Chapitre 3. Problème d’Optimisation Multicritères
4. Approches de résolution des problèmes d’optimisation multicritères
4.1. Approches non Pareto
Les approches non Pareto sont classées en deux catégories : les approches scalaires, qui transforment le problème multiobjectif en problème monocritère et les approches non scalaires, qui gardent l’approche multicritère, mais en traitant séparément chacun des critères (objectifs). Ces approches sont sensibles au paysage du front de Pareto (convexité, continuité, …), et trouvent souvent
A Priori A Posteriori Interactif
Algorithmes exacts Heuristiques
Choix
Branch and Bound Programmation dynamique Heuristiques spécifiques
Figure (3. 4) : Classification générale des méthodes d’optimisation multicritère
Méthodes d’optimisation multicritères
Métaheuristiques Algorithmes de résolution
Algorithmes Génétiques Essaima Particuliers Colonies de Fourmis
Approches Pareto
Agrégation ∈-contrainte
Approches non-Pareto
Programmation par but
Sélection parallèle Sélection lexicographique Approches élitistes Approches non-élitistes Scalaires MOGA NSGA NPGA SPEA PAES PESA PESA-II SPEA-II NSGA-II Métaheuristiques à solution unique Métaheuristiques à solution multiple
Recuit Simulé Recherche Tabou
Non-Scalaires
de difficultés à trouver les solutions de compromis puisqu’elles se focalisent sur les portions extrêmes du front. Elles sont efficaces et faciles à implémenter seulement pour les problèmes d’optimisation multicritères avec un nombre réduit d’objectifs.
4.1.1. Approches scalaires
Le principe des approches scalaires est de revenir à un problème monocritère via un ensemble de paramètres (poids ou contraintes sur les objectifs). Parmi ces approches nous citons : les Méthodes d’agrégation par pondération, Méthode e-contraintes, Méthode de but à atteindre, Méthode de min-max, Méthode de Goal programming et la méthode de Benson.
Nous présentons ici deux méthodes scalaires : la méthode d’agrégation par pondération et la méthode ε-contrainte, [Haimes et al. 1971], [Chankong et al. 1983], [Jozefowiez, 2013].
4.1.1.1. Agrégation par pondération
Cette méthode de résolution est la plus évidente et probablement, la plus utilisée en pratique. Elle consiste à ramener le problème multicritère à un problème monocritère sous forme de la somme d'une combinaison linéaire des objectifs initiaux. Ainsi, il s'agit d'associer à chaque critère un coefficient de pondération. Le problème d’optimisation, se transforme alors de la manière suivante :
min X Y Z& & [&[
\ 3.4
Où les poids Z& 0 sont tels que (∑ [&[ Z& 1), et * 2.
En réalité Fixer un vecteur poids revient à trouver un hyper-plan dans l’espace objectif (une droite pour un problème bi-critère) avec une orientation fixée.
La solution Pareto optimale est le point où l’hyperplan possède une tangente commune avec l’espace réalisable ; le point ( ) dans la Figure (3.4-a). Donc, pour une agrégation donnée, il n’existe en général qu’une seule valeur optimale. Ces approches résolvent le problème en utilisant différentes valeurs pour les poids qui fournissent différentes solutions supportées. Mais, dans le cas d’une frontière Pareto concave, les solutions non supportées sont alors négligées. La Figure (3.4-b) représente un cas où deux solutions Pareto optimales peuvent être trouvées.
Si, le domaine réalisable est convexe, cette méthode ne permet pas de trouver les solutions enfermées dans une concavité (les solutions non supportées). Les résultats obtenus avec de telles méthodes dépendent fortement des valeurs affectées au vecteurs poids Z& . En effet, ces derniers doivent être choisis en fonction des préférences du décideur (cette tâche est délicate).
4.1.1.2. Méthode ε-contrainte
Méthode d’optimisation ε-contrainte consiste à retenir l’un des critères L comme critère unique à optimiser, et de transformer les autres en contraintes. Le problème d’optimisation peut être donc reformulé sous la forme suivante :
min[L[ L 3.5
Avec ( $ `(, 5 1,2, … , *, /0 5 a M et ` ` , … , `Lb , `Lc , … , ` ,
La connaissance a priori des intervalles appropriés pour les valeurs de ` est exigée pour tous les critères, [Berro, 2001]. La méthode du ε-Contrainte est facile à mettre en place. Elle exige de fixer un seuil de performance sur n-1 critères. Le principal inconvénient de cette méthode est le fait qu’elle soit gourmande en temps de calcul s'il y a trop de contraintes, [Jeong, 2011].
