Chapitre 2 Spécification de l’amplificateur Raman et conception du préamplificateur
2.1 Spécification de l’amplificateur Raman
2.1.2 Expression de la réflectivité Brillouin dans le cas de l’amplification Raman mono-fréquence
Pour déterminer l’expression de la réflectivité Brillouin dans le cas de l’amplification Raman sans déplétion de pompe, nous repartons de l’expression générale de la puissance Brillouin Stokes en début de fibre (Eq.1.92) en ajoutant ici le terme de gain Raman apporté par la pompe.
𝑃𝑆(0) = ∫ ℎ(𝜈𝐼− δ𝜈)(𝜂 + 1) exp (∫ −1 𝐴𝑒𝑓𝑓(𝑔𝑏(δ𝜈)𝑃𝐼(𝑧) + 𝑔𝑅𝑃𝑃)𝑑𝑧 0 𝐿 ) 𝑑δ𝜈 ∞ −∞ Eq.2.9 𝑔𝑏(δ𝜈) = 𝑔𝐵 1 + (δ𝜈 − 𝜈𝐵 Δ𝜈𝐵⁄ )2 2= 𝑔𝐵𝑢(δ𝜈) Eq.2.10
La dépendance spectrale du gain Raman n’est pas prise en compte ici car son spectre est très large devant le spectre du gain Brillouin (plusieurs térahertz contre quelques dizaines de mégahertz pour une fibre en silice).
En injectant le profil de puissance signal 𝑃𝐼(𝑧) dans le cas de l’amplification Raman (Eq.1.55) dans l’Eq.2.9, nous trouvons une expression de 𝑃𝑆(0) analogue au cas Brillouin seul (Eq.1.94).
𝑃𝑆(0) = (𝜂 + 1)𝑒𝐺𝑅∫ 𝑑𝜈ℎ𝜈exp (𝐺𝐵𝑅𝑢(δ𝜈)) Eq.2.11
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L’intégrale dans l’Eq.2.11 ayant la même forme que dans l’Eq.1.84, son calcul se réalise de façon similaire. 𝑃𝑆(0) = 𝑃𝑆(𝐿)𝑒𝐺𝑅𝑒𝐺𝐵𝑅 Eq.2.13 𝑃𝑆(𝐿) = ℎ𝜈𝑆(𝜂 + 1)BBR Eq.2.14 𝐵𝐵𝑅 =√𝜋2 ∆𝜈𝐵 √𝐺𝐵𝑅 Eq.2.15 De manière analogue au cas diffusion Brillouin seule, la puissance Stokes Brillouin en début de fibre 𝑃𝑆(0) est ici ramenée à une puissance équivalente initiale 𝑃𝑆(𝐿) dans une bande effective
𝐵𝐵𝑅 subissant un gain exponentiel 𝐺𝑅 + 𝐺𝐵𝑅. Ce gain étant la somme des gains Raman et
Brillouin totaux dans la fibre.
L’Eq.2.13 nous permet alors de déterminer l’expression de la réflectivité Brillouin dans le cas de l’amplification Raman. 𝜂𝑆𝐵𝑆,𝐵𝑅=̂ 𝑃𝑆(0) 𝑃𝐼(𝐿)= 𝑃𝑆(𝐿) 𝑃𝐼(0)𝑒 𝐺𝐵𝑅 Eq.2.16
Cette expression est similaire à celle de la réflectivité dans le cas diffusion Brillouin seule mais ne permet pas de définir une puissance de seuil Brillouin (Eq.1.98) car elle ne dépend pas seulement de la longueur de fibre. Elle permet cependant d’identifier l’influence des différents paramètres des sources et de la fibre.
