'unesaturationd'attaquesoud'appuissurlavaleurdesarguments.Pourela,on

proposedeux types deonguration, elles orrespondantàdes saturationshorizontales et elles

orres-pondantàdessaturationsvertiales :

H 1

^:

A1 A2

A0

... An H 2

^:

A1 A2

A0

... An

saturationhorizontaled'attaques saturationhorizontaled'appuis

V 1

^:

saturationvertialed'attaques saturationvertialed'appuis

4

C'est-à-direquelavaleurde

A 0

^dans

C 1

^{estlesymétriquedeellede}

A 0

^dans

C 6

^.

Les prinipes énonés en setion 7.1 page 35 permettent de dire que

H 1 ≤ H 2

^,

V 1 ≤ V 2

^,

H 1 ≤ V 2

^et

V 1 ≤ H 2

^{.Parontre,ilsnepermettentpasdeomparer}

V 1

^ave

H 1

^et

V 2

^ave

H 2

^.

On donne dans les tableaux suivants la valeur obtenue par

A 0

^{dans haune des 4} ongurations de saturation.

Résultatsave l'instane1 :

H 1 H 2 V 1 V 2

-1(

∀ n

^{) 1(}

∀ n

^{) 0(si}

n

^{pair),-1sinon 1(}

∀ n

⁾

Lespreuvespour

H 1

^,

H 2

^et

V 2

^{sontévidentesetellepour}

V 1

^{esttrèssimpleaussi:lesvaleursdesarguments}

le long de la branhe

A n − . . . − A 1 − A 2

^{respetent la séquene 0(pour}

A n

^{), -1 (pour}

A n − 1

^{), 0(pour}

A n − 2

^{),-1,0,...donsi}

n

^{estpairlavaleurde}

A 0

^{sera0etsinonellesera-1.Notonsquesi}

n

^estpairalors

labranhe

A n − . . . − A 1 − A 2

^{est unebranhededéfensepour}

A 0

^{etsinon 'estunebranhed'attaque.}

Résultatsave l'instane2 :

H 1 H 2 V 1 V 2

− 2 ¹

⁽

∀ n

⁾

¹ ₂

⁽

∀ n

⁾

− ¹ 3

^quand

n → ∞

^1quand

n → ∞

Lespreuvespour

H 1

^et

H 2

^{sontévidentesetellespour}

V 1

^et

V 2

^{reposentsurlealuldupointxed'une}

fontion:

pour

V 1

^{: posons}

U 0 = v(A n ) = 0

^et

U i = v(A n − i )

^{; on sait que}

U n = g(α, U n − 1 ) = ^{− 1 −} ₂ ^{U n− 1}

^{; on a}

donunesuitequionvergeverslepointxedelafontion

x → − ¹ 2 (1 + x)

^{quel'onobtientenrésolvant}

l'équation

x = − ¹ 2 (1 + x)

^{;etteéquationdupremierdegrén'aqu'uneraine}appartenantàl'intervalle

[ − 1, 1]

^:

− ¹ 3

^.

pour

V 2

^{: posons}

U 0 = v(A n ) = 0

^et

U i = v(A n − i )

^{; on sait que}

U n = g(U n − 1 , α) = ^1+U ₂ ^{n− 1}

^{; on a}

donunesuitequi onvergeverslepointxede lafontion

x → ¹ 2 (1 + x)

^{quel'onobtientenrésolvant}

l'équation

x = ¹ ₂ (1 + x)

^{; ette équation dupremier degré n'aqu'une raine} appartenantàl'intervalle

[ − 1, 1]

^:1.

Résultatsave l'instane3 :

H 1 H 2 V 1 V 2

-1quand

n → ∞

^1quand

n → ∞ √

3 − 2

^quand

n → ∞ √

2 − 1

^quand

n → ∞

Lespreuvespour

H 1

^et

H 2

^{sontlessuivantes:}

pour

H 1

^:

v(A 0 ) = − _n ⁿ +2

^,don

v(A 0 ) = − 1

^quand

n

^{tendversl'inni.}

pour

H 2

^:

v(A 0 ) = _n ⁿ ₊₂

^,don

v(A 0 ) = 1

^quand

n

^{tendversl'inni.}

Etellespour

V 1

^et

V 2

^{reposentsurlealuldupointxed'unefontion:}

pour

V 1

^:posons

U 0 = v(A n ) = 0

^et

U i = v(A n − i )

