Nombre d’éruptions par volcan

40 60 80 100 120 140 X

Nmonths with X eruptions per months

10⁰ 10¹ 0 50 100 150 X Nmonths 10⁰ 10¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³ X Nmonths

Figure 2.10 – Distribution des mois comportant X éruptions, en normal, lognormal

et loglog respectivement (courbes noires). Les courbes grisées représentent les mêmes distributions pour 100 tirages aléatoire d’occurrence d’éruption tirés dans une distribution uniforme.

2.2.3 Nombre d’éruptions par volcan

Quand on regarde la distribution du nombre d’éruptions par volcan sur la période 1950-2007, on trouve une distribution en loi puissance (figure 2.11) :

CHAPITRE 2 : FLUCTUATIONS DE LA DYNAMIQUE DES VOLCANS 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 20 40 60 80 100 120

Number of eruptions per volcano

Nvolcanoes 10⁰ 10¹ 10² 10⁰ 10¹ 10² 10³

Number of eruptions per volcano

Nvolcanoes

Figure 2.11 – Nvolcanoes est le nombre de volcans présentant X éruptions sur la période considérée, représenté en coordonnées normales (graphe supérieur) et en coordonnées loglog (graphe inférieur).

Pour tenter de comprendre d’où provient cette distribution en loi puissance, nous nous sommes intéressés :

- à la distribution des temps inter-éruptifs moyens de chaque volcan (figures 2.12 et 2.13) - au stack des distributions de temps inter-éruptifs pour chaque volcan (figure 2.14)

Temps inter-éruptifs moyens

Pour calculer les temps inter-éruptifs moyens, nous avons considéré, pour chaque vol-can, la série des temps entre éruptions consécutives. Cependant, nous nous sommes heurté au fait que la première éruption d’une série éruptive pour un volcan ne correspond pas au premier jour de la période considérée pour l’étude (1950-2009), et réciproquement la dernière éruption ne correspond pas au dernier jour de la période considérée. Il y a donc des effets de bords qui peuvent perturber fortement la valeur moyenne du temps inter-éruptif, surtout pour les volcans présentant peu d’éruptions.

En faisant abstraction de ces effets de bord, la distribution des temps inter-éruptifs moyens suit une loi exponentielle, comme l’indique la courbe relativement linéaire de la distribu-tion en représentadistribu-tion log-normale (figure 2.12, graphe du milieu).

Pour essayer de prendre en compte les effets de bords, nous avons considéré qu’il y avait, pour chaque volcan, des éruptions aux bords de la période considérées (1950-2009). En opérant ainsi, la distribution des temps inter-éruptifs apparaît linéaire (figure 2.13). Cela correspond donc à une distribution régulièrement répartie des temps inter-éruptifs moyens sur l’ensemble des volcans.

Sommation des distributions des temps inter-éruptifs pour chaque volcan Comme nous l’avons vu précédemment, la majorité des volcans présente un nombre total d’éruptions sur la période considérée inférieur à 5 (voir figure 2.11). L’étude de la

CHAPITRE 2 : FLUCTUATIONS DE LA DYNAMIQUE DES VOLCANS 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10⁴ 0 50 100 150

Mean interevent time

Nvolcanoes 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10⁴ 10⁰ 10¹ 10² 10³

Mean interevent time

Nvolcanoes 10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵ 10⁰ 10¹ 10² 10³

Mean interevent time

Nvolcanoes

Figure2.12 – Distribution des temps inter-éruptifs moyens de chaque volcan respective-ment en normal, log-normal et loglog, sans prendre en compte les effets de bords. Nvolcanoes

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 0 20 40 60 80

Mean interevent time

Nvolcanoes

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

10^1.3 10^1.8

Mean interevent time

Nvolcanoes

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

10^1.3 10^1.8

Mean interevent time

Nvolcanoes

Figure2.13 – Distribution des temps inter-éruptifs moyens de chaque volcan respective-ment en normal, log-normal et loglog, en prenant en compte les effets de bords. Nvolcanoes

CHAPITRE 2 : FLUCTUATIONS DE LA DYNAMIQUE DES VOLCANS

distribution dans le cas de volcans individuels est donc limitée par le peu de réalisations permettant de construire la distribution. C’est pourquoi nous nous sommes intéressés à une analyse de la distribution des temps inter-eruptifs en sommant les distributions individuelles de chaque volcan, de façon a faire émerger l’information masquée par la trop courte échelle de temps à laquelle on regarde les données. Lorsque l’on regarde le stack de la distribution des temps inter-éruptifs (entre deux éruptions consécutives sur un même volcan) pour tous les volcans du catalogue, on observe une fois encore une distribution en loi puissance (figure 2.14).

