Os elem en to s esc o lh id o s foram elem entos is o p a ra m é tric o s com fu n ç õ e s d e in te rp o la ç ã o la g ra n g e a n a s , bidim ensionais p a r a a s m alhas d e domínio, e unidim en sio n a is p a ra a s m alhas d e c o n to rn o . Como foi, também, re a liz a d a um a a n álise ex p erim en tal d e c o n v e rg ê n c ia p - e h - p a ra o método, foi to m ad a um a fam ília de elem entos la g ra n g e a n o s , d e sd e lin e a re s a té d e décim a ordem , con fo rm e a T ab ela 4.1- S a b e -s e qu e e s te s não são os m elh o res elem entos p a ra uma a n á lise d e c o n v e rg ê n c ia , s e n d o id eais a q u e le s d e b a se h ie rá rq u ic a .
Elem entos is o p a ra m é tric o s foram e stu d a d o s p rim eiram en te p o r ZIENKIEWICZ (1977) [77], e o nom e " iso p a ra m é tric o " vem do fa to d e q u e a s m esm as fu n ç õ e s q u e d e sc re v e m a g e o m e tria são u s a d a s p a r a in te rp o la r v a ria ç õ e s e sp a c ia is d e um a fu n ç ã o no elem ento. A fo rm u lação is o p a ra m é tric a u tiliz a um m apeam ento do elem ento d e m alha em um elem ento p a d rã o (" m e s tre ” ), u tiliz a n d o um siste m a d e c o o rd e n a d a s a d im e n sio n a - lizad o (sistem a n a tu r a l d e c o o rd e n a d a s), conform e F ig u ra 4.1.
Os elem en to s is o p a ra m é tric o s são d e c o n tin u id a d e C° e tem o s n ó s e q u id is ta n te s . Os elem entos d e c o n to rn o u tiliz a d o s p a ra a aproxim ação d a s e q u a ç õ e s in te g r a is sã o elem entos is o p a ra m é tric o s unid im en sion ais e têm a fu n ç ã o d e in te rp o la ç ã o no po n to n o d al Ç = i e x p r e s s a p o r
_ A ( 2 y - n - l ) - ( n - 1 ) ^
^ M 2 ( / - 0
J*i
(4.1)
o n d e n é o núm ero d e nós do elem en to e a s fu n ç õ e s Nj sãó polinóm ios d e L a g ra n g e de g ra u n -1 , em re la çã o à c o o rd e n a d a n a tu r a l Ç do elem ento m e stre , co n fo rm e F ig u ra 4.2.
Os elem entos fin ito s e m p re g a d o s n a d i s c r e t i z a ç ^ do domínio p a r a a o b te n ç ã o d as p ro je ç õ e s d a fu n ç ã o d e G reen s ã o elem en tos iso p a ra m é tric o s q u a d r a n g u la r e s e têm a fu n ç ã o d e in te rp o la ç ã o no p o n to n o d al (Ç,ii) e x p re s s a p o r xr rp - I T - (« -1 )$ A - (» -O n - 1 1 — 1 1 — (4.2) Jk=l M /=1 /»/
o n d e n é a ra iz q u a d ra d a do n ú m ero d e n ó s do elem ento (ou o n ú m ero d e n ó s em c ad a uma d as d ire ç õ e s Ç e ti) e a s fu n ç õ e s Njj são p ro d u to s d e polinóm ios de
L a g ra n g e d e g ra u n -1 n a s d ire ç õ e s Ç e t^. A F ig u ra 4.3 m o s tra um elem en to d e 2“ ordem .
V ^ , _
'v\
T abela 4.1: Elem entos F in ito s e d e C ontorno.
