5.14 Section 2: Definitions Required on the S/370 Host
5.14.2 NCP Definitions for AS/400B
O Tree Metric Theorem, provado por independentemente de Zaretskii (1965), Sim ˜oes- Pereira (1969) e Buneman (1971), afirma que numa X- ´arvore T , com pesos positivos nas arestas, com conjunto de folhas X e sem v ´ertices de grau dois, fica determinado, tanto o peso de todas as arestas como a topologia da ´arvore, pelo conhecimento das dist ˆancias entre todos os pares de folhas. E s ˜ao conhecidos algoritmos, como o Algoritmo Neighbor Joining (ver [3, p ´ag. 157]) que permitem reconstruir a ´arvore com pesos nas arestas a partir da matriz de dist ˆancias.
A abordagem feita por Dress, Huber e Steel em [4] que vamos introduzir nesta secc¸ ˜ao, ´e a de estudar as propriedades que permitem garantir que certos conjuntos de pares de folhas de uma X- ´arvore filogen ´etica determinem a ´arvore. Estes conjuntos, s ˜ao denotados porL e denomidados por Lassos.
De acordo com os autores do referido artigo, uma das raz ˜oes que tornam importante esta ideia ´e o facto de numa das poss´ıveis aplicac¸ ˜oes em biologia, a sequenciac¸ ˜ao gen ´etica, s ´o ser poss´ıvel determinar a chamada dist ˆancia gen ´etica entre uma parte das combinac¸ ˜oes dos objetos biol ´ogicos envolvidos, que no modelo matem ´atico ser ˜ao as folhas da ´arvore a reconstruir.
Ao longo desta secc¸ ˜ao, quando dizemos X- ´arvore queremos dizer X- ´arvore filo- gen ´etica e vamos identificar o conjunto das etiquetas, X, com o conjunto das folhas da ´arvore.
Definic¸ ˜ao 15. Numa X- ´arvore, a qualquer subconjunto com dois elementos, X2 de X
chamamos corda e escrevemos c = xy. Um conjunto de cordas diz-se um Lasso.
Definic¸ ˜ao 16. Duas X- ´arvores T e T0, com duas func¸ ˜oes peso associadas, w e w0, res-
pectivamente, dizem-seL -isom´etricas se a distˆancia entre os pares de folhas que per- tencem aL forem iguais nas duas X-´arvores, isto ´e, para todos {x, y} ∈ L , Dw(x, y) =
Dw0(x, y)e escrevemos (T, w)≡ (TL 0, w0).
Exemplo 7. Vamos considerar a X- ´arvore seguinte e o conjuntoL = {ab, bc, bd, af, ae}.
Consideremos a X- ´arvore T representada na Figura 2.19, e duas func¸ ˜oes peso distintas w definidas na ´arvore T , w2 e w3, quando ε = 2 e ε = 3, respetivamente.
As dist ˆancias entre todos os pares de folhas que pertencem ao Lasso L s˜ao iguais nas duas ´arvores:
Figura 2.19: X- ´arvore com pesos. Dw2(b, c) = 100 = Dw3(b, c) Dw2(b, d) = 202 = Dw3(b, d) Dw2(a, f ) = 204 = Dw3(a, f ) Dw2(a, e) = 200 = Dw3(a, e) logo, (T, w2) L ≡ (T, w3), com w2 6= w3
Exemplo 8. Vamos considedar agora duas X- ´arvores distintas, T e T0 representadas na
Figura 2.20, que n ˜ao s ˜ao topologicamente equivalentes, e cada uma com a sua func¸ ˜ao peso associada, w e w0, respetivamente. Consideramos tamb ´em o lassoL = {ab, cd}.
Figura 2.20: Duas X- ´arvores distintas.
Como no exemplo anterior, o peso do caminho entre os pares de folhas que perten- cem ao lassoL s˜ao iguais nas duas ´arvores:
Dw(a, b) = 2 = Dw0(a, b)
Dw(c, d) = 6 = Dw0(c, d).
logo, (T, w)≡ (TL 0, w0).
O peso do caminho entre os pares de folhas que n ˜ao pertencem ao lasso L s˜ao distintos nas duas ´arvores e portanto para qualquer conjunto de paresL0 que contenha
Dw(a, c) = 8 6= 4 = Dw0(a, c)
Dw(a, d) = 8 6= 4 = Dw0(a, d)
Dw(b, c) = 8 6= 4 = Dw0(b, c)
Dw(b, d) = 8 6= 4 = Dw0(b, d)
Definic¸ ˜ao 17. Seja T uma X- ´arvore eL um lasso associado a essa mesma ´arvore.
