Modulateur électro-optique

Le modulateur électro-optique (MEO) est le moyen le plus simple d’ajouter une modulation de phase optique. Ces modulateurs reposent pour la plupart sur l’effet Pockels : la présence d’un champ électrique dans un cristal sans symétrie de révolution induit une biréfringence proportionnelle au champ [53]. La modulation de phase optique est alors directement proportionnelle à la tension appliquée aux bornes du cristal.

Dans le cas du niobate de lithium, usuellement utilisé à 1,5 µm, la tension nécessaire pour atteindre un déphasage de 𝜋 est de l’ordre du volt. L’amplitude de modulation est donc limitée à quelques 𝜋. L’augmentation du seuil Brillouin obtenue via un MEO a été étudiée extensivement et de nombreux profils temporels ont été envisagés pour la tension appliquée [54], [55], dont voici quelques exemples.

 Modulation de phase sinusoïdale

La modulation la plus simple à appliquer est une modulation sinusoïdale, qui s’exprime :

𝜙𝑚𝑜𝑑,𝑠𝑖𝑛(𝑡) = Δ𝜙𝑠𝑖𝑛sin(𝜔𝑚𝑜𝑑𝑡) Eq.3.12

Où Δ𝜙_𝑠𝑖𝑛 est l’amplitude de modulation et 𝜔_𝑚𝑜𝑑 sa pulsation. Le terme de déphasage complexe 𝑒𝑖𝜙𝑚𝑜𝑑(𝑡) fait alors apparaître une somme de fonctions de Bessel :

𝑒𝑖𝜙_𝑚𝑜𝑑(𝑡)_{= exp(𝑖Δ𝜙}

𝑠𝑖𝑛sin(𝜔𝑚𝑜𝑑𝑡)) = ∑ 𝐽𝑛(Δ𝜙𝑠𝑖𝑛)𝑒𝑖𝑛𝜔𝑚𝑜𝑑𝑡 ∞

𝑛=−∞

Eq.3.13

En appliquant une modulation sinusoïdale à 𝜔_𝑚𝑜𝑑 sur la phase, le spectre se retrouve étalé sur les harmoniques positifs et négatifs de 𝜔_𝑚𝑜𝑑. Le poids de chacune des composantes dépend de l’amplitude de modulation et est donné par la fonction de Bessel du premier ordre 𝐽_𝑛. La FIGURE 3.5 montre l’exemple de trois amplitudes différentes (0, 𝜋/4 , 𝜋/2). Pour Δ𝜙_𝑠𝑖𝑛= 0, la

3- Choix des techniques permettant l’augmentation du seuil Brillouin pour la pompe et le signal

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FIGURE 3.5 ‒ Poids des différentes composantes à ±nωmod pour une modulation sinus avec ΔΦ=0,𝜋₄, 𝜋₂. Du point de vue diffusion Brillouin, le seuil va être atteint en premier pour les composantes les plus fortes. A condition que les composantes ne se recouvrent pas spectralement, ce qui implique 𝜔_𝑚𝑜𝑑> 2𝜋Δ𝜈_𝐵, l’augmentation du seuil obtenue par une modulation sinusoïdale s’écrit ainsi : _𝐹𝐴𝐵 𝑚𝑜𝑑,𝑠𝑖𝑛= 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙,0= 1 max(𝐽𝑛2(Δ𝜙𝑠𝑖𝑛)) Eq.3.14

L’augmentation du seuil Brillouin ne dépend donc pas de la fréquence de modulation. Le facteur d’augmentation a été déterminé sur la FIGURE 3.6 pour des amplitudes de modulation allant de 0 à 10 π. Celui-ci augmente globalement avec l’amplitude de modulation et présente des maxima locaux.

FIGURE 3.6 ‒ Facteur d’augmentation du seuil Brillouin obtenu pour une modulation sinusoïdale en fonction de ΔΦsin.

L’amplitude de modulation du MEO étant typiquement limitée à ±π, l’augmentation du seuil Brillouin avec une modulation sinusoïdale ne pourra pas dépasser 5.