Ordem do elem ento
Número d e n ós
Elem ento fin ito Elem ento d e c o n to rn o
1“ o rd em 4 2 2® o rd em 9 3 3® o rd em 16 4 4^ o rd em 25 5 5“ o rd em 36 6 6“ o rd em 49 7 7“ o rd em 64 8 8® o rd em 81 9 9® ordem 100 10 10® o rd em 121 11
4.2 0 PROBLEMA DE AUTOVALORES / AUTOVETORES
Após e q u ac io n a d o o problem a d e a u to v a l o r /a u to v e to r c a b e re s o lv ê -lo p o r algum m étodo num érico. O m étodo e m p reg ad o n e s te tr a b a lh o é o Método da Ite ra ç ã o S u b e sp ac ia l, o n d e s e it e r a so b re s u b e s p a ç o s a té c o n v e r g ir a um su b e s p a ç o q u e contém a s m elh o res aproxim ações d os m odos d e v ib ra ç ã o d e m enor e n e rg ia , c o rre s p o n d e n d o à s m enores fre q u ê n c ia s n a tu ra is d e v ib ra ç ão . O M étodo d a Ite ra ç ã o S u b e sp a c ia l é um m étodo p re c iso , porém le n to q u a n d o um n ú m ero m uito g ra n d e de a u to v a lo re s / a u to v e to re s são so licitad o s.
0 eq u ip am en to u tilizad o p á ra a execução do código co m p u tacio n al d e se n v o lv id o fo i um I n te r g r a p h I 200 ( M icrovax) do G rante/U F S C e um C onvex C 210, do NPD/UFSC. O M icrovax, p ela s u a a r q u ite tu r a , c a r a c te r iz a - s e p o r s e r um eq u ip am en to m uito p re c iso , p ro p ic ia n d o a o b te n ç ã o de b o n s r e s u lta d o s q u a n d o s e b u sc o u uma a n á lise de c o n v e rg ê n c ia d e método. 0 Convex s e c a r a c te r iz a p o r t e r um a g ra n d e c a p a c id a d e d e p ro c e ssa m e n to d e o p e ra ç õ e s a lg é b ric a s, m o s tra n d o -s e m uito ú til n a s s itu a ç õ e s o n d e a d is c re tiz a ç ã o a p lic a d a ao p ro b lem a re su lta \ra em um núm ero m uito g ra n d e de e q u aç õ e s a serem re s o lv id a s , m as com p re c is ã o in f e r io r à do M icrovax.
4.3 APLICAÇÕES
4.3.1 G e n e ra lid a d e s
As ap licaçõ es e fe tu a d a s visam , p rim eiram en te, v a lid a r o p ro ced im en to d e se n v o lv id o , e c o b rir um a v a ria d a gam a d e g eo m etrias e co n d içõ es de c o n to rn o s u s c e tív e is d e o c o r r e r em s itu a ç õ e s re a is . São re s o lv id a s g e o m etria s sim ples, a m aioria a p r e s e n ta n d o so lu çõ es a n a lític a s , e, também , g eo m etrias menos co n v en cio n ais, o n d e não h á so lu çã o a n alítica . Os r e s u lta d o s o b tid o s são co m p arad o s com a s so lu çõ es e x a ta s, se m p re q u e e s ta s ex istirem , e com so lu çõ es aproxim adas a p r e s e n ta d a s em o u tro s tra b a lh o s .
P o rta n to , são a p r e s e n ta d o s r e s u lta d o s p a ra f r e q u ê n c ia s n a tu r a is de v ib ra ç ã o d e m em branas e lá s tic a s com to d a s a s b o rd a s fix a s, q u e c o rre s p o n d e a condição d e c o n to rn o de D irich let; com algum as b o rd a s fix as e o u tr a s liv re s , con dição d e c o n to rn o m ista (as b o rd a s fix as c o rre sp o n d e m à condição d e c o n to rn o de D iric h le t e as liv r e s à co n d ição de c o n to rn o d e N eum ann). Também são a p r e s e n ta d a s fre q u ê n c ia s n a tu r a is d e o n d a s em c av id a d e s a c u stic a m e n te ríg id a s (im perm eáveis ao fluxo so n o ro ), c o rre s p o n d e n d o a co n d içõ es d e c o n to rn o de Neumann.