Vamos denotar por Γ(L ) o grafo que tem como conjunto de v´ertices os elementos do conjunto X, e arestas os pares de folhas que pertencem ao lassoL .
Por exemplo, o grafo Γ(L ) associado ao lasso L = {ab, bc, bd, af, ae} da Figura 2.19 ´e:
Figura 2.21: Grafo Γ(L ) associado a L = {ab, bc, bd, af, ae}.
Definic¸ ˜ao 18. Dada uma X- ´arvore T e um subconjuntoL de X2, definem-se tr ˆes tipo
de lassos:
• L ´e edge-weight lasso de T se determina o peso de todas as arestas da ´arvore, isto ´e, se w e w0 forem duas func¸ ˜oes peso em T que “coincidem emL ”. Isto ´e, tais que (T, w)≡ (T, wL 0)ent ˜ao coincidem em todas as arestas de T , ou seja, w = w0.
• L ´e lasso topol´ogico de T se determina a topologia da ´arvore, isto ´e, se w e w0
forem duas func¸ ˜oes peso em T e T0, respetivamente, que “coincidem emL ”, isto ´e, tais que (T, w)≡ (TL 0, w0), ent ˜ao T e T0 s ˜ao topologicamente equivalentes.
• L strong lasso de T se ´e simultaneamente edge-weight e topol´ogico; este sub- conjunto, L , permite determinar os pesos de todas as arestas da ´arvore e a sua topologia.
Seja T uma X- ´arvore com conjunto de folhas X = {a, b, c, d, e, f }, e seja L = {ab, ac, bc, de, df, ef } um lasso associado a esta X- ´arvore. ´E f ´acil verificar que L n˜ao
´e um edge-weight lasso.
Como j ´a foi visto na Definic¸ ˜ao 18, L ´e um edge-weight lasso se w e w0 forem duas func¸ ˜oes peso em T tal que (T, w)≡ (T, wL 0), ent ˜ao coincidem em todas as arestas de T ,
ou seja, w = w0. ´
E conhecido o comprimento dos caminhos que ligam quaisquer duas folhas do con- junto: {ab}, {ac}, {bc}, {de}, {df }, {ef }. No entanto, n ˜ao ´e poss´ıvel determinar a dist ˆancia entre uma folha do conjunto {abc} e do conjunto {def }. Consideremos ek uma aresta
do caminho que ligue duas folhas dos conjuntos {abc} e {def } e que n ˜ao pertenc¸a aos caminhos que ligam os pares de folhas do conjunto L . Essa aresta pode tomar
qualquer valor, o que n ˜ao garante que w = w0, logoL = {ab, ac, bc, de, df, ef} n˜ao ´e um
edge-weight lasso para a X- ´arvore T .
Por fim, vamos considerar a X- ´arvore representada na Figura 2.22 com conjunto de folhas X = {a, b, c, d, e, f }, e sejaL = {ab, ac, bc, de, df, ef, ae, bd, cf} um lasso associado a T .
Figura 2.22: X- ´arvore T .
Vamos verificar que L ´e um edge-weight lasso para a X-´arvore T , uma vez que ´e poss´ıvel determinar, para qualquer func¸ ˜ao peso w de T , os valores D(x, y) := Dw(x, y),
para todas as cordas xy ∈ X2.
As dist ˆancias entre quaisquer xy ∈ L s˜ao conhecidas. Vamos verificar se, para todas as cordas que n ˜ao pertenc¸am ao lassoL , ´e poss´ıvel determinar o valor de D(x, y). Por exemplo:
D(a, d) = D(a, c) + D(b, d) − D(b, c)
depois de conhecida a dist ˆancia entre as folhas a e d, podemos determinar: D(b, e) = D(a, e) + D(b, d) − D(a, d).
Analogamente, determinamos a dist ˆancia entre os pares de folhas restantes: D(c, e) = D(d, e) + D(c, f ) − D(d, f )
D(a, f ) = D(c, f ) + D(a, e) − D(c, e) D(b, f ) = D(b, e) + D(a, f ) − D(a, e) D(c, d) = D(c, e) + D(a, d) − D(a, e).
Para uma certa func¸ ˜ao peso w, ´e poss´ıvel determinar a dist ˆancia entre todos os pares de folhas, ent ˜aoL = {ab, ac, bc, de, df, ef, ae, bd, cf} ´e um edge-weight lasso.