De façon analogue à la partie 1.2.7, nous pouvons considérer dans une première approche que fixer la réflectivité à 1 revient à fixer 𝐺𝐵𝑅,𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 (égal à 21 dans le cas de la PM 1550). En remarquant ensuite que l’efficacité de l’amplification Raman 𝑛𝑒𝑓𝑓 =𝑃𝐼(𝐿)
𝑃𝑃 apparaît dans l’Eq.2.12, celle-ci s’exprime simplement :
𝜂𝑒𝑓𝑓= 𝐺𝐵𝑅,𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 𝑔𝑅
𝑔𝐵 Eq.2.17
L’efficacité de l’amplification Raman mono-fréquence dépend donc essentiellement du rapport entre gain Raman et gain Brillouin, ce qui n’est pas le cas de la puissance 𝑃𝐼(𝐿) du signal amplifié qui dépend quant à elle de la longueur de fibre 𝐿, de la puissance de pompe 𝑃𝑃 et de la puissance injectée 𝑃𝐼(0). Pour la FHNL que nous utiliserons, présentée plus tard dans la partie 2.1.4, l’efficacité maximale de l’amplification Raman mono-fréquence est d’environ 13 %.
Pour comprendre l’influence de 𝐿 et 𝑃𝐼(0), nous fixons cette fois-ci la valeur de 𝑃𝐼(𝐿) = 𝑃𝐼(0)𝑒𝐺𝑅 dans l’Eq.2.12 et non la valeur de 𝐺𝐵𝑅. La réflectivité Brillouin, dominée par
𝑒𝐺𝐵𝑅, diminue alors en augmentant 𝑃
𝑃. Pour maintenir la valeur de 𝑃𝐼(𝐿), il est alors nécessaire
de diminuer fortement 𝑃𝐼(0) ou légèrement 𝐿. La FIGURE 2.3 permet de visualiser l’influence de
2.1 Spécification de l’amplificateur Raman
FIGURE 2.3 ‒ Profils de puissance du signal amplifié le long de la fibre pour différentes puissances en entrée (a) et différentes longueurs de fibre (b). gR, gB et Aeff sont choisis arbitrairement. (Simulation
d’après Eq.2.12)
Sur la FIGURE 2.3a, l’évolution du signal amplifié le long de la fibre est tracé pour une puissance injectée donnée (en noir) et une puissance injectée 100 fois plus faible (en rouge). Pour obtenir la même valeur de 𝑃𝐼(𝐿) en sortie, la puissance de pompe nécessaire est donc plus forte dans le cas rouge que le cas noir. Alors que la puissance de sortie et la longueur de fibre sont identiques, on peut voir qu’une augmentation de 𝑃𝐼(0) entraîne une augmentation de la puissance moyenne du signal dans la fibre et donc de la réflectivité Brillouin1.
La FIGURE 2.3b représente l’évolution du signal amplifié le long d’une fibre de longueur donnée (en noir) et d’une autre fibre de longueur 2 fois plus faible (en rouge). Ici encore la puissance de pompe nécessaire est donc plus forte pour la fibre courte. De même, alors que la puissance de sortie et la puissance moyenne sont identiques, on peut voir que la longueur d’interaction, et donc la réflectivité Brillouin, augmente si la fibre est plus longue.
Nous retrouvons ainsi le résultat donné par Vergien et al. qui indique que le maximum de puissance pour un signal mono-fréquence amplifié par diffusion Raman est obtenu pour une faible longueur de fibre et une faible puissance signal injectée, ce qui nécessite une puissance de pompe forte [12].
2.1.3 Expression de la réflectivité Brillouin dans le cas de l’amplification Raman mono- fréquence avec déplétion de pompe
L’expression de la réflectivité obtenue dans l’Eq.2.16 n’est correcte que si la pompe est supposée constante le long de la fibre. Or nous avons vu dans la partie 1.2.6 que ce n’était plus vrai lorsque la puissance du signal amplifié s’approche de la puissance de pompe, ce qui est le
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est d’augmenter la longueur de fibre mais nous avons vu dans la partie précédente que cela entraîne une augmentation de la réflectivité Brillouin. Dans leur article de 2010, Vergien et al [12] ont établi une expression analytique approchée de la réflectivité dans le cas de l’amplification Raman mono-fréquence avec déplétion de pompe mais celle-ci ne permet de déterminer que des tendances en fonction des paramètres de l’amplificateur. Dans cette sous- partie, nous souhaitons établir une expression analytique exacte (dans le cadre des hypothèses formulées dans la partie 2.1.1) pour pouvoir choisir précisément les paramètres de l’amplificateur Raman.