3.3 Sources à modulation de phase externe

 Modulation de phase multi-sinusoïdale

Une meilleure augmentation du seuil Brillouin peut être obtenue grâce à la modulation multi-sinusoïdale faisant intervenir des modulations à des multiples de 𝜔_𝑚𝑜𝑑. Chaque composante a alors son propre poids Δ𝜙_𝑗 et sa propre phase 𝜑_𝑗 [56] :

𝜙𝑚𝑜𝑑,𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖−𝑠𝑖𝑛(𝑡) = ∑ Δ𝜙𝑗sin(𝑗𝜔𝑚𝑜𝑑𝑡 + 𝜑𝑗)

𝑗 Eq.3.15

En choisissant judicieusement chaque poids (limité à 𝜋) et déphasage, Liu et al. ont montré théoriquement que le FAB pouvait atteindre 12 dans le cas d’une modulation multiple utilisant les harmoniques impaires de 𝜔𝑚𝑜𝑑 jusqu’à 5 [57]. La FIGURE 3.7 montre que le spectre de la

source élargie est presque plat et s’étale sur 11 harmoniques. Ici encore la fréquence de modulation n’influe pas directement sur le FAB .

FIGURE 3.7 ‒ Spectre de la source élargie par modulation de phase multi-sinusoïdale à 3 harmoniques impaires (d’après [57]).

Cette technique de modulation reste cependant complexe à mettre en œuvre et ne permet qu’une augmentation modérée du FAB.

 Modulation de phase par un bruit blanc

La modulation de phase par un bruit blanc permet de pallier la faible amplitude de modulation du MEO. Dans une configuration proposée par Zeringue et al. en 2012, le MEO est piloté par une source électrique de bruit blanc filtrée spectralement puis amplifiée (FIGURE 3.8) [55].

3- Choix des techniques permettant l’augmentation du seuil Brillouin pour la pompe et le signal

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En sortie de la source électrique, la tension qui va servir à contrôler la phase est décrite par un bruit blanc gaussien respectant les propriétés suivantes :

〈𝜙𝐵𝐵(𝑡)〉 = 0 Eq.3.16

〈𝜙𝐵𝐵(𝑡)𝜙𝐵𝐵(𝑡′)〉 ∝ 𝛿(𝑡 − 𝑡′) Eq.3.17

Le filtre est choisi par Zeringue et al. de sorte que le spectre électrique soit une porte de largeur Δ𝜈𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵. La phase est donc convoluée par une fonction sinc de largeur 1/Δ𝜈𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵

(Eq.3.18).

𝜙𝐵𝐵,𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑡) = 𝜙𝐵𝐵(𝑡) ⊗ sinc(Δ𝜈𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵𝑡) Eq.3.18 L’amplificateur électrique de gain 𝐺 permet ensuite de choisir l’amplitude de la modulation de phase appliquée par le MEO (Eq.3.19).

𝜙𝐵𝐵,𝑚𝑜𝑑(𝑡) = 𝐺 𝜙𝐵𝐵,𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑒𝑒(𝑡) Eq.3.19

Selon Zeringue et al., il existe alors une valeur de 𝐺 pour laquelle le spectre optique en sortie du MEO peut être approché par une lorentzienne de largeur Δ𝜈𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵 et le seuil Brillouin est

augmenté d’un facteur 1 +Δ𝜈𝑃

Δ𝜈𝐵 selon l’Eq.3.5. Dans la suite de cette sous-partie, j’ai cherché à comprendre l’influence de la largeur du filtre utilisé et de l’amplitude de la modulation.

Pour une modulation bruit blanc filtré, la composante principale du spectre n’est pas élargie directement. De la même manière que pour la modulation sinusoïdale, en augmentant 𝐺, on répartit l’énergie du pic principal dans une infinité de modes situés de part et d’autre. Si 𝐺 est trop faible, l’énergie reste essentiellement dans le pic central et le spectre élargi peut ainsi présenter une forte irrégularité en son centre (FIGURE 3.9).

Lorsque le spectre présente des irrégularités fortes, V. R. Supradeepa propose de quantifier la largeur du spectre de pompe de la façon suivante (Eq.3.20) pour ensuite déterminer le facteur d’augmentation Brillouin grâce à l’Eq.3.4 [48].