No entanto,L n˜ao ´e um lasso topol´ogico, pois existem, pelo menos, duas X-´arvores que n ˜ao s ˜ao topologicamente equivalentes com o mesmo peso entre todos os pares de folhas da X- ´arvore T . Na Figura 2.23 est ˜ao representadas duas X- ´arvores, T1e T2, com
a mesma dist ˆancia entre todos os pares de folhas deL , mas n˜ao s˜ao topologicamente equivalentes.
Figura 2.23: Duas ´arvores que n ˜ao s ˜ao topologicamente equivalentes: T1 e T2.
Admitamos que existe uma func¸ ˜ao φ : V (T1) −→ V (T2), que ´e um isomorfismo nas
duas X- ´arvoes.
Para as duas X- ´arvores, T1 e T2, considere-se:
• x e y dois v ´ertices interiores de T1,
• ax a aresta com extremidades a e x; cy a aresta com extremidade c e y, • φ(x) e φ(y) as imagens de x e y em T2, respetivamente,
representado na Figura 2.24.
Assim sendo, a aresta ax tem que ter por imagem uma aresta que tem extremidade em a, e outra extremidade em φ(x) (imagem de x em T2).
Do mesmo modo, a aresta cy tem que ter por imagem uma aresta que tem extremi- dade em c, e outra extremidade em φ(y) (imagem de y em T2).
Com esta construc¸ ˜ao, na X- ´arvore T2, temos que φ(x) = φ(y), o que contradiz o item
1da Definic¸ ˜ao 13, logo T1 X
T2.
Figura 2.24: T1 e T2.
Teorema 2.4. Se n ≥ 4 eL ´e lasso topol´ogico de T , ent˜ao Γ(L ) deve ser conexo.
Demonstrac¸ ˜ao. Suponha que existe uma bipartic¸ ˜ao de X em dois subconjuntos disjun- tos n ˜ao vazios, A e B, tal queL n˜ao cont´em nenhuma corda formada por ab onde a ∈ A e b ∈ B. Considera-se w qualquer func¸ ˜ao de peso em T . Consideremos T |A e T |B as
duas ´arvores obtidas atrav ´es da restric¸ ˜ao de T a A e B, respetivamente, e consideremos w|Ae w|B, as restric¸ ˜oes de w a estas sub ´arvores, as suas func¸ ˜oes de peso.
Podemos ent ˜ao construir uma X- ´arvore T0 com func¸ ˜ao de peso w0 tal que T0 n ˜ao ´e
topologicamente equivalente a T apesar de se verificar T |A ∼= T0|A e T |B ∼= T0|B, bem
como wA = w0Ae wB= w0B e , por conseguinte, (T, w) e (T
0, w0)seremL -isom´etricas.
Isso pode ser feito pela “fus ˜ao” de T |A e T |B por arestas convenientemente escolhi-
das.
A Figura 2.25 representa a X- ´arvore com conjunto X = {a, b, c, d, e, f }, conjunto L = {ab, bc, ac, de, ef, fd} e o grafo Γ(L ). Como o grafo ´e desconexo, ent˜ao o lasso L n ˜ao ´e topol ´ogico.
Figura 2.25: X- ´arvore com conjunto X = {a, b, c, d, e, f } e o seu grafo Γ(L ) assciado ao conjuntoL = {ab, bc, ac, de, ef, fd}.
Teorema 2.5. Se L ´e weigth-lasso de T , ent˜ao Γ(L ) ´e fortemente n˜ao bipartido, i.e.,
todas as componentes conexas do grafo Γ(L ) s˜ao n˜ao bipartidas.
Demonstrac¸ ˜ao. Suponha que Γ(L ) cont´em uma componente conexa que ´e bipartida: seja Y ⊆ X o conjunto de v ´ertices dessa componente e sejam Y+ e Y−, os dois conjuntos de uma bipartic¸ ˜ao de Y tais que n ˜ao existem arestas do grafo a ligar v ´ertices Y+ entre si, nem de Y− entre si.
Dada qualquer func¸ ˜ao de peso de T , podemos adicionar uma constante suficien- temente pequena, τ , aos pesos de todas as arestas que cont ´em uma folha em Y+ e
subtrair a mesma quantidade a todos os pesos das arestas que cont ´em uma folha em Y−, sem alterar a dist ˆancia entre quaisquer duas folhas x, x0 ∈ X com xx0 ∈ L . Sendo
assim, o lasso n ˜ao ´e edge-weigth lasso.