^;onsaitque

U n = g(α, ^{U n−1} ₂ ⁺¹ ) = ⁻ _3+U ^{1 − U n−1}

n− 1

;onadon

unesuitequionvergeverslepointxedelafontion

x → ⁻ _3+x ^{1 − x}

^{quel'onobtientenrésolvantl'équation}

x = ⁻ ₃₊ ^{1 −} _x ^x

^{;etteéquationduseond degrén'aqu'uneraine}appartenantàl'intervalle

[ − 1, 1]

^:

√

3 − 2

^.

pour

V 2

^:posons

U 0 = v(A n ) = 0

^et

U i = v(A n − i )

^;onsaitque

U n = g( ^{U n−} ₂ ^{1 +1} , α) = ¹⁺ _3+U ^{U n− 1}

n− 1

;onadon

unesuitequi onvergeverslepointxedelafontion

x → ^1+x _3+x

^{quel'onobtientenrésolvantl'équation}

x = ¹⁺ ₃₊ ^x _x

^{;etteéquationduseonddegrén'aqu'uneraine}appartenantàl'intervalle

[ − 1, 1]

^:

√

2 − 1

^.

Remarquonsque,pourtouteslesinstanes, onobtient:

H 1 ≤ V 1 ≤ H 2

^et

H 1 ≤ V 1 ≤ V 2

En revanhe,

H 2 = V 2

^{pourl'instane1,}

H 2 ≤ V 2

^{pourl'instane2et}

V 2 ≤ H 2

^{pourl'instane3}

Dansettesetion,onétudielesongurationsmenantàl'équilibreentrelesattaquesetlesappuis,

'est-à-direlesongurationsdanslesquelleslavaleurde

A 0

^{seralamêmequeelled'unargumentnesubissant}

ni attaque,ni appui.Enutilisantlesrésultatsprésentésen setion7.3.4.1page41,onpeutdéjàidentier

aumoins4ongurationsd'équilibre:

C 0

^:

A0 C 25

^:

A0

A1 A1’

pasd'attaque,nid'appui 1attaquesimpleet1appuisimple

C 16

^:

A0

A1

A2

A1’

A2’ C 34

^:

A0

A1

A2

A1’

A2’

1attaquerenforéeet1appuirenforé 1attaqueaaiblieet 1appuiaaibli

Ondonnedanslestableauxsuivantslavaleurobtenuepar

A 0

^{danshaunedes4}ongurationsd'équilibre.

Résultatsave l'instane1 :

C 0 C 25 C 16 C 34

0 0 0 0

Résultatsave l'instane2 :

C 0 C 25 C 16 C 34

0 0 0 0

Résultatsave l'instane3 :

C 0 C 25 C 16 C 34

0 0 0 0

Ces ongurationsd'équilibreétaienttout àfait évidentesà trouverde partleur symétrie.Laquestion

qui seposemaintenantestlasuivante :existe-t-ild'autresongurationsmenantàl'équilibre?

Pourrésoudreeproblème,ilnousfauttrouverlesongurationsdebasulement,'est-à-direellesdans

lesquelles la valeurde

A 0

^{passe de l'autre té dupoint} d'équilibre(de négativeelledevientpositive ou vie-versa).Pourela, nousallonspartird'uneongurationd'équilibre,ladéséquilibreren renforçantla

partie attaque puisessayerde larééquilibrer en renforçantlapartie appui maissans utiliser lasymétrie

exhibéedanslesongurationsd'équilibredéjàonnues.Lamêmeméthodepourraitbien-sûrêtreproposée

enpartantdesappuispuisenagissantsurlesattaques,maisnousneleferonspas,arlesrésultatsobtenus

n'apporteraientriendeplus.

Onvadonpartirdelaonguration

C 25

⁽

v(A 0 ) = 0

^{)et onvarenforerl'attaque,don}

v(A 0 )

^vadevenir

négative(onguration

C 15

^{).Puis,onadeux}possibilités:

soitonrajoutedesappuissimplesenherhantlemomentoùlavaleurde

A 0

^{varedevenirpositive,}

soitonrenforel'appuienherhantlemomentoùlavaleurde

A 0

^{varedevenirpositive.}

Le seond as est déjà en partie onnu ('est la onguration

C 16

^{) et on sait qu'il mène à} l'équilibre.