𝜎𝑆𝐷[𝑆̂𝑃] = (∫ 𝑆̂_−∞∞ 𝑃(𝜈)𝑑𝜈) 2 ∫ 𝑆̂𝑃2(𝜈)𝑑𝜈 ∞ −∞ Eq.3.20

Nous pouvons critiquer ce choix. En effet, le facteur d’augmentation du seuil Brillouin dépend selon moi uniquement de la composante la plus forte du spectre élargi convolué avec le spectre de gain Brillouin. Prenons l’exemple d’une pompe ayant un spectre présentant une forte discontinuité (FIGURE 3.9). La composante Stokes Brillouin associée au pic est forcément la première à atteindre le seuil Brillouin. La densité spectrale de puissance des composantes se trouvant de part et d’autre du pic importe peu et ne doit pas être prise en compte dans le calcul du facteur d’augmentation Brillouin.

3.3 Sources à modulation de phase externe

FIGURE 3.9 ‒ Exemple de densité spectrale de puissance d’une pompe ayant une forte discontinuité. Je propose ainsi d’introduire le FAB d’une façon similaire à la modulation sinusoïdale (Eq.3.14) : 𝐹𝐴𝐵𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵= 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 𝑃𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙,0= 1 max (𝑆̂𝑃(𝜈) ⊗ 𝑔𝑏(𝜈)) Eq.3.21

Pour comprendre l’influence de 𝐺, j’ai déterminé le spectre en sortie du MEO convolué avec le spectre du gain Brillouin (en rouge) pour différents écarts-type de modulation 𝜎_𝜙 (FIGURE 3.10). Fixer l’écart-type revient en effet à fixer 𝐺. Le spectre convolué est normalisé de sorte que son maximum soit égal à 1 en l’absence d’élargissement (𝜙_{𝐵𝐵,𝑚𝑜𝑑} = 0). La lorentzienne de largeur Δ𝜈_{𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵} et ayant la même énergie (aire sous la courbe) est tracée à titre de comparaison (en noir).

(a)

(c)

(b)

3- Choix des techniques permettant l’augmentation du seuil Brillouin pour la pompe et le signal

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La FIGURE 3.10 nous montre que pour des écarts-type inférieurs à 𝜋, l’essentiel de l’énergie reste dans la composante principale. Utiliser un filtre plus large n’influe que sur le piédestal et peu sur la valeur du maximum. On peut selon moi interpréter cela par le fait que dans le plan complexe, en moyenne, la phase de 𝑒𝑖𝜙𝐵𝐵,𝑚𝑜𝑑 ne parcourt pas entièrement le cercle de rayon 1.

Pour des écarts-type supérieurs à 𝜋, le spectre est régulier et s’étale de plus en plus avec l’amplitude de modulation. Utiliser un filtre plus large permet ici de diminuer plus encore le maximum.

J’ai enfin déterminé le facteur d’augmentation pour des écarts-type de modulation allant de 0 à 3𝜋 et différentes largeurs de filtre (2 GHz en noir, 1 GHz en rouge, 0,5 GHz en bleu), de trois façons différentes (FIGURE 3.11) :

- à partir de la largeur spectrale du spectre convolué (Eq.3.4), selon le modèle proposé par Supradeepa (pointillés) ;

- à partir de la valeur maximale du spectre convolué (Eq.3.21), selon mon modèle (trait plein) ;

- à partir d’un modèle numérique prenant en compte la nature stochastique (annexe A.4.3), en injectant le profil modulé en phase (points).