Na Figura 2.26 est ´a representada uma X- ´arvore com conjunto X = {a, b, c, d, e}. ConsideremosL = {ab, ac, bc, de} e o seu grafo Γ(L ) que como verific´amos na figura ´e um grafo desconexo.
Figura 2.26: X- ´arvore com conjunto X = {a, b, c, d, e} e o grafo Γ(L ) associado ao conjuntoL = {ab, ac, bc, de}.
Consideremos a componente conexa bipartida do grafo, {de}. Temos ent ˜ao os con- juntos de bipartic¸ ˜ao Y+ = {d} e Y− = {e} e somamos τ a todas as arestas incidentes
nas folhas que pertencem ao conjunto Y+e subtraimos τ a todas as arestas que incidem
nas folhas que pertencem ao conjunto Y−, ilustrado na Figura 2.27.
Figura 2.27: X- ´arvore com conjunto X = {a, b, c, d, e} com diferentes pesos nas arestas. Como verificamos na Figura 2.27, a dist ˆancia entre todos os pares de folhas que pertencem ao lassoL mantˆem-se nas duas ´arvores, variando o valor τ obtemos v´arias X−´arvores distintas e a dist ˆancia entre os pares de folhas do lasso L n˜ao se altera. Concluimos ent ˜ao que o lassoL n˜ao ´e edge-weigth lasso.
Corol ´ario 1. Em particular, Γ(L ) ´e conexo e n˜ao bipartido se L ´e strong-lasso para T .
Demonstrac¸ ˜ao. Pelo Teorema 2.4 sabe-se que se Γ(L ) ´e um grafo conexo, ent˜ao L ´e um lasso topol ´ogico. Por outro laso, pelo Teorema 2.5 sabe-se que que se Γ(L ) ´e fortemente n ˜ao bipartido, ent ˜aoL ´e um edge-weight lasso.
Assim, se Γ(L ) ´e um grafo conexo e fortemente n˜ao bipartido, ent˜ao o lasso L ´e um edge-weight lasso e lasso topol ´ogico, ou seja, um strong lasso.
Cap´ıtulo 3
Matroides
Neste cap´ıtulo introduzimos uma estrutura combinat ´oria que ser ´a associada no cap´ıtulo seguinte `as X- ´arvores filogen ´eticas, um matroide.
O matroide pode ser introduzido de diversas formas que podem estar mais direta- mente relacionadas com alguns dos objetos matem ´aticos a que esta estrutura pode ser associada: por exemplo, o conjunto de independentes, o das bases ou o dos circuitos. O conceito de base de um espac¸o vetorial e o de ´arvore geradora de um grafo, s ˜ao dois dos mais conhecidos exemplos diretamente ligados a esta estrutura combinat ´oria.
Ela ´e definida num conjunto finito e n ˜ao vazio, dito o seu conjunto de suporte, que no caso em estudo no pr ´oximo cap´ıtulo ser ´a X2, visto como o conjunto dos pares de folhas de uma X- ´arvore. Neste caso, ser ´a usada uma func¸ ˜ao, denominada por func¸ ˜ao rank, para introduzir o matroide associado a uma qualquer X- ´arvore.
As provas de alguns dos resultados aqui apresentados bem como outras proprieda- des e resultados gerais em Teoria de Matroides podem ser consultados, por exemplo, em [1], [2] e [6].
3.1
Definic¸ ˜ao e Propriedades
Definic¸ ˜ao 19. Seja M um conjunto finito eI um conjunto de partes de M, que satisfa-
zem as seguintes condic¸ ˜oes: (i) ∅ ∈ I ;
(ii) Se X ∈I e Y ⊆ X ent˜ao Y ∈ I ;
(iii) Se I1 e I2 ∈I e |I1| < |I2| ent ˜ao existe um elemento b ∈ I2\I1 tal que I1∪ {b} ∈I .
Dizemos ent ˜ao queM = (M, I ) ´e um matroide.
Se M = (M, I ) ´e um matroide, dizemos que M ´e um matroide sobre M ou que M ´e o conjunto de suporte deM .
Os elementos de I , tamb´em denotado por I (M ), dizem-se os independentes de M .
Os subconjuntos de M que n ˜ao est ˜ao emI s˜ao ditos os dependentes de M . Observe-se o que resulta da Definic¸ ˜ao 19:
• o conjunto de independentes ´e n ˜ao vazio porque ∅ ∈ I .
• Como I 6= ∅ e M ´e finito existe sempre pelo menos um conjunto independente maximal para a inclus ˜ao:
Vamos supor x0 um elemento do conjunto M e I0 um subconjunto independente.