Como p rim e ira ap licação , c a b e v e r if ic a r a não d e p e n d ê n c ia p a ra m é tric a em re la çã o ao p a râ m e tro a r b i tr á r io en v o lv id o n a fo rm ulação, p a ra e v ita r o s u rg im e n to d e flu x o s fic tíc io s como re s u lta d o . A form u lação p o te n c ia l e s tá tic a j á não a p r e s e n ta e s ta d e p e n d ê n c ia , q u e o c o r r e no m étodo o rig in al, no M étodo d a F u n ção de G reen Local, d e se n v o lv id o p o r B u rn s , H orak e D o rn in g . P o rta n to , é de s e e s p e r a r , como re a lm en te a c o n te c e , q u e aq u i, n a fo rm u lação p o te n cial dinâm ica, e s ta d e p e n d ê n c ia não o c o rra .
4.3.2 M embranas E lá s tic a s com B o rd as Fixas
A p re s e n ta -s e , aq u i, a p lic aç õ es do MLGFM p a r a a o b te n ç ã o d as fr e q u ê n c ia s n a tu r a is d e v ib ra ç ão d e m em branas e lá s tic a s com b o rd a s fix as, r e p r e s e n ta d a s p e la eq u ação de Helmholtz, sob co n d içõ es d e c o n to rn o d e D iric h le t hom ogêneas em to d o s os nós do c o n to rn o . Os r e s u lta d o s m o stram a v a lid a çã o do m étodo p a ra e s ta con d ição e exprim em s u a p re c isã o q u a n d o co m p arad o s com so lu çõ es a n a lític a s e o u tr a s so luçõ es n u m é ric a s. Os v a lo re s p a r a a s fr e q u ê n c ia s n a tu r a is são e x p re s s o s em fo rm a ad im en sio n alizad a
£ (4.3)
T
Q»rv» — 0) a .
271 N
P.
T
(4.4)
em Hz, o n d e é o a u to v a lo r o b tid o do problem a d e a u to v a lo r /a u to v e to r , a é uma dim en são c a r a c te r ís tic a d a g e o m etria em q u e stã o , p é a d e n s id a d e s u p e rfic ia l da m em brana e T é a te n s ã o a p lic a d a à membrana. As e x p re s s õ e s acim a s e r ã o e m p re g ad a s com form e a fo rm a d e a p re s e n ta ç ã o dos re s u lta d o s u tiliz a d o s p a r a com paração. O e r r o calc u la d o e n tr e a so lu ção o b tid a e a solução a n a lític a o u , p o rv e n tu ra , o u tr a so lu ção n u m érica, é o b tid o n a norm a 1«,
Aplicatção 01: A valiação d a in flu ê n c ia do p a râ m e tro
C o n s id e re -s e um a m em brana e lá s tic a r e ta n g u la r , com a s b o rd a s fix as, e s te n d e n d o -s e p o r um dom ínio Q = {(x,y) : 0 < x < 3 , 0 < y < 2 } , conform e F ig u ra 4.4. Os re s u lta d o s p a r a a p rim e ira e s e g u n d a fr e q u ê n c ia s n a tu r a is d e v ib ra ç ão são a p re s e n ta d o s e f a z - s e um a v a ria ç ã o do v a lo r de ko d e ±10"°* a té ±10'^°f m o stra n d o a p e q u e n a ou queise n e n h u m a a lte ra ç ã o dos re s u lta d o s com a v a ria ç ã o d e kj, Is s o m o s tra a não d e p e n d ê n c ia p a ra m é tric a do método. Os v a lo re s sã o m o stra d o n a T ab ela 4.2.