FIGURE 3.11 ‒ Facteur d’augmentation du seuil Brillouin en fonction de l’écart-type d’une modulation bruit blanc filtrée par des portes de largeur 2 GHz (noir), 1 GHz (rouge) et 0,5 GHz (bleu). Le facteur d’augmentation est déterminé à partir du maximum (trait plein) et de la largeur (pointillés) du spectre élargi convolué au spectre de Brillouin. Le facteur d’augmentation est aussi déterminé par le modèle numérique Stochastique pour une fibre de 20 m (points), pour lesquels un facteur correcteur (0,8) est appliqué (cf. sous-partie suivante sur les fibres courtes). (Simulation)

La FIGURE 3.11 nous montre que le facteur d’augmentation semble être mieux estimé avec le maximum du spectre convolué qu’avec sa largeur spectrale, même si ces deux grandeurs sont évidemment reliées. Pour des écarts-type supérieurs à 𝜋, le FAB est correctement ajusté par une fonction affine : 𝐹𝐴𝐵𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵(𝜎𝜙≥ 𝜋) = 1 + 1,42 𝜋 Δ𝜈𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵 Δ𝜈𝐵 𝜎𝜙 Eq.3.22

3.3 Sources à modulation de phase externe

L’amplitude de modulation étant typiquement limitée à 𝜋, la modulation de phase par un bruit blanc filtré permet théoriquement d’augmenter infiniment le seuil Brillouin avec la largeur du filtre utilisé. En pratique, l’augmentation sera limitée par la bande passante de l’amplificateur électrique et du MEO à notre disposition, qui sont de l’ordre de 1 GHz. On peut ainsi espérer une augmentation du seuil Brillouin d’un facteur 36 environ.

 Modulation de phase par un bruit blanc : cas des fibres courtes

Dans leur article de 2012, Zeringue et al. ont remarqué grâce à leur simulation numérique que l’augmentation du seuil Brillouin par un bruit blanc pour des fibres courtes était plus faible que celle attendue par l’Eq.3.5 (FIGURE 3.12) [55].

FIGURE 3.12 ‒ Facteur d’augmentation Brillouin en fonction de l’élargissement spectral pour une fibre allant de 2 à 85 m (d’après [55]). L’élargissement spectral est normalisé par rapport à la largeur Brillouin.

Pour un élargissement égal à 25 Δ𝜈_𝐵, l’augmentation du seuil Brillouin passe ainsi de 25 pour une fibre de 85 m à 6 pour une fibre de 2 m. Dans leur article, cette diminution est attribuée à la contribution des termes en désaccord de phase qui ne sont pas pris en compte dans leur modèle. En moyenne, ces termes s’annulent au cours de la propagation pour des fibres longues, mais ne sont plus négligeables pour des fibres courtes.

Dans son article de 2013, V. R. Supradeepa propose une explication différente à cette réduction [48]. La génération électrique de bruit blanc est un processus aléatoire. Le signal généré dans une fenêtre temporelle donnée n’est qu’une réalisation de ce processus ayant une DSP donnée. La DSP d’une réalisation et la DSP du processus peuvent donc être très différentes, comme le montre la FIGURE 3.13.

3- Choix des techniques permettant l’augmentation du seuil Brillouin pour la pompe et le signal

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FIGURE 3.13 ‒ Exemple de densité spectrale de puissance d’un processus aléatoire de type bruit blanc filtré (en rouge) et d’une réalisation de ce processus (en noir) pour un filtre « porte » de largeur 1 GHz.

Ce n’est que lorsque l’on moyenne la DSP sur plusieurs réalisations que l’on retrouve celle du processus [58] : 𝑆̂(𝜈) = lim 𝑛→∞ 1 𝑘∑ 𝑆̂𝑘(𝜈) 𝑘 Eq.3.23 En supposant le processus ergodique, le moyennage sur plusieurs réalisations est équivalent à un moyennage temporel. La plupart des appareils de mesure de spectre, tels que les analyseurs de spectre optique, ont un temps d’intégration suffisamment grand pour afficher directement la DSP moyenne.

Selon la taille de la fenêtre temporelle choisie, la DSP du signal généré est notamment susceptible d’être moins large que la DSP du processus. Du point de vue diffusion Brillouin, le temps d’interaction pertinent est donné par 1

Δ𝜈𝐵. La longueur d’interaction équivalente dans la fibre s’écrit alors :

𝐿𝐵= 𝑐

𝑛Δ𝜈𝐵 Eq.3.24

Pour une largeur Δ𝜈_𝐵= 40 𝑀𝐻𝑧, 𝐿_𝐵 vaut 5 m.