Se existir um elemento x1 ∈ M \{I0} tal que I1 = I0 ∪ {x1} ´e um subconjunto
independente, isto implica que existe um subconjunto indepentente que cont ´em es- tritamente o anterior; caso contr ´ario, I0 ´e um conjunto independente maximal. Em
geral, se Ii−1 ´e um conjunto independente, ou podemos acrescentar um elemento
xi ∈ M \Ii−1 tal que Ii = Ii−1∪ {xi} ´e um conjunto independente ou Ii = Ii−1∪ {xi}
´e dependente, para todo xi ∈ M \Ii−1, e nesse caso Ii−1 ´e independente maximal.
Como M ´e um conjunto finito e existe pelo menos um I0 isto implica que existe um
k tal que Ik ´e um subconjunto independente maximal.
• Os subconjuntos independentes maximais s ˜ao ditos bases do matroide.
Lema 4. Quaisquer dois conjuntos independentes maximais t ˆem o mesmo n ´umero de
elementos.
Demonstrac¸ ˜ao. Sejam I1 e I2 dois conjuntos independentes maximais de um matroide
M e admitamos por reduc¸˜ao ao absurdo que |I1| 6= |I2|; sem perda de generalidade
podemos admitir que |I1| < |I2|. Pela Definic¸ ˜ao de matroide, existe um elemento b ∈ I2\I1
tal que I1 ∪ {b} ´e independente. Sabemos que I1 ∪ {b} % I1 porque b ∈ I2\I1, o que
contraria o facto de I1 ser maximal.
Logo, nem |I1| < |I2| nem |I2| < |I1|. Assim sendo |I1| = |I2|.
Decorre do lema anterior que, quaisquer duas bases de um matroide M , tˆem o mesmo n ´umero de elementos.
Teorema 3.1. SejaB uma colec¸˜ao de subconjuntos de M. Se B ´e a colec¸˜ao de bases
de um matroide em M , ent ˜ao, satisfaz as seguintes condic¸ ˜oes: (i) B 6= ∅;
(ii) Se A e B s ˜ao membros distintos de B e a ∈ A \ B, ent˜ao existe um elemento b ∈ B \ Atal que A \ {a} ∪ {b} ∈ B.
Demonstrac¸ ˜ao. Como j ´a foi visto anteriormente, a colec¸ ˜ao das bases de um matroide ´e n ˜ao vazia.
Sejam A e B ∈B duas bases quaisquer.
As bases de um matroide s ˜ao os subconjuntos independentes maximais, ent ˜ao, pelo Lema 4 sabemos que |A| = |B|.
Consideremos x ∈ A\B. Como A\{x} ⊆ A e A ∈ I , ent˜ao pela Definic¸˜ao 19, A\{x} ∈I .
Dado que |A\{x}| = |A| − 1 = |B| − 1 < |B|, pela Definic¸ ˜ao 19 sabemos que existe y ∈ B\(A\{x})tal que (A\{x}) ∪ {y} ∈I .
Como |(A\{x}) ∪ {y}| = |A| = |B| e {x} 6= {y}, ent ˜ao (A\{x}) ∪ {y} ´e maximal, se n ˜ao fosse teriamos independentes maximais com cardinais distintos, o que contraria o Lema 4.
O rec´ıproco do Teorema ´e verdade, ou seja, se uma colec¸ ˜aoB de subconjuntos de um conjunto M satisfaz as duas propriedades, ent ˜ao o parM = (M, I ) ´e um matroide, ondeI = {I ∈ P(M) : I ⊆ B para algum B ∈ B} e P(M) ´e o conjunto das partes de M.
A prova do rec´ıproco do Teorema pode ser vista na p ´agina 8 de [2]. De seguida, s ˜ao apresentados alguns exemplos de matroides.
Exemplo 9 (Matroide Livre). Seja M um conjunto com n elementos tal que M ∈ I .
Neste caso, todos os subconjuntos de E s ˜ao independentes, ou seja, I = P(M). O parM = (M, P(M)) define um matroide dito matroide livre.
Exemplo 10. Sejam n e k dois inteiros n ˜ao negativos tais que k ≤ n. Seja E o conjunto
com n elementos eB a colec¸˜ao de subconjuntos de M com k elementos.
A fam´ıliaB verifica os axiomas das bases de um matroide e assim o par M = (M, B) define um matroide chamado matroide uniforme, denotado por Un,k.