Parontre, il sera intéressantde voirl'impat de l'augmentation durenforement suivantles diérentes

instanes.Celanousdonneles4ongurationssuivantes:

C 15

^:

A0

A1 A1’

A2 C 155

^:

A0

A1

A2

A1’ A1’’

1attaquerenforéeet 1appuisimple 1attaque renforéeet 2appuissimples

C 16

^:

A0

A1

A2

A1’

A2’ C 16+

^:

A0

A1

A2

A1’

A2’

A3

1attaquerenforéeet1appuirenforé 1attaque renforéeet 1appuirenforédeuxfois

Ondonnedanslestableauxsuivantslavaleurobtenuepar

A 0

^{danshaunedees} ongurations.

Résultatsave l'instane1 :

C 15 C 155 C 16 C 16+

-1 -1 0 0

On onstate ii que, quel que soit le nombre d'appuis simples que l'on rajoute, la valeur de

A 0

^reste

inhangée.Celaestdûàl'utilisationdelafontionMaxpourlesfontions

h att

^et

h app

^.Nousn'obtiendrons jamaisl'équilibreparetteméthode.

D'autrepart, quellequesoit l'augmentationdurenforement quenous feronsii(donquelle quesoit la

longueurdelabranhed'appui),lavaleurde

A 0

^{resteinhangéeaussi.Celaestdûàlavaleurobtenuelors}

delasaturationvertialed'unebranhed'appui(1,

∀ n

^{lalongueurdelabranhe).Ainsidanstouslesas,}

dèsqu'unappuiest renforé,ilsut àontrebalaneruneattaque renforée.

Résultatsave l'instane2 :

C 15 C 155 C 16 C 16+

− ¹ 4 − ¹ 4

⁰

1 8

Nous avons ii la même onstatation que pour l'instane 1. L'utilisation de la fontion Max pour les

fontions

h att

^et

h app

^{faitquelavaleurde}

A 0

^{resteinhangéequelquesoitlenombred'appuissimplesque}

l'onrajoute.Nousn'obtiendronsjamaisl'équilibreparette méthode.

En e qui onerne le renforement des appuis, la valeur de

A 0

^{va roître au fur et à mesure que e}

renforement augmente jusqu'à atteindre une limite imposée par la valeur de saturation vertiale des

appuis.Don

v(A 0 )

^tendvers

¹ ₄

^{quandlalongueurdelabranhed'appuitendversl'inni.}

Résultatsave l'instane3 :

C 15 C 155 C 16 C 16+

− 15 ¹ 1

10

⁰

1

85

lavaleurde

A 0

^{seragrande(jusqu'àatteindreunelimiteimposéeparlavaleurdesaturation}horizontale).

Ainsi

v(A 0 )

^tendvers

³ ₅

^{quandlenombred'appuistendversl'inni.}

En e qui onerne le renforement des appuis, la valeur de

A 0

^{va roître au fur et à mesure que e}

renforement augmente jusqu'à atteindre une limite imposée par la valeur de saturation vertiale des

appuis.Don

v(A 0 )

^tendvers

³ ₅ ^{× √ 2 − 4}

× √

2+5

⁽

≈ 0, 02

^{)quandlalongueurdelabranhed'appuitendversl'inni.}

Onobtientlemêmetypederésultatenpartantd'uneongurationenoreplusdéséquilibrée:

C 14

^:

1attaquerenforéeet 1appuiaaibli 1attaquerenforéeet2appuisaaiblis

C 1444

^:

1attaquerenforéeet 3appuisaaiblis

Ondonnedanslestableauxsuivantslavaleurobtenuepar

A 0

^{danshaunedees 3}ongurations.

Résultatsave l'instane1 :

C 14 C 144 C 1444

-1 -1 -1

Toujourspourlamême raison,lavaleurde

A 0

^{resteinhangée quelquesoit le nombre d'appuisaaiblis}

Toujourspourlamême raison,lavaleurde

A 0

^{resteinhangée quelquesoit le nombre d'appuisaaiblis}

Dans le document Bipolarité en argumentation (Page 38-99)