Dans le cas de fibres longues (𝐿 ≫ 𝐿_𝐵), le nombre de réalisations équivalent du signal est grand. La DSP de la source élargie est ainsi moyennée et on retrouve le fait que le facteur d’augmentation Brillouin est donné par la largeur spectrale Δ𝜈_{𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵} (FIGURE 3.14).

3.3 Sources à modulation de phase externe

FIGURE 3.14 ‒ Profil temporel (a) et DSP accumulée le long de la fibre (b) d’une pompe se propageant dans une fibre découpée virtuellement en morceau de taille LB (d’après [48]).

Supradeepa a déterminé une expression analytique de la largeur spectrale d’une réalisation pour un morceau de fibre de longueur 𝐿𝐵. Partant de cette expression, il a pu montrer que le

facteur d’augmentation Brillouin obtenu par une modulation de phase issu d’un bruit blanc filtré s’écrivait :

𝐹𝐴𝐵𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵,𝑟𝑒𝑒𝑙 = 1

1 + 𝐿𝐵/𝐿𝐹𝐴𝐵𝑚𝑜𝑑,𝐵𝐵 Eq.3.25

Le facteur 1 + 𝐿𝐵/𝐿 étant supérieur à 1, l’augmentation du seuil Brillouin est plus faible que

dans le cas idéal d’une fibre infiniment longue. L’Eq.3.25 a été démontrée uniquement dans le cas discret où 𝐿 est un multiple de 𝐿_𝐵. Nous faisons maintenant l’approximation qu’elle reste valable dans le cas continu, y compris pour 𝐿 < 𝐿_𝐵.

On peut alors tracer la réduction du facteur d’augmentation Brillouin induite par la longueur de la fibre en fonction de celle-ci (FIGURE 3.15). Le facteur est notamment divisé par 3 pour 𝐿 = 𝐿_𝐵/2 = 2,5 𝑚.

(a)

3- Choix des techniques permettant l’augmentation du seuil Brillouin pour la pompe et le signal

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Dans le cas d’une pompe modulée en phase par un bruit blanc filtré, il est donc nécessaire d’augmenter le seuil Brillouin d’un facteur 300 en sortie du MEO pour obtenir une augmentation effective du seuil Brillouin d’un facteur 100 dans notre FHNL de 2,5 m.

Comme nous l’avons vu dans la partie précédente, le facteur d’augmentation étant typiquement limité à 36, la modulation de phase par un bruit blanc filtré dans un MEO est largement insuffisante pour augmenter le seuil Brillouin de notre pompe dans la FHNL.

 Modulation de phase par une séquence numérique pseudo-aléatoire

Une autre technique existante repose sur la modulation de phase par une séquence numérique pseudo-aléatoire (PRBS). Une séquence PRBS notée 2𝑛_{− 1 contient tous les mots}

possibles de longueur 𝑛. Cette séquence est dite pseudo-aléatoire car la valeur de chaque bit est indépendante des autres valeurs mais la séquence se répète tous les 2𝑛_{− 1 bits.}

Zeringue et al. ont étudié numériquement l’augmentation du seuil Brillouin par une modulation de phase PRBS, en associant le bit 0 à un déphasage nul et le bit 1 à un déphasage de π [55]. L’écart temporel entre chaque bit est donné par la fréquence de modulation du générateur PRBS (FIGURE 3.16).

FIGURE 3.16 ‒ Séquence PRBS pour n=7 (longueur 127 bits)

Pour une fibre de 9 m, il a été notamment déterminé que la longueur optimale du mot était 𝑛 = 7 car celle-ci entraine les variations les plus fréquentes de la phase au sein de la séquence. L’augmentation du seuil Brillouin atteint alors 10 pour une fréquence de modulation de 1 GHz, ce qui est moins performant que la modulation par bruit blanc (𝐹𝐴𝐵 = 23 pour une modulation à 1 GHz)

Cette technique présente l’avantage d’ôter le caractère aléatoire du bruit blanc, ce qui facilite son étude numérique mais est moins performante et relativement complexe à mettre en œuvre.

3.3 Sources à modulation de phase externe