Nous reprenons donc l’expression générale de la puissance Brillouin Stokes en début de fibre dans le cas de l’amplification Raman mono-fréquence (Eq.2.9) en prenant en compte cette fois la dépendance le long de la fibre de la puissance de pompe dans le cas co-propagatif.
𝑃𝑆(0) = ∫ ℎ(𝜈𝐼− 𝛿𝜈)(𝜂 + 1) exp (∫ −1 𝐴𝑒𝑓𝑓(𝑔𝑏(δ𝜈)𝑃𝐼(𝑧) + 𝑔𝑅𝑃𝑃(𝑧))𝑑𝑧 0 𝐿 ) ∞ −∞ dδ𝜈 Eq.2.18
En injectant le profil de puissance signal 𝑃𝐼(𝑧) dans le cas de l’amplification Raman avec déplétion de pompe (Eq.1.57), nous trouvons à nouveau une expression de 𝑃𝑆(0) comparable au cas Brillouin seul.
𝑃𝑆(0) = (𝜂 + 1)𝒢𝑅𝐷∫ ℎ𝜈exp (𝐺𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜𝑢(δ𝜈)) 𝑑𝛿𝜈 Eq.2.19 𝐺𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜= 𝑔𝐵 Υ𝑔𝑅ln ( 𝒢𝑅𝐷𝑐𝑜 exp(𝑔𝑅𝐶𝑐𝑜𝐿)) Eq.2.20
Pour rappel, 𝐶𝑐𝑜 est une constante proportionnelle au nombre de photons initial et 𝒢𝑅𝐷𝑐𝑜 est le gain Raman total dans la fibre.
Ici encore, la puissance Stokes Brillouin en début de fibre 𝑃𝑆(0) est ramenée à une puissance équivalente initiale 𝑃𝑆(𝐿) dans une bande effective 𝐵𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜 subissant un gain Brillouin
exponentiel 𝐺𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜 et un gain Raman avec déplétion 𝒢𝑅𝐷𝑐𝑜.
𝑃𝑆(0) = 𝑃𝑆(𝐿)𝒢𝑅𝐷𝑐𝑜𝑒𝐺𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜 Eq.2.21 𝑃𝑆(𝐿) = ℎ𝜈𝑆(𝜂 + 1)𝐵𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜 Eq.2.22 𝐵𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜 =√𝜋2 ∆𝜈𝐵 √𝐺𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜 Eq.2.23 L’Eq.2.18 nous permet alors de déterminer l’expression de la réflectivité Brillouin dans le cas de l’amplification Raman mono-fréquence avec déplétion de la pompe co-propagative.
𝜂𝑆𝐵𝑆,𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜= 𝑃𝑆(0) 𝑃𝐼(𝐿)= 𝑃𝑆(𝐿) 𝑃𝐼(0)𝑒 𝐺𝐵𝑅𝐷𝑐𝑜 Eq.2.24
Cette expression est également valable dans le cas contra-propagatif, en remplaçant respectivement 𝐶𝑐𝑜 et 𝒢𝑅𝐷𝑐𝑜 par 𝐶𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 et 𝒢𝑅𝐷𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 dans les Eq.2.19 à Eq.2.24.
2.1 Spécification de l’amplificateur Raman
L’expression de la réflectivité Brillouin que vous avons établie (Eq.2.24) permet ainsi de décrire analytiquement l’amplification Raman mono-fréquence en prenant en compte les problématiques de déplétion de pompe et de limitation de la puissance signal par diffusion Brillouin.