les pertes . . . . 54
Le modèle développé dans le cadre de nos travaux a pour objectif essentiel de simuler le comportement d’une chambre réverbérante au moyen d’une approche la plus élémentaire possible. Ce modèle repose sur la théorie des images dont nous rappelons le principe général avant d’en proposer une déclinaison pour la chambre réverbérante. La théorie des images, aussi appelée méthode des images, est un formalisme largement employé en électromagné-tisme et en optique. Il faut pourtant reconnaître que peu de descriptions complètes de ce formalisme existent dans la littérature. Ce chapitre présente la théorie des images. À partir des charges électriques nous en déduisons son application aux courants éléctriques.
6.1 La théorie des images appliquée aux charges électriques
La théorie des images est un problème de conditions aux limites [85]. L’illustration classique de la théorie des images utilise le dipôle électrostatique. Considérons une charge électrique `q placée à une distance d d’un plan infini parfaitement conducteur (Fig. 6.1(a)), la condition aux limites imposée par le plan parfaitement conducteur est que les compo-santes tangentielles du champ électrique soient nulles au niveau de la surface du plan. Une représentation équivalente sans plan conducteur correspond à la situation où une charge électrique de signe contraire est placée symétriquement de l’autre côté du plan. Les lignes de champs observées dans le demi-espace contenant la charge sont celles d’un dipôle élec-trostatique de moment dipolaire 2dq (Fig. 6.1(b)). Tout se passe donc comme si l’on avait une charge ´q placée à une distance d de l’autre côté de la surface du conducteur fini (Fig. 6.1(a)). En pratique, la charge `q attire les électrons libres contenus dans le cristal du métal parfaitement conducteur. Un densité de charge surfacique négative non uniforme est induite à la surface du conducteur [86]. La composante normale du champ créé par la
Chapitre 6. Présentation de la théorie des images d d (a) (b) + − − + P !er !ez O r Plan conducteur
Figure 6.1 – Lignes de champ créées par une charge électrique `q à proximité d’un plan conducteur (a), lignes de champ créées par un dipôle de moment dipolaire 2dq (b). charge positive au point P , situé sur le plan conducteur à la distance r de l’origine s’écrit :
~
Enq`pP q “ ~Enq`prq “ ´ 1 4π0
dq
pd2` r2q3{2~ez (6.1) Le champ créé par la charge négative au point P , qui annule les composantes tangentielles au plan conducteur est donné par :
~
Enq´pP q “ ~Enq´prq “ ´ 1 4π0
dq
pd2` r2q3{2~ez (6.2) La densité surfacique de charge en P , σSpP q:
σSpP q “ σSprq “ 0Eprq “ 0`Enq`prq ` Enq´prq˘“ ´ 1 4π
2dq
pd2` r2q3{2 (6.3) L’intégration de cette charge surfacique sur la surface du plan infini vaut ´q.
Le plan conducteur est un plan d’antisymétrie pour les charges. La charge fictive de l’autre côté du plan sera appelée charge image. Il faut noter que ce formalisme n’est valable que dans le demi-espace où est située la charge réelle. Le plan étant infini, il n’y a pas de champ électrique de l’autre côté du plan.
6.2 La théorie des images appliquée aux courants
La théorie des images s’applique également à des charges en mouvement, c’est-à-dire à des courants. Il faut noter que les charges images sont virtuelles et non relativistes. En conséquence, la création d’une image n’est pas retardée par la propagation de
6.3. Intérêt de la théorie des images dans le domaine temporel 53 �v −e �i +e � v� �i�
Figure 6.2 – Courant et courant image créé par un plan conducteur.
l’information de la position de la charge réelle. La figure 6.2 montre un électron de charge ´e, se déplaçant à la vitesse ~v sur un conducteur filiforme. Un courant ~i est ainsi créé. La charge image est de signe opposée, elle se déplace selon un vecteur vitesse ~v1 tel que }~v1} “ }~v} et tel que son mouvement soit symétrique par rapport au plan conducteur. Le courant image est donc de signe contraire dans une direction parallèle au plan et de même signe dans une direction perpendiculaire au plan. Si le plan est parfaitement conducteur alors le courant image est tel que }~i1} “ }~i}. La figure 6.3 récapitule les règles de construction des courants images suivant l’orien-tation des courants à proximité du plan conducteur.
�i
�i �i
�i�
�i� �i�
Figure 6.3 – Courants et courants images créés par la proximité d’un plan parfaitement conducteur.
Une approche matricielle des antisymétries planes est donnée en annexe B.2. Elle per-met de déduire les coordonnées du vecteur courant image.
Chapitre 6. Présentation de la théorie des images E
E�
R
Figure 6.4 – L’émission simultanée de l’émetteur E et de son image E1 permet une des-cription juste dans le domaine temporel de la réflexion sur le plan parfaitement conducteur.
6.3 Intérêt de la théorie des images dans le domaine temporel
La théorie des images permet une description temporelle des réflexions sur des conduc-teurs. Considérons un émetteur E et un plan infini parfaitement conducteur (Fig. 6.4). Les émissions par l’émetteur E et son image E1 sont simultanées. Dans ces conditions, le récepteur R reçoit l’écho provenant de E1 comme si le signal émis par E était réfléchi par le plan conducteur. L’émission de concert de la source et de son image permet de décrire le phénomène de réflexion sur le plan conducteur avec exactitude.
6.4 Modification nécessaire de la théorie des images pour
in-tégrer les pertes
Nous avons vu que la théorie des images s’applique à des conducteurs parfaits. Dans ce travail, nous l’utilisons pour modéliser une cavité rectangulaire dont les parois sont de conductivité finie. Au sens strict, la théorie des images ne s’applique pas aux matériaux à pertes. Afin de prendre en compte les pertes liées à la conductivité finie des parois, nous affaiblissons les courants images à l’aide d’un coefficient scalaire α pour introduire artificiellement des pertes. On aura ainsi :
}~i1} “ p1 ´ αq}~i}, avec 0 ď α ď 1. (6.4) Ce coefficient scalaire, correspond à l’atténuation moyenne (pour des incidences aléatoires) subie par le champ après une réflexion sur la paroi. On peut le considérer comme un coefficient de réflexion scalaire moyen. En toute rigueur, le coefficient de réflexion dépend de l’angle d’incidence et de la polarisation de l’onde incidente sur le plan conducteur. Dans notre approche, nous avons choisi d’utiliser une atténuation moyenne pour rendre compte des pertes liées aux parois. Le terme 1 ´ α sera par la suite englobé dans un terme plus général : le coefficient R, qui sera introduit en section 7.3.
Chapitre 7
Modélisation de cavités par la
théorie des images
Sommaire
7.1 Définitions préliminaires . . . . 55