Pour comprendre l’émergence de cette loi puissance, nous avons réalisé quelques tests synthétiques à partir d’hypothèses pouvant conduire à l’apparition de la loi puissance pour les temps inter-éruptifs.

Tests synthétiques pour déterminer l’origine de la distribution en loi puissance des temps inter-éruptifs par volcan.

Nous voulons tester l’hypothèse suivant laquelle la distribution en loi puissance des temps inter-éruptifs par volcan peut dériver directement de la propriété d’uniformité de la distribution du temps inter-éruptif moyen. Pour cela, nous avons créé une distribution synthétique de temps inter-éruptifs moyens sur 362 volcans, tirés aléatoirement à partir d’une distribution uniforme, bornée entre 700 et 5500 jours, ce qui correspond aux bornes trouvées sur les données réelles (figure 2.13). A partir de cette distribution, nous avons calculé le nombre d’éruptions par volcan correspondant, et la distribution de ce nombre d’éruptions par volcan. Avec cette seule hypothèse de départ d’une distribution uniforme des temps-inter-éruptifs moyens, on retrouve bien une distribution du nombre d’éruptions par volcan qui suit une loi puissance très similaire aux données réelles (figure 2.15 à comparer à la figure 2.11).

Donc la distribution uniforme (répartie de façon linéaire) des temps inter-éruptifs moyens est suffisante à expliquer la distribution en loi puissance du nombre d’éruptions

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000 0 20 40 60 80 100

Interevent time between two consecutive eruptions of a volcano

Ninterevent−time

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴ 10⁵

10⁰

10¹

10²

Interevent time between two consecutive eruptions of a volcano

Ninterevent−time

Figure 2.14 – Stack des distributions de temps inter-éruptifs pour chaque volcan pris individuellement. N_{interevent−time} est la somme du nombre de temps inter-éruptifs prenant la valeur X pour l’ensemble des volcans.

CHAPITRE 2 : FLUCTUATIONS DE LA DYNAMIQUE DES VOLCANS 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 0 10 20 30 40 50 60

Number of eruptions per volcano

Nvolcanoes 10⁰ 10¹ 10² 10⁰ 10¹ 10² 10³

Number of eruptions per volcano

Nvolcnaoes

Figure 2.15 – Nombre d’éruptions par volcans, résultat des tests synthétiques réalisés à partir d’une distribution uniforme des temps inter-éruptifs moyens sur les différents volcans.

par volcan.

Etant donné l’incertitude de la distribution uniforme des temps inter-éruptifs moyens, due au biais introduit par la prise en compte des effets de bords, nous avons voulu testé également les implications d’une distribution du temps inter-éruptif moyen des volcans en loi exponentielle, comme c’est le cas lorsque l’on ne prend pas en compte les effets de bords (figure 2.12). Pour cela, nous avons créé une distribution synthétique de temps inter-éruptifs suivant une loi exponentielle, en utilisant 362 volcans. A partir de cette distribution nous pouvons calculer le nombre d’éruptions par volcan et la distribution qui en résulte (figure 2.16) :

On ne retrouve pas de distribution en loi puissance des temps inter-éruptifs. Il manque soit des volcans présentant un petit nombre d’éruptions, soit des grands temps inter-éruptifs moyens. Cela montre que la distribution uniforme des temps inter-inter-éruptifs est peut-être nécessaire pour obtenir une distribution en loi puissance du nombre d’événe-ments par volcan.

Pour résoudre tout à fait l’incertitude lié à ce biais des effets de bord, il faudrait travailler uniquement sur des volcans présentant un grand nombre d’éruptions, et sur une période beaucoup plus longue, ce qui aurait tendance à réduire les effets de bords.