Lois statistiques suivies par les composantes cartésiennes du champ

1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Fr´e q u e n c e [ MHz ] ¯σ⁸ i G ab ari t I E C 61000- 4- 21 ¯ σ8x( Ex) ¯ σ8y( Ey) ¯ σ8z( Ez)

Figure 10.5 – Homogénéité des composantes cartésiennes du champ électrique simulé et comparaison avec le gabarit de la norme IEC 61000-4-21 [3].

La figure 10.5 présente le calibrage de la cavité simulée en considérant 20 fréquences entre 80 et 200 MHz, puis 15 fréquences entre 600 et 1200 MHz et 10 fréquences entre 1200 et 2000 MHz. Les fréquences sont espacées selon une progression logarithmique. On remarque que le paramètre ¯σ8i respecte bien le gabarit proposé par la norme. La figure 10.6 présente les résultats obtenus avec l’écart type ¯σ24.

10.2.2 Lois statistiques suivies par les composantes cartésiennes du

champ électrique

Dans cette partie nous cherchons à caractériser la distribution statistique des compo-santes cartésiennes du champ simulé dans la chambre. Pour cela nous réalisons N “ 150 simulations en tirant des positions de récepteur aléatoirement dans le volume utile de la chambre vide (R “ 0,998). La durée des réponses impulsionnelles simulée est Tm “ 12 µs, la durée d’un échantillon est 200 ps. On peut calculer le pourcentage d’énergie simulée avec une réponse impulsionnelle de durée Tm en comparaison avec l’énergie totale conte-nue dans une réponse impulsionnelle exponentielle dont la constante de temps est τ, à partir de (8.32) :

W_%“ 1 ´ e^´Tm{τ. (10.6)

Avec τ “ 2,76 µs et Tm “ 12 µs, on simule donc environ 99% de l’énergie. On verra en section 10.2.3 que l’on peut réduire la durée Tm de la fenêtre temporelle sans trop affecter la statistique des résultats. La transformée de Fourier rapide des réponses impulsionnelles permet d’accéder au comportement de la cavité dans le domaine fréquentiel pour cha-cune des N “ 150 positions du récepteur. Pour chaque fréquence, chaque échantillon est normalisé par sa valeur moyenne.

10.2. Comportement statistique de la cavité modélisée 117 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Fr´equ en ce [ MH z] [d B ] Gabari t I E C 61000-4-21 ¯ σ2 4

Figure 10.6 – Homogénéité de l’ensemble des composantes cartésiennes du champ élec-trique simulé et comparaison avec le gabarit de la norme IEC 61000-4-21 [3].

10.2.2.1 Adéquation à la loi de Rayleigh

En régime idéal, les composantes cartésiennes du champ électrique de la chambre suivent une loi de Rayleigh [4–6, 47]. Dans une chambre réelle, plus la densité de modes sera grande et plus le fonctionnement de la chambre pourra être considéré comme idéal. L’utilisation de tests statistiques (voir annexe A.2) permet de déterminer avec un seuil de risque donné si un échantillon suit une loi de Rayleigh. Dans cette partie, nous utilisons le test d’Anderson Darling qui est plus sévère que le test de Kolmogorov Smirnov [56]. La transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle permet d’explorer le domaine fré-quentiel entre 0 et 2,5 GHz en 32768 fréquences. On ne retient pour notre analyse qu’une seule fréquence par mégahertz. On soumet chaque fréquence au test d’Anderson Darling. Le test renvoie 0 si la distribution suit une loi de Rayleigh ou 1 s’il considère que la distri-bution n’est pas assez proche d’une distridistri-bution de Rayleigh. On regroupe les fréquences par groupe de 50. On calcule le taux de rejet du test sur 50 fréquences (soit environ sur 50 MHz) en réalisant une moyenne glissante sur la bande de fréquence étudiée.

La figure 10.7 montre l’évolution du taux de rejet du test d’Anderson Darling pour la loi de Rayleigh en fonction de la fréquence pour les trois composantes cartésiennes simulées (Ex, Eyet Ez) et pour les composantes cartésiennes mesurées. Ces mesures ont été effectuées il y a quelques années à l’aide d’une sonde de champ, avec une taille d’échantillons N “ 150[56]. Cela signifie qu’à basse fréquence, la sonde de champ a dû être déplacée pour multiplier le nombre d’observations indépendantes. Ces mesures sont très longues à réaliser. Nous n’avons pas jugé nécessaire de les faire de nouveau. On remarque que les courbes de rejet des trois composantes cartésiennes du champ simulé sont semblables. Hormis pour les points à 700 MHz, 800 MHz et 900 MHz, les taux de rejet simulés se rapprochent beaucoup des taux de rejet mesurés. La figure 10.7 met en évidence que l’on peut estimer qu’avec N “ 150 et un seuil de risque de 5 % pour le test, il faut une fréquence supérieure à 750 MHz environ pour observer moins d’une fois sur deux une distribution de Rayleigh sur