A qualquer grafo podemos associar um matroide.
Definic¸ ˜ao 20 (Matroide Gr ´afico). Consideremos um grafo conexo G e seja E(G) o con-
junto de arestas de G.
A este grafo podemos associar o matroide, MG = (EG,IG), com conjunto de suporte
igual ao conjunto das arestas do grafo G, EG, e conjunto de independentes os conjuntos
ac´ıclicos de arestas de G, i.e., os conjuntos de arestas dos seus subgrafos acı’ıclicos, IG= {I ⊆ EG: G[I] ´e ac´ıclico }.
Seja BG o conjunto formado pelos conjuntos de arestas ac´ıclicos maximais; prova-
mos em [6] que os elementos deste conjunto s ˜ao as ´arvores geradoras do grafo G. Como referimos anteriormente, as bases dos matroides tem propriedades b ´asicas que podem ser tomadas como axiomas para um matroide. Deste modo, caracterizamos o matroide atrav ´es do seu conjunto de bases.
Teorema 3.2. Se G ´e um grafo conexo, ent ˜ao MG = (EG,BG) ´e um matroide.
Demonstrac¸ ˜ao. Consideremos A e B duas ´arvores geradoras distintas do grafo G, A e B ∈BG e seja a ∈ A\B e b ∈ B\A.
Queremos provar que A ∪ {b}\{a} ∈ BG, ou seja, que ´e uma ´arvore geradora de G.
Consideremos uma aresta b ∈ B\A, A ∪ {b} cont ´em um ´unico ciclo, Cb, ver secc¸ ˜ao
2.1.2. Como B ´e uma ´arvore, ent ˜ao Cb * B.
Sabemos ent ˜ao, que existe uma aresta a ∈ A\B tal que A ∪ {b}\{a} ´e ac´ıclico, ou seja, uma ´arvore.
Como |A ∪ {b}\{a}| = |A| = |B| ent ˜ao A ∪ {b}\{a} ´e uma ´arvore geradora, pois todas as ´arvores geradoras tem a mesma cardinalidade.
Exemplo 11. Na Figura 3.1 est ´a representado o grafo G = K4, sendo K4 o grafo
completo com quatro v ´ertices.
Como acima j ´a foi definido, o conjunto de suporte ´e o conjunto das arestas do grafo, ou seja, E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6}. O conjunto dos independentes do matroide s ˜ao as
florestas do grafo.
Assim, definimos o matroide MG= (EG,IG).
O conjunto das bases deste matroide s ˜ao as florestas maximais do grafo G. Como G ´e um grafo conexo, as bases do matroide s ˜ao as ´arvores geradoras:
BG = {{e1, e2, e5}, {e1, e2, e6}, {e1, e2, e4}, {e1, e3, e5}, {e1, e3, e4},
{e1, e3, e6}, {e4, e3, e6}, {e3, e2, e6}, {e3, e2, e5}, {e3, e2, e4}, ...}
Figura 3.1: Grafo completo com quatro v ´ertices, K4.
Definic¸ ˜ao 21. Um circuito de um matroide ´e um subconjunto C de M , dependente
minimal, isto ´e, tal que C ´e dependente e ∀x ∈ C, C\{x} ´e independente. A colec¸ ˜ao dos circuitos do matroide ´e denotada porC .
Como j ´a referimos, a colec¸ ˜ao das bases tem propriedades simples que podem ser tomadas como axiomas para um matroide. O mesmo acontece com os circuitos.
Teorema 3.3. Seja M um conjunto finito; C ⊆ P(M) ´e a colec¸˜ao dos circuitos de um
matroideM , denotada por C ,se e s´o se tem as seguintes propriedades: (i) ∅ /∈C ;
(ii) Se C1, C2 ∈C , com C1 ⊆ C2 ent ˜ao C1 = C2;
(iii) Se C1, C2 ∈ C , com C1 6= C2 e a ∈ C1 ∩ C2 ent ˜ao existe C3 ∈ C tal que C3 ⊆
(C1∪ C2)\a.
A prova do Teorema 3.3 pode ser vista na p ´agina 23 [1].
De modo a ilustrar os circuitos de um matroide associado a um grafo, vamos conside- rar o grafo G representado na Figura 3.2. SejaM = MG, o matroide gr ´afico associado
ao grafo G. O par M = (E, C ) que representa o matroide, tem como conjunto de suporte E as arestas e C os ciclos do grafo G. Ou seja, E = {e1, e2, e3, e4, e5, } e
Figura 3.2: Grafo G.