Notation des problèmes d’ordonnancement

Plusieurs notations ont été introduites dans la littérature pour spécifier un problème d'ordonnancement. Un schéma de classification proposé par Graham et al. (1979), puis repris par Blazewicz et al. (1996). Il est rapidement imposée comme faisant référence. Il permet en effet de caractériser un problème d'ordonnancement de manière précise. Cette notation structure les données d'un problème d'ordonnancement sur la base d'une notation à trois champs distincts : α|β|γ. Le champ α décrit l'environnement machine, β précise les contraintes liées aux opérations, et le champ γ décrit le ou les critères à optimiser.

3.1. Le champ Alpha

Le champ alpha se définit comme suit : ] ^] , ]_{_}, ]_`a ] ^1, b, ', c, , H, a M F I M F V M I M V M F A >@CD M A A@CD 1 F 1 F 1 1 F 1 1

- ] 1 : Problème mono-machine. En ordonnancement de la production, certaines lignes de production peuvent se modéliser par un processeur unique. Le but est alors de rechercher l’ordre de passage des lots sur ce processeur.

- ] b : Un ensemble de machines parallèles identiques est susceptible de réaliser les tâches. La durée d’exécution d’un job donné est la même sur toute les machines.

- ] ' : Les machines disponibles pour la réalisation des jobs sont dites parallèles uniformes. Chaque machine possède une vitesse appropriée notée d . La durée d’exécution d’un job j sur la machine B notée : b ^L_e

- ] c : Les machines disponibles sont parallèles quelconques. Le temps de réalisation d’une activité dépend de la machine sur laquelle sera effectuée. C’est le cas d’Unrelated Machine, - ] ∈ ^ , H, a : L’atelier est composé d’un ensemble de machines nécessaire pour la

réalisation des jobs. Le type d’atelier dépend de la nature des gammes de production. L’atelier est symbolisé par O, F ou J qui signifie respectivement open shop, flow shop ou job shop. - ] Hf : L’atelier dédiés, cheminement unique flexible (hybrid flow shop). Il s’agit d’un atelier

à cheminement unique, mais il peut y avoir plusieurs exemplaires de chaque machine. L’ensemble des machines d’un type est appelé « étage ». un FH est caractérisé par le nombre d’étages et le nombre de machines par étage. Le plus souvent, les durées opératoires sur un étage sont indépendantes de la machine.

 ] ∈ g : Le nombre de machines m est constant,  ] " : Le nombre de machines m est variable,

Dans la réalité, les ateliers sont souvent des intermédiaires. La Figure (1.9) présente l’ensemble des types d’atelier. Notons que cette typologie ne prend pas en considération la recirculation (le passage répété sur la même machine) qui est néanmoins fréquente en production.

Job Shop Job Shop avec machine parallèles Flow Shop flexible (Hybrid Flow Shop) Machine parallèles Un seul type de machine Flow Shop Même cheminement Un seul exemplaire Mono Machine

Job Shop avec machine parallèles

Job Shop avec machine parallèles Un seul exemplaire Un seul exemplaire Un seul type de machine Même cheminement Ordre identique Sans gamme Un seul type de machine

3.2. Le champ Bêta

Le champ Bêta se définit comme suit : h ^h , h_{_}, h_`, h_i, h_ja. Il caractérise les conditions d’exécution des jobs ainsi que les états des ressources présentes dans l’atelier. Il indique l’existence ou non des contraintes de précédence entre les tâches, la possibilité de tolérer la préemption etc.  h ∈ ^ , ", a

- h : La préemption entre les opérations est permise. Une tâche peut interrompre l’exécution d’une autre tâche, pour quelle reprendra plus tard,

- h " : La préemption n’est pas autorisée.

- h : Si une tâche est décomposable en plusieurs sous tâche, alors il est autorisé de l’exécuter simultanément sur plusieurs machines.

 h_{_} ∈ ^b , I , "a ;

- h_{_} b : Les tâches des jobs sont reliées par des relations de précédence,

- h_{_} I : Les relations de précédence entre les tâches sont sous la forme d’un arbre, - h_{_} " : Pas de relations de précédence entre les tâches.

 h_` ∈ , " ;

- h_` : Chaque tâche j possède une date début au plus tôt ‘ready time » à partir de laquelle elle peut s’exécuter,

- h_` " : Toutes les tâches sont exécutables à partir de la date s=0.  h_i ∈ 1, 1, " :

- h_i 1 : si ] ^", b, 'a alors toutes les tâches possèdent une durée d’exécution égale à une unité de temps.

- h_i 1 : si ] ^ , H, a alors toutes les tâches possèdent une durée d’exécution égale à une unité de temps.

- h_i " : Les durées d’exécution des tâches sont toutes positives.  h_j ∈ k _lm, c _lm, c_lm, d_{,* n ,} :

- h_j k _lm : les machines nécessitent un temps de montage qui est indépendant des séquences, - h_j c _lm : les machines nécessitent un temps de démontage qui est indépendant des

séquences,

- h_j c_lm : les machines nécessitent un temps de démontage qui dépendant des séquences, - h_j d_{,* n ,} : possibilité de stockage limité entre deux machines successives B B_n .

3.3. Le champ Gamma

Le champ Gamma noté γ est réservé pour la description des critères. Le champ γ décrit le critère d’optimisation adoptés pour l’ordonnancement. Il peut prendre de nombreuses valeurs, comme il peut être une combinaison de plusieurs critères. Afin de les décrire nous introduisant les notations sur le Tableau (1.1) :

Paramètres Désignations

Date de début de la tâche j (starting time)

Date d’achèvement de la tâche j (complétion time)

Date de disponibilité de la tâche j ou encore date au plus tôt (ready time). Date &chue ou date au plus tard (due date) de la tâche j.

F Poids (définit la propriété de l’exécution de la tâche j pour les clients. H / ^{Durée de flot indiquant la durée d’attente et d’exécution de la tâche j dans le} _{système (flow time)} > / Avance ou retard algébrique (lateness) de la tâche j.

I max / , 0 Retard absolu (tardiness) de la tâche j. J max / , 0 Avance absolu (earliness) de la tâche j.

V r1 2_{0 "} Indique si la tâche j est en retard par rapport à sa date de fin d’exécution.

Tableau (1.1) : Paramètres d’ordonnancement

Le Tableau (1.2) on résume les principaux critères qui caractérise l’ordonnancement.

Critères Définition

A_@CD Date d’achèvement de l’ordonnancement (Makespan)

H M H Flot total

HW ¹M H Flot moyen

HW_R M F H M Fs Flot moyen pondéré

> M > Somme des retards algébriques >_@CD > Retard algébrique maximum

I_@CD I Retard maximum par rapport aux dates de début au plus tard

IW ¹M I Retard moyen

IW_R M F I M Fs Retard moyen pondéré

J M J Somme des avances

V M V Nombre de tâche en retard

Tableau (1.2) : Critères d’ordonnancement