Chapitre 10. Validation dans le domaine harmonique 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Fr´equ en ce [ MH z] Ta u x d e re je t Ex Ey Ez Me sure s

Figure 10.7 – Taux de rejet par le test d’Anderson Darling d’ajustement à la loi de Rayleigh pour les trois composantes du champ simulées et comparaison avec les résultats de mesures (N=150 et seuil de risque de 5 %).

une rotation de brasseur. Ce résultat montre que le modèle reproduit des distributions de Rayleigh avec les mêmes probabilités que la chambre réelle selon la fréquence.

10.2.2.2 Adéquation à la loi de Weibull

Afin de vérifier que le modèle reproduit les mêmes distributions à basse fréquence (en dessous de 500 MHz), il convient d’employer des distributions qui caractérisent le fonctionnement de la chambre en régime non idéal. Nous allons reprendre l’étude réalisée précédemment en employant le test d’adéquation d’Anderson Darling pour la distribution de Weibull [56]. La figure 10.8 montre que les taux de rejet des distributions statistiques des composantes cartésiennes du champ simulé s’apparentent assez bien aux taux de rejet observés en mesure. Quantitativement, les taux de rejet sont comparables aux fréquences étudiées. À partir de 300 MHz, le test accepte assez largement la loi de Weibull. On rappelle que la distribution de Rayleigh est une distribution particulière de Weibull pour laquelle le paramètre de forme β vaut 2 et le paramètre d’échelle α vaut π{4 si la distribution de Rayleigh a pour moyenne 1. La loi de Weibull n’est donc pas rejetée aux fréquences où l’on observe des distributions de Rayleigh. Cependant il ne faut pas oublier que la distribution de Weibull est une distribution à deux paramètres, contrairement à la loi de Rayleigh qui n’a qu’un paramètre. Le test d’adéquation utilisé ici ne permet pas de distinguer deux distributions de Weibull dont les paramètres seraient différents. Rien ne permet donc d’affirmer pour le moment que les distributions de Weibull obtenues en mesure sont les mêmes que les distributions de Weibull simulées.

10.2. Comportement statistique de la cavité modélisée 119 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Fr´equ en ce [ MH z] Ta u x d e re je t Ex Ey Ez Me sure s

Figure 10.8 – Taux de rejet par le test d’Anderson Darling d’ajustement à la loi de Weibull pour les trois composantes du champ simulées et comparaison avec les résultats de mesures (N=150 et seuil de risque de 5 %).

10.2.2.3 Estimation des paramètres de Weibull

La fonction de densité de probabilité de la loi de Weibull s’écrit :

fXpxq “ αx^β´1e´αx^β{β, avec x P R`, α ą 0 et β ą 0. (10.7) Afin de s’assurer que les distributions de Weibull des composantes cartésiennes simulées et mesurées soient les mêmes, nous devons extraire et comparer les paramètres des distribu-tions de Weibull issues des simuladistribu-tions et des mesures. La figure 10.9 montre l’évolution des paramètres de Weibull α et β en fonction de la fréquence et les compare aux paramètres extraits de mesures. La figure 10.9(a) montre que le paramètre d’échelle α des distribu-tions de Weibull obtenues en simulation tend progressivement vers π{4 quand la fréquence augmente. De même, le paramètre de forme β (Fig. 10.9(b)) tend progressivement vers 2 quand la fréquence augmente. Avec α “ π{4 et β “ 2, la distribution de Weibull est aussi une distribution de Rayleigh de moyenne 1. Ces courbes montrent que la chambre tend progressivement vers un régime idéal quand la fréquence augmente. On remarque en outre que les paramètres des distributions simulées sont très proches des paramètres observés extraits des mesures [56].

10.2.2.4 Conclusion

Cette étude statistique dans le domaine harmonique montre tout d’abord que d’un point de vue qualitatif, le modèle est capable de reproduire le fonctionnement de la chambre réverbérante en régime harmonique. L’utilisation de tests statistiques montre que les distri-butions des composantes du champ simulé à une fréquence donnée sont de la même nature

Chapitre 10. Validation dans le domaine harmonique 0 150 300 450 600 750 900 1050 1200 1350 1500 0.7 0.8 0.9