Les différentes méthodes de l’approche scalaire transforment un problème d'optimisation multicritère en un ou plusieurs problèmes monocritère. Cette transformation permet d'utiliser facilement les méthodes d'optimisation monocritère. Certaines de ces approches ne peuvent pas résoudre complètement des problèmes non convexes et elles sont très sensibles à la forme du front Pareto. D’autres, même si elles peuvent traiter les problèmes non convexes, elles restent quand même sensibles à la forme du front Pareto. Ces méthodes nécessitent souvent une bonne connaissance du problème a priori, notamment pour fixer les vecteurs de poids ou les points de référence.
4.1.2. Approches non-scalaires
Ces approches sont de type a posteriori. Contrairement aux approches scalaires, elles ne transforment pas le problème multicritère en un problème monocritère, mais utilisent des opérateurs
Figure (3.5) : Approche d’agrégation (a) frontière Pareto convexe
2 1 Solution Pareto Minimiser F Hyperplan d 2
(b) frontière Pareto concave
1 2
spécifiques qui traitent séparément les différents objectifs [Ehrgott, 2005], elles n’utilisent pas non plus la notion de dominance Pareto. Il existe trois types de méthodes.
4.1.2.1. La méthode de sélection parallèle
L’approche VEGA (Vector Evaluated Genetic Algorithm) a été proposée par [Schaffer, 1985]. Elle est la première approche qui adapte un algorithme génétique pour la résolution de problèmes multiobjectifs. VEGA est fondée sur une idée simple : Si nous avons M objectifs et une population de individus, une sélection de /M individus est effectuée pour chaque objectif. Ainsi M sous-populations vont être créées, chacune d’entre elles contenant les /M meilleurs individus pour un objectif particulier. Les M sous-populations sont ensuite mélangées afin d'obtenir une nouvelle population de taille . Le processus se termine par l’application des opérateurs génétiques de modification (croisement et mutation). Il est à noter que de nombreuses variations autour de cette technique ont été effectuées, à savoir : paramètre pour contrôler le taux de sélection, [Ritzel, 1994], intégration de VEGA avec dominance de Pareto, [Tanaki, 1995], application à un problème contraint, [Surry, 1995]. Pour plus de détaille voir [Schaffer, 1985], [Berro, 2001], [Figure (3.5).
VEGA, est populaire, car, facile à implémenter. Elle a tendance à créer des sous-populations dont les meilleurs individus sont spécialisés pour un objectif particulier. VEGA ignore les solutions compromis et les solutions sur les zones non convexes du front de Pareto ne peuvent être générées.
4.1.2.2. Utilisation des genres
Cette méthode est proposée par [Allenson, 1992]. Allenson a utilisé un algorithme génétique canonique dans lequel un nombre égal d'individus des deux genres sera maintenu. La population est initialisée avec autant de males que de femelles, puis à chaque génération, les enfants remplacent les plus mauvais individus du même genre. La création des enfants s'effectue par croisement mais leur genre est choisi aléatoirement et leur attracteur est créé en fonction de plusieurs heuristiques différentes (aléatoire, clonage ou croisement).
Population initiale de n individus Sous population sélectionnée en fonction de l'objectif n°1 Sous population sélectionnée en fonction de l'objectif n/m … Population après mélange des n/m sous-populations Population après application des opérateurs génétiques
Figure (3.6) : Schéma de fonctionnement de VEGA
En 1996, Lis et Eiben ont également réalisé un algorithme basé sur l'utilisation des genres, mais dans ce cas l'algorithme n'est pas limité à deux genres, [Lis et al. 1996]. Il peut y avoir autant de genres que d'objectifs du problème. Ils ont également modifié le principe de croisement. Pour générer un enfant, un parent de chaque genre est sélectionné. Ensuite un croisement multipoint est effectué et le parent ayant participé le plus, en nombre de gènes, à l'élaboration de l'enfant transmet son genre. En cas d'égalité le choix s'effectue aléatoirement entre les parents égaux. L'opérateur de mutation effectue un simple changement de genre.
4.1.2.3. La méthode lexicographique
En 1985 Fourman a proposé une méthode dans laquelle les objectifs sont préalablement rangés par ordre d'importance par le décideur. Ensuite, l'optimum est obtenu en minimisant tout d'abord le critère le plus importante puis le deuxième et ainsi de suite, [Fourman, 1985].
4.1.2.4. La méthode avec genre
[Allenson, 1992] a proposé une méthode basée sur la notion de genre (masculin ou féminin) et d’attracteur sexuel pour traiter un problème bi-critères. L’exemple proposé consiste à minimiser la longueur d’un pipeline tout en réduisant l’impact écologique de sa construction. En affectant un objectif à chaque genre, l’auteur espère minimiser les deux objectifs simultanément car un genre sera toujours jugé d’après l’objectif qui lui a été assigné, [Hoël, 2011]. L’inconvénient de ce type de méthodes est qu’elles tendent à générer des solutions qui sont largement optimisées pour certains objectifs et très peu pour les autres. Les compromis sont délaissés.