T a b e la 4.2: V erificação d a in flu ê n c ia do p a râ m e tro k -
ko 1° a u to v a lo r 2° a u to v a lo r - 10*°® 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°’ 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°® 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°^ 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°'» 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°3 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°2 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°1 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10*°° 13,3846242347081 23,7846772463068 - 10-°1 13,3846242347081 23,7846772463074 - 10"°2 13,3846242347050 23,7846772463068
ko 1° a u to v a lo r 2° a u to v a lo r - io-°3 13,3846242343863 23,7846772463051 - 10-«" 13,3846242444296 23,7846772463322 - 10-«^ 13,3846261040475 23,7846772458104 - 10“°® 13,3847560686320 23,7846772463351 - 10-“’ 13,3888469837250 23,7846770108522 - 10"°* 9,23164030272365 23,7842921641985 10-08 15,9913941873655 23,7516869950405 10-07 13,3905290147836 23,7846770848532 10-06 13,3849902674642 23,7846772450788 10-°^ 13,3846245230098 23,7846772459941 10-04 13,38 4 6 241735049 23,7846772463360 10-03 13,3846242346605 23,7846772463044 10-02 13,3846242347079 23,7846772463067 10-01 13,384624234708o 23,7846772463068 lO+oo 13,3846242347081 23,7846772463068 10+01 13,3846242347081 23,7846772463068 10+02 13,3846242347081 23,7846772463068 10+03 13,3846242347081 23,7846772463068 10+04 13,3846242347081 23,7846772463068 10+05 13,3846242347081 23,7846772463068 10+06 13,3846242347081 23,7846772463068 10+07 13,3846242347081 23,7846772463068 10+08 13,3846242347081 23,7846772463068
P ela anáH se dos r e s u lta d o s p e r c e b e - s e q u e, realm en te, ko não pode a ss u m ir o v a lo re s te n d e n d o a z ero . Também, v ê - s e q u e v a lo re s p a r a kj, e n tr e -1 ,0 e +1,0 não são reco m en d áv eis, j á q u e é a fa ix a d e v a lo re s o n d e os re s u lta d o s a p re se n ta m um a lig e ira v a ria çã o . P o rta n to a form u lação p o ten cial dinâm ica do MLGFM
p a r a a n á lise m odal a p r e s e n ta mau co n dicio n am en to r e s t r i t o a um p e q u en o in te rv a lo .
Aplicação 02, A valiação d a in flu ê n c ia d a d is to rç ã o d e malheu
Uma s e g u n d a ap licação v is a a n a lis a r a s e n s ib ilid a d e d os r e s u lta d o s à distorçêío d e m alha. P a ra e s ta a n á lise c o n s id e r a - s e um a m em brana e lá s tic a q u a d ra d a , com a s b o rd a s fix as, e s te n d e n d o -s e p o r um dom ínio Q = {(x,y) ; 0 < x ,y < 9 }, d is c re tiz a d o p o r t r ê s m alhas de 3x3 elem en tos fin ito s lin e a re s , q u a d rá tic o s e cú b ico s, re s p e c tiv a m e n te , e elem entos d e c o n to rn o c o rre s p o n d e n te m e n te lin e a re s , q u a d rá tic o s e c ú b ico s. Em c a d a m alha, p ro m o v e u -se uma d is to rç ã o , g ira n d o -s e o elem ento c e n tr a l d e 45“, conform e F ig u ra 4.5. Os re s u lta d o s sã o m o stra d o s n a T ab ela 4.3. T endo em v is ta os re s u lta d o s p a r a a s t r ê s m alhas, u n ifo rm es e d is to rc id a s , p o d e -s e a firm a r que a form ulação é s e n s ív e l à d is to rç ã o d e m alha. Porém e s ta sen sib iU d a d e é dim inuída p a r a elem entos d e m aior ordem . P o rta n to , p a r a g e o m etria s ir r e g u la r e s , o n d e não s e p o d e e v ita r a d is to rç ã o dos elem entos, s u g e r e - s e o em p reg o d e elem entos d e ordem m ais e le v a d a ou um re fin o s e le tiv o n a q u e la s re g iõ e s o n d e a d is to rç ã